Die Übersetzungen am Werkstattrad
AFB IIn einer Fahrradwerkstatt wird die Übersetzung eines Gangs als Bruch notiert: im Zähler die Zähnezahl des vorderen Kettenblatts, im Nenner die Zähnezahl des hinteren Ritzels. Der Bruch \(\frac{48}{16}\) bedeutet demnach, dass sich das Hinterrad bei einer vollen Kurbelumdrehung dreimal dreht. Material M1 zeigt fünf Gänge eines Werkstattrades.
| Gang | Kettenblatt (Zähne) | Ritzel (Zähne) |
|---|---|---|
| G1 | 48 | 16 |
| G2 | 36 | 24 |
| G3 | 52 | 26 |
| G4 | 42 | 28 |
| G5 | 45 | 15 |
Die Übersetzung ist der Bruch Kettenblatt durch Ritzel; zwei Gänge mit wertgleichen Brüchen fahren sich völlig gleich.
- Geben Sie zu jedem der fünf Gänge die Übersetzung als vollständig gekürzten Bruch an.
- Nennen Sie die Gänge, deren Übersetzungen wertgleich sind, und erläutern Sie, was das für die Fahrerin bedeutet.
- Bestimmen Sie, wie viele Zähne das Kettenblatt haben muss, damit zusammen mit einem neuen Ritzel mit 22 Zähnen genau die Übersetzung von Gang G2 erhalten bleibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{48}{16}=\frac{3}{1}=3\) (mit 16 gekürzt), \(\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\) (mit 12 gekürzt), \(\frac{52}{26}=\frac{2}{1}=2\) (mit 26 gekürzt), \(\frac{42}{28}=\frac{3}{2}\) (mit 14 gekürzt), \(\frac{45}{15}=\frac{3}{1}=3\) (mit 15 gekürzt).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wertgleich sind G1 und G5 (beide \(3\)) sowie G2 und G4 (beide \(\frac{3}{2}\)).
Für die Fahrerin bedeutet das: Diese Gangpaare fühlen sich beim Treten gleich an, denn das Hinterrad dreht sich je Kurbelumdrehung gleich oft. Die unterschiedlichen Zähnezahlen ändern nur die Bauweise, nicht den Wert des Bruchs. Das Rad besitzt also fünf Gänge, aber nur drei verschiedene Übersetzungen: \(3\), \(\frac{3}{2}\) und \(2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gang G2 hat die Übersetzung \(\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\). Gesucht ist der wertgleiche Bruch mit dem Nenner 22. Wegen \(2\cdot 11=22\) muss mit 11 erweitert werden.
\(\frac{3}{2}=\frac{3\cdot 11}{2\cdot 11}=\frac{33}{22}\)
Das neue Kettenblatt muss 33 Zähne haben; die Übersetzung von G2 bleibt dann unverändert.
Der Farbton für die Turnhalle
AFB IIEine Malerwerkstatt mischt den Farbton „Salbeigrün“ nach einem Musteransatz: 6 Liter Weiß, 4 Liter Gelb und 2 Liter Blau ergeben zusammen 12 Liter Farbe (Material M2). Der Farbton hängt allein vom Verhältnis der drei Mengen ab, nicht von der Gesamtmenge.
Nur das Verhältnis der drei Anteile bestimmt den Farbton; jede wertgleiche Mischung ergibt denselben Ton.
- Bestimmen Sie das Mischungsverhältnis Weiß zu Gelb zu Blau in der kleinstmöglichen Schreibweise mit ganzen Zahlen.
- Berechnen Sie, wie viele Liter Weiß, Gelb und Blau für einen Auftrag über 54 Liter Salbeigrün angerührt werden müssen.
- Überprüfen Sie, ob ein Auszubildender den Farbton getroffen hat, der 15 Liter Weiß, 10 Liter Gelb und 6 Liter Blau zusammengerührt hat, und geben Sie an, wie er den Ansatz gegebenenfalls korrigieren muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Musteransatz lautet \(6:4:2\). Alle drei Zahlen sind durch 2 teilbar: \(6:2=3\), \(4:2=2\), \(2:2=1\). Weiter lässt sich nicht kürzen, denn 3, 2 und 1 haben nur den gemeinsamen Teiler 1.
Das Mischungsverhältnis ist \(3:2:1\). Als Anteil geschrieben: \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) der Farbe ist Weiß, \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) Gelb und \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\) Blau.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Ansatz besteht aus \(3+2+1=6\) gleich großen Teilen. Bei 54 Litern gilt \(54:6=9\), ein Teil sind also 9 Liter.
