Zum NachschlagenZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel von 1.1 bis 1.5 mit Erklärungen, Übungen und Textaufgaben.
Zurück zum ÜbenÜbung — AFB IZehn gemischte Aufgaben zum Reproduzieren — fünf davon interaktiv.
Dreißig Karten mit den Begriffen und Formeln, die für die Klausur sitzen müssen. Vorderseite lesen, die Antwort im Kopf formulieren, erst dann umdrehen — nur so prüft man wirklich das Gedächtnis. Mit dem Häkchen markieren Sie eine Karte als gelernt; der Stand bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
01Begriff
Funktion
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Eine Zuordnung, die jedem \(x\) der Definitionsmenge genau einen Wert \(y=f(x)\) zuordnet. Zu einem \(y\) dürfen mehrere \(x\) gehören, umgekehrt nicht.
1.1.1 Funktionen
02Begriff
Definitionsmenge \(D\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Alle \(x\)-Werte, die eingesetzt werden dürfen. Ausgeschlossen sind Stellen, an denen ein Nenner null oder ein Radikand negativ würde.
1.1.2 Grundbegriffe
03Begriff
Wertemenge \(W\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Alle \(y\)-Werte, die die Funktion tatsächlich annimmt. Bei \(f(x)=x^2\) ist \(W=[0;\infty)\).
1.1.2 Grundbegriffe
04Begriff
Nullstelle
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Eine Stelle \(x_0\) mit \(f(x_0)=0\). Dort schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse. Ansatz: Funktionsterm gleich null setzen.
1.3.2 / 1.5.2
05Begriff
Punktprobe
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Ein Punkt \(P(x_P\,|\,y_P)\) liegt genau dann auf dem Graphen, wenn \(f(x_P)=y_P\) ist. Einsetzen und vergleichen.
1.1.3 Koordinatensystem
06Begriff
Steigung \(m\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Die Zahl vor dem \(x\). Sie gibt an, um wie viel \(y\) wächst, wenn \(x\) um 1 zunimmt. \(m>0\): steigend, \(m=0\): waagerecht, \(m<0\): fallend.
1.3.1 Steigung
07Begriff
y-Achsenabschnitt \(b\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Der Funktionswert an der Stelle 0, also \(f(0)\). Im Term \(f(x)=mx+b\) ist es die Zahl ohne \(x\).
1.3.1 Steigung
08Begriff
Normale
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Die Gerade, die senkrecht auf einer anderen steht. Ihre Steigung entsteht durch Kehrwert und Vorzeichenwechsel.
1.3.3 Normale
09Begriff
Diskriminante
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Der Ausdruck unter der Wurzel, \(D=b^2-4ac\). \(D>0\): zwei Nullstellen, \(D=0\): eine, \(D<0\): keine.
1.5.2 Nullstellen
10Begriff
Scheitelpunkt
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel. In der Scheitelform \(a(x-d)^2+e\) liegt er bei \(S(d\,|\,e)\).
1.5.1 Allgemeines
11Begriff
Satz vom Nullprodukt
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb liefert \(x(x+4)=0\) sofort \(x=0\) und \(x=-4\).
1.5.2 Nullstellen
12Begriff
Division durch einen Bruch
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren — nur der hintere Bruch wird gestürzt: \(\tfrac34:\tfrac25=\tfrac34\cdot\tfrac52\).
1.2.5 Bruchrechnen
13Begriff
Logarithmus
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
\(\log_a(b)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(b\) zu erhalten: \(\log_a(b)=x\iff a^x=b\).
1.2.8 Logarithmusgesetze
14Begriff
Lösungsfälle eines LGS
Karte anklicken zum Umdrehen
Erklärung
Genau eine Lösung (Geraden schneiden sich), keine Lösung (parallel, es entsteht \(0=k\)) oder unendlich viele (identisch, es entsteht \(0=0\)).
1.4.3 Anzahl Lösungen
15Formel
\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Steigung aus zwei Punkten. Reihenfolge in Zähler und Nenner muss übereinstimmen — sonst kippt das Vorzeichen.
1.3.1 Steigung
16Formel
\(f(x)=m\,x+b\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Allgemeine Form einer linearen Funktion. \(m\) ist die Steigung, \(b\) der \(y\)-Achsenabschnitt.
1.3.1 Steigung
17Formel
\(x_0=-\dfrac{b}{m}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Nullstelle einer Geraden (für \(m\neq0\)), hergeleitet aus \(mx+b=0\).
1.3.2 Nullstellen
18Formel
\(m_f\cdot m_N=-1\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Bedingung für senkrechte Geraden. Umgestellt: \(m_N=-\dfrac{1}{m_f}\).
1.3.3 Normale
19Formel
\(\tan\alpha=m\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel einer Geraden.
1.3.1 Steigung
20Formel
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Erste binomische Formel. Das gemischte Glied \(2ab\) wird am häufigsten vergessen.
1.2.2 Terme umformen
21Formel
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Zweite binomische Formel. Nur das mittlere Vorzeichen unterscheidet sie von der ersten.
1.2.2 Terme umformen
22Formel
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Dritte binomische Formel. Sie erkennt man an der Differenz zweier Quadrate — nützlich zum Faktorisieren.
1.2.2 Terme umformen
23Formel
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Potenzen mit gleicher Basis: Exponenten addieren. Analog \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
1.2.7 Potenzgesetze
24Formel
\(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren. \(\left(2^3\right)^2=2^6=64\).
1.2.7 Potenzgesetze
25Formel
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), \(a^0=1\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Negativer Exponent bedeutet Kehrwert, nicht negatives Vorzeichen. Der Exponent 0 macht jede Potenz (mit \(a\neq0\)) zu 1.
1.2.7 Potenzgesetze
26Formel
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Jede Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten. Damit gelten für Wurzeln automatisch alle Potenzgesetze.
1.2.7 Wurzelgesetze
27Formel
\(\log(u\cdot v)=\log u+\log v\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Produkt wird zur Summe. Ebenso \(\log\!\left(\tfrac uv\right)=\log u-\log v\) und \(\log\!\left(u^r\right)=r\cdot\log u\).
1.2.8 Logarithmusgesetze
28Formel
\(x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
\(p\)-\(q\)-Formel — gilt nur für die Normalform \(x^2+px+q=0\). Vorher gegebenenfalls normieren.
1.5.2 Nullstellen
29Formel
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Mitternachtsformel für \(ax^2+bx+c=0\). Sie funktioniert auch, wenn \(a\neq1\) ist.
1.5.2 Nullstellen
30Formel
\(f(x)=a(x-d)^2+e\)
Karte anklicken zum Umdrehen
Bedeutung und Hinweis
Scheitelform mit \(S(d\,|\,e)\). \(a>0\): nach oben geöffnet, \(|a|>1\): enger als die Normalparabel.
1.5.1 Allgemeines
Keine Karte in dieser Auswahl — alle sind bereits als gelernt markiert.
So lernt man mit Karten wirklich: Gehen Sie alle dreißig Karten durch und markieren Sie nur die, die Sie ohne Zögern beantworten konnten. Wiederholen Sie am nächsten Tag über den Filter „Noch offen“ nur den Rest. Nach drei solchen Durchgängen bleibt meist eine Handvoll Karten übrig — und genau die gehören auf den Spickzettel, den Sie vor der Klausur noch einmal ansehen.