Bruchrechnen: Kürzen: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungBruchrechnen: Kürzen und Erweitern — wertgleiche Brüche, Faktor oder Summand.

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Rechnen, Zuordnen und Entscheiden. Der erste Teil sichert das Kürzen und Erweitern mit Zahlen, der zweite überträgt beides auf Bruchterme mit Variablen — inklusive der Frage, wann Ausklammern das Kürzen erst möglich macht. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Begriffe gehören in den Text, einer bleibt übrig. Vervollständigen Sie den Text.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl , beim werden sie mit derselben Zahl . In beiden Fällen entsteht ein er Bruch: gleicher Wert, andere Schreibweise. Gekürzt werden darf aber nur, was in Zähler und Nenner als auftritt.

Übrig bleibt „Summand“ — genau das, was man nicht kürzen darf. Kürzen und Erweitern sind Umkehrungen voneinander.

2Wertgleiche Brüche findenAFB I

Zwölf Karten: sechs gekürzte Brüche und sechs erweiterte. Finden Sie die wertgleichen Paare.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Versuche: 0 von 16

Schnelltest für Wertgleichheit: über Kreuz multiplizieren. \(\tfrac{7}{9}\) und \(\tfrac{28}{36}\) sind wertgleich, weil \(7\cdot 36=252=9\cdot 28\).

3Vollständig kürzenAFB I

Vier Brüche sollen vollständig gekürzt werden. Tragen Sie jeweils Zähler und Nenner des gekürzten Bruchs ein.

Links steht der Zähler, rechts der Nenner. Enter prüft alle Felder.

Bruch	\(\tfrac{12}{18}\)	\(\tfrac{45}{60}\)	\(\tfrac{17}{51}\)	\(\tfrac{36}{48}\)
gekürzt	/	/	/	/

\(\tfrac23\), \(\tfrac34\), \(\tfrac13\) und \(\tfrac34\). Bei \(\tfrac{17}{51}\) hilft \(51=3\cdot 17\); bei \(\tfrac{36}{48}\) ist 12 der größte gemeinsame Teiler.

4Auf einen vorgegebenen Nenner erweiternAFB I

Der Bruch \(\tfrac38\) soll so erweitert werden, dass der Nenner 56 ist.

Geben Sie den erweiterten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner des erweiterten Bruchs ein — hier ist ausnahmsweise nicht die gekürzte Form gefragt. Enter prüft.

\(56:8=7\), also mit 7 erweitern: \(\tfrac{3\cdot 7}{8\cdot 7}=\tfrac{21}{56}\).

5Erweitern und Zahlen ergänzenAFB I

Vier Aufgaben zum Erweitern. Tragen Sie die fehlenden Zahlen ein.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(\tfrac37\) mit 5 erweitert: / \(\tfrac29\) mit 6 erweitert: /

\(\tfrac45=\dfrac{\;?\;}{35}\): Zähler \(\tfrac78=\dfrac{21}{\;?\;}\): Nenner

\(\tfrac{15}{35}\), \(\tfrac{12}{54}\), \(\tfrac{28}{35}\) (mit 7 erweitert) und \(\tfrac{21}{24}\) (mit 3 erweitert). Der Erweiterungsfaktor ergibt sich aus dem bekannten Teil: \(35:5=7\), \(21:7=3\).

6Größenordnung schätzenAFB I

Der Bruch \(\tfrac{13}{17}\) lässt sich nicht kürzen.

Schätzen Sie seinen Wert als Dezimalzahl.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

\(13:17\approx 0{,}765\). Eine gute Schätzung: \(\tfrac{13}{17}\) liegt knapp über \(\tfrac{12}{16}=\tfrac34=0{,}75\).

7Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zum Kürzen und Erweitern. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

„Aus Summen kürzen nur die Dummen“ — die Prüffrage lautet immer: Ist das, was ich streichen will, oben und unten ein Faktor?

8Welche Brüche sind vollständig gekürzt?AFB I

Sechs Brüche. Wählen Sie alle aus, die sich nicht weiter kürzen lassen.

Mehrere Antworten können richtig sein. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(\tfrac{9}{15}=\tfrac35\), \(\tfrac{14}{21}=\tfrac23\), \(\tfrac{33}{44}=\tfrac34\). Bei \(\tfrac{25}{36}\) sind beide Zahlen Quadratzahlen, haben aber keinen gemeinsamen Teiler.

9Ein großer BruchAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{7}{9}\).

Kürzen Sie vollständig.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

Beide Zahlen enden auf 5, also mit 5 kürzen: \(\tfrac{21}{27}\). Dann mit 3: \(\tfrac79\). Der größte gemeinsame Teiler ist 15.

10Auf Hundertstel erweiternAFB I

Der Bruch \(\tfrac{7}{20}\) soll als Bruch mit dem Nenner 100 geschrieben werden.

Bestimmen Sie den Zähler.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(100:20=5\), also \(\tfrac{7\cdot 5}{20\cdot 5}=\tfrac{35}{100}=35\,\%\). Erweitern auf 100 ist der Weg zur Prozentangabe.

11Rechenkette: über den ggT kürzenAFB II

Der Bruch \(\dfrac{2}{3}\) soll vollständig gekürzt werden.

Rechnen Sie die vier Teilschritte nacheinander aus.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Größter gemeinsamer Teiler von 84 und 126
Zähler nach dem Kürzen
Nenner nach dem Kürzen
Wert des Bruchs als Dezimalzahl (drei Nachkommastellen)

\(84=2\cdot 42\) und \(126=3\cdot 42\), also \(\tfrac{84}{126}=\tfrac23\approx 0{,}667\). Wer schrittweise mit 2, 3 und 7 kürzt, kommt zum selben Ergebnis.

12Der versteckte NennerAFB II

Der Bruch \(\dfrac{6}{x}\) wird mit 4 erweitert und ergibt \(\dfrac{24}{36}\).

Bestimmen Sie \(x\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Der Nenner wurde mit 4 multipliziert: \(4x=36\), also \(x=9\). Probe: \(\tfrac69=\tfrac{24}{36}\).

13Der ErweiterungsfaktorAFB II

Es gilt \(\dfrac{9}{14}=\dfrac{117}{n}\).

Bestimmen Sie \(n\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(117:9=13\), also wurde mit 13 erweitert: \(n=14\cdot 13=182\).

14Bruchterm kürzen IAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{3x^2}{6x}\) mit \(x\neq 0\).

Kürzen Sie so weit wie möglich.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Gemeinsamer Faktor \(3x\): \(\dfrac{3x\cdot x}{3x\cdot 2}=\dfrac{x}{2}\).

15FehlersucheAFB II

Sieben Aussagen und Rechnungen, drei davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zweimal wurde aus einer Summe gekürzt, einmal mit 0 erweitert. Der Zahlentest hilft immer: Einsetzen und vergleichen.

16Bruchterm kürzen IIAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{2x+4}{x+2}\) mit \(x\neq -2\).

Kürzen Sie so weit wie möglich.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Im Zähler 2 ausklammern: \(\dfrac{2(x+2)}{x+2}=2\). Erst durch das Ausklammern wird \(x+2\) zum Faktor.

17Darf man hier kürzen?AFB III

Acht Bruchterme (alle Nenner ungleich 0). Entscheiden Sie, ob sich der Term durch Kürzen vereinfachen lässt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1darf gekürzt werden

2darf nicht gekürzt werden

Die Falle ist \(\tfrac{x+2}{2x+4}\): Im Nenner lässt sich 2 ausklammern, \(2x+4=2(x+2)\), und dann ist \(x+2\) ein gemeinsamer Faktor: \(\tfrac{x+2}{2(x+2)}=\tfrac12\). Bei \(\tfrac{x^2+1}{x}\) dagegen ist \(x\) im Zähler kein Faktor.

18Einen Bruchterm kürzenAFB III

Der Term \(\dfrac{4x+8}{6x+12}\) soll vollständig gekürzt werden.

Ordnen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Zähler ausklammern: \(4x+8=4(x+2)\)

2Nenner ausklammern: \(6x+12=6(x+2)\)

3Gemeinsamen Faktor \(x+2\) kürzen: \(\tfrac46\)

4Mit 2 kürzen: \(\tfrac23\)

5Prüfen: Ergebnis \(\tfrac23\) gilt für alle \(x\neq -2\)

Erst ausklammern, dann kürzen — niemals umgekehrt. Ohne das Ausklammern wäre \(x\) nur ein Summand.

19Bruchterm kürzen IIIAFB III

Gegeben ist \(\dfrac{x^2-1}{x+1}\) mit \(x\neq -1\).

Kürzen Sie so weit wie möglich. Tipp: Der Zähler lässt sich als Produkt zweier Klammern schreiben.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(x^2-1=(x+1)(x-1)\). Damit \(\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1\). Ohne diese Zerlegung dürfte nichts gekürzt werden.

20Darf ich kürzen? — der EntscheidungsbaumAFB III

Der Term \(\dfrac{3x}{3x+6}\) mit \(x\neq -2\) soll vereinfacht werden.

Beantworten Sie die Fragen für genau diesen Term.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein für den angegebenen Fall und schau, wo du herauskommst.

\(3x+6=3(x+2)\): Die 3 ist Faktor des gesamten Nenners, \(x\) aber nicht (es steckt in der Klammer). Also nur mit 3 kürzen: \(\dfrac{x}{x+2}\).

ZurückKapitelübersicht: Grundlagen der MathematikAlle Unterkapitel von den Funktionen bis zu den quadratischen Gleichungen.

Interaktive ÜbungBruchrechnen: Kürzen und Erweitern

Übungsaufgaben