Weiß: \(3\cdot 9=27\ \text{l}\); Gelb: \(2\cdot 9=18\ \text{l}\); Blau: \(1\cdot 9=9\ \text{l}\).
Gleichbedeutend ist das Erweitern der Anteile mit 9: \(\frac{3}{6}=\frac{27}{54}\), \(\frac{2}{6}=\frac{18}{54}\) und \(\frac{1}{6}=\frac{9}{54}\). Für den Auftrag werden 27 Liter Weiß, 18 Liter Gelb und 9 Liter Blau angerührt; zusammen ergibt das die verlangten 54 Liter.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Weiß zu Gelb: \(\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\) — das passt zum Musterverhältnis \(3:2\).
Weiß zu Blau: \(\frac{15}{6}=\frac{5}{2}\); verlangt ist aber \(\frac{3}{1}=\frac{6}{2}\). Wegen \(\frac{5}{2}\neq\frac{6}{2}\) sind die beiden Brüche nicht wertgleich.
Der Farbton ist also nicht getroffen. Zu 15 Litern Weiß gehören \(15:3=5\) Liter Blau, der Auszubildende hat 1 Liter zu viel genommen; die Mischung fällt zu blau und damit zu dunkel aus. Korrigieren kann er auf zwei Wegen: Er füllt auf 18 Liter Weiß und 12 Liter Gelb auf, denn \(18:12:6\) ist wertgleich zu \(3:2:1\) — oder er rührt den Ansatz mit genau 5 Litern Blau neu an.
Vier Bildschirme im Medienraum
AFB IIIm Medienraum einer Schule stehen vier Anzeigegeräte mit unterschiedlichen Auflösungen (Material M3). Das Seitenverhältnis eines Bildschirms ist der Bruch aus Breite und Höhe in Pixeln. Ein Video wird nur dann unverzerrt formatfüllend dargestellt, wenn sein Seitenverhältnis mit dem des Geräts wertgleich ist.
| Gerät | Breite in Pixeln | Höhe in Pixeln |
|---|---|---|
| Beamer | 1920 | 1080 |
| Monitor A | 1280 | 1024 |
| Tablet | 2160 | 1620 |
| Laptop | 1680 | 1050 |
Zwei Geräte haben genau dann dasselbe Bildformat, wenn die Brüche Breite durch Höhe wertgleich sind.
- Bestimmen Sie für jedes der vier Geräte das Seitenverhältnis als vollständig gekürzten Bruch.
- Ermitteln Sie die Höhe, die der Beamer im Sparmodus einstellen muss, wenn er bei einer Breite von 1600 Pixeln sein Bildformat beibehalten soll.
- Entscheiden Sie, welches Gerät das breiteste Bildformat besitzt, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie die vier gekürzten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beamer: \(\frac{1920}{1080}=\frac{192}{108}=\frac{48}{27}=\frac{16}{9}\) (insgesamt mit 120 gekürzt).
Monitor A: \(\frac{1280}{1024}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}\) (insgesamt mit 256 gekürzt).
Tablet: \(\frac{2160}{1620}=\frac{216}{162}=\frac{108}{81}=\frac{4}{3}\) (insgesamt mit 540 gekürzt).
Laptop: \(\frac{1680}{1050}=\frac{168}{105}=\frac{56}{35}=\frac{8}{5}\) (insgesamt mit 210 gekürzt).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Beamer hat das Format \(\frac{16}{9}\). Gesucht ist der wertgleiche Bruch mit dem Zähler 1600. Wegen \(16\cdot 100=1600\) wird mit 100 erweitert.
\(\frac{16}{9}=\frac{16\cdot 100}{9\cdot 100}=\frac{1600}{900}\)
Der Beamer muss im Sparmodus eine Höhe von 900 Pixeln einstellen; das Bild bleibt dann unverzerrt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein gemeinsamer Nenner von 9, 4, 3 und 5 ist \(180\). Erweitert ergibt sich:
\(\frac{16}{9}=\frac{320}{180}\), \(\frac{5}{4}=\frac{225}{180}\), \(\frac{4}{3}=\frac{240}{180}\), \(\frac{8}{5}=\frac{288}{180}\)
Der größte Zähler gehört zum Beamer. Er besitzt mit \(16:9\) das breiteste Bildformat, gefolgt vom Laptop \((8:5)\), dem Tablet \((4:3)\) und dem Monitor A \((5:4)\). Ein Video im Format \(16:9\) läuft also nur auf dem Beamer unverzerrt formatfüllend; auf allen anderen Geräten bleiben Ränder frei oder das Bild wird beschnitten.
Die Schülerzeitung rechnet nach
AFB IIIDie Redaktion der Schülerzeitung holt ein Angebot der Druckerei ein: Für die Druckplatten werden einmalig 80 Euro berechnet, dazu kommen 2 Euro für jedes gedruckte Heft. Werden \(x\) Hefte gedruckt, so betragen die Kosten je Heft \(\frac{80+2x}{x}\) Euro (Material M4).
Jonas schaut auf den Term und sagt: „Das \(x\) steht oben und unten, das kürze ich weg. Dann bleibt \(\frac{80+2}{1}=82\) — jedes Heft kostet also 82 Euro.“
Die gestrichelte Linie markiert die reinen Druckkosten von 2 Euro je Heft. Der Graph zeigt einen Zusammenhang, er beweist ihn nicht.
- Berechnen Sie die Kosten je Heft für eine Auflage von 40 Heften und für eine Auflage von 200 Heften.
- Widerlegen Sie Jonas’ Behauptung mit einer Zahlenprobe und erklären Sie, welche Bedingung des Kürzens er verletzt hat.
- Zeigen Sie, dass \(\frac{80+2x}{x}=\frac{80}{x}+2\) für jede Auflage \(x>0\) gilt, und interpretieren Sie die beiden Summanden im Sachzusammenhang.
- Beurteilen Sie die Aussage der Chefredakteurin: „Wenn wir nur genügend Hefte drucken, sinken die Kosten je Heft unter 2 Euro.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Auflage 40: \(\frac{80+2\cdot 40}{40}=\frac{160}{40}=4\). Ein Heft kostet 4,00 Euro.
Auflage 200: \(\frac{80+2\cdot 200}{200}=\frac{480}{200}=\frac{12}{5}=2{,}4\). Ein Heft kostet 2,40 Euro.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zahlenprobe mit \(x=40\): Der Term ergibt nach Teilaufgabe a) genau 4 Euro, Jonas behauptet 82 Euro. Beide Werte stimmen nicht überein, die Behauptung ist damit widerlegt.
Der Fehler liegt in der Kürzungsregel: Gekürzt werden darf nur, was in Zähler und Nenner als Faktor auftritt, also mit allem anderen multipliziert wird. Im Zähler \(80+2x\) ist \(x\) jedoch nur Bestandteil des Summanden \(2x\) und wird nicht mit der 80 multipliziert. Aus einer Summe darf man nicht kürzen; Jonas hat den Summanden mit einem Faktor verwechselt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{80+2x}{x}=\frac{80}{x}+\frac{2x}{x}=\frac{80}{x}+2\)
Der erste Schritt zerlegt den Bruch in zwei Brüche mit demselben Nenner \(x\). Im zweiten Bruch ist \(x\) nun in Zähler und Nenner ein Faktor: \(\frac{2x}{x}=\frac{2\cdot x}{1\cdot x}=2\). Die Umformung ist für \(x>0\) zulässig, weil dann nicht durch null geteilt wird.
Im Sachzusammenhang: Der Summand \(2\) sind die reinen Druckkosten je Heft, die bei jeder Auflage anfallen. Der Summand \(\frac{80}{x}\) ist der Anteil der einmaligen Plattenkosten, der auf ein einzelnes Heft entfällt; er wird umso kleiner, je mehr Hefte gedruckt werden.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist falsch. Für jede Auflage \(x>0\) ist \(\frac{80}{x}>0\), also gilt \(\frac{80}{x}+2>2\). Die Kosten je Heft liegen damit immer über 2 Euro, ganz gleich wie groß die Auflage gewählt wird.
Der Kern der Beobachtung stimmt allerdings: Die Kosten je Heft sinken mit wachsender Auflage und kommen den 2 Euro beliebig nahe — bei 800 Heften sind es \(\frac{80}{800}+2=2{,}10\) Euro, bei 4000 Heften nur noch \(2{,}02\) Euro. Erreicht oder unterschritten werden die 2 Euro aber nie, weil die 80 Euro Plattenkosten stets auf endlich viele Hefte verteilt werden müssen. Genau das zeigt auch der Graph in M4: Die Kurve nähert sich der gestrichelten Linie, ohne sie zu berühren. Die Chefredakteurin sollte ihre Aussage also abschwächen zu: „Je größer die Auflage, desto näher liegen die Kosten je Heft bei 2 Euro.“
Trefferquoten in der Basketball-AG
AFB IIIDie Basketball-AG wertet ein Training aus. Für jede Spielerin werden die Zahl der Treffer und die Zahl der Würfe notiert; die Trefferquote ist der Bruch aus Treffern und Würfen (Material M5). Verglichen werden sollen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile.
| Spielerin | Treffer | Würfe |
|---|---|---|
| Mia