Kürzen: gleicher Wert, kleinere Zahlen
Ein und derselbe Bruchwert lässt sich mit ganz verschiedenen Zahlenpaaren aufschreiben: \(\dfrac{2}{5}\), \(\dfrac{4}{10}\) und \(\dfrac{20}{50}\) bezeichnen alle denselben Anteil. Der Übergang von den großen zu den kleinen Zahlen heißt Kürzen. Dabei werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert — beide, nicht nur einer.
Kürzen
Kürzen heißt dividieren: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
Im Streifenbild wird sichtbar, was dabei passiert: Die gefärbte Länge bleibt unverändert, nur die Einteilung wird gröber. Bei \(\dfrac{3}{9}\) werden Zähler und Nenner durch \(3\) geteilt, es bleibt \(\dfrac{1}{3}\). Bei \(\dfrac{17}{51}\) sieht man die gemeinsame Zahl nicht sofort; wer aber \(51=17\cdot 3\) erkennt, kürzt mit \(17\) und erhält ebenfalls \(\dfrac{1}{3}\).
Beide Streifen sind bis zur gestrichelten Linie gefärbt, obwohl sie unterschiedlich fein eingeteilt sind. Kürzen verändert die Einteilung, nicht den Anteil.
- Kürzen:Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
- Faktor:Eine Zahl, mit der multipliziert wird. Nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner dürfen gekürzt werden.
- wertgleich:Zwei Brüche mit verschiedenen Zahlen, aber demselben Wert, etwa \(\dfrac{3}{9}\) und \(\dfrac{1}{3}\).
Erweitern: feinere Teile, gleicher Anteil
Das Erweitern ist der umgekehrte Weg. Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl \(n\) multipliziert, wobei \(n\) nicht \(0\) sein darf — sonst stünde im Nenner eine Null. Der Anteil bleibt derselbe, die Teile werden nur feiner.
Erweitern
Erweitern heißt multiplizieren: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
Ein Beispiel: \(\dfrac{7}{10}\) soll mit \(6\) erweitert werden. Dann wird der Zähler \(7\) mit \(6\) multipliziert und der Nenner \(10\) ebenfalls mit \(6\).
\(\dfrac{7}{10}\) mit \(6\) erweitert
Jedes der zehn Teile wird in sechs kleinere Teile zerlegt, dadurch entstehen 60 Teile und aus den 7 gefärbten werden 42. Die gefärbte Länge ändert sich nicht.
Probiere selbst aus, wie weit man erweitern kann, ohne den Wert zu ändern: Der obere Streifen zeigt den Ausgangsbruch, der untere denselben Bruch mit \(n\) erweitert.
Erweitern und Kürzen am Streifen
Bewege den Regler für \(n\) oder klicke auf den unteren Streifen, um \(n\) um eins zu erhöhen. Mit der Tabulatortaste wird der untere Streifen ausgewählt, Pfeil links und rechts ändern dann \(n\).
Der Wert in der Anzeige ändert sich nie, egal wie groß \(n\) wird. Von oben nach unten gelesen wird erweitert, von unten nach oben gelesen wird gekürzt — es ist dieselbe Gleichung in beide Richtungen.
Aus Summen kürzen nur die Dummen
Beim Kürzen wird sehr oft derselbe Fehler gemacht: Ein Buchstabe steht oben und unten, also wird er weggestrichen. Erlaubt ist das aber nur, wenn er in Zähler und Nenner als Faktor auftritt — also mit dem ganzen Rest multipliziert wird. Steht er dagegen als Summand in einer Summe oder Differenz, darf nicht gekürzt werden.
So darf nicht gekürzt werden
Links ist \(x\) nur ein Summand des Nenners, das Streichen liefert einen anderen Term. Rechts ist \(n\) ein Faktor in Zähler und Nenner und darf gestrichen werden. Gekürzt wird ausschließlich, was oben und unten als Faktor steht.
Aus Summen kürzen nur die Dummen: Gekürzt werden darf nur, was in Zähler und Nenner als Faktor auftritt — niemals einzelne Summanden.
Dass die beiden Terme wirklich verschieden sind, zeigt eine einzige Zahlenprobe. Setzt man \(x=4\) und \(y=2\) ein, so ergibt der linke Term \(\dfrac{4}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2\), der rechte dagegen \(\dfrac{1}{1-2}=\dfrac{1}{-1}=-1\). Zwei und minus eins sind offensichtlich nicht dasselbe.
Prüffrage vor dem Kürzen: Ist die Zahl oben und unten ein Faktor? Nur dann darfst du kürzen.
Allgemeine Hinweise
Nur Faktoren kürzen
Steht eine Zahl als Summand in einer Summe, darfst du sie nicht streichen. \(\dfrac{x+2}{x}\) lässt sich nicht kürzen.
Zahlenprobe
Setze eine Zahl ein und vergleiche beide Terme. Sind die Werte verschieden, war das Kürzen falsch.
Vollständig kürzen
Kürze mit dem grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Dann ist der Bruch in einem Schritt fertig.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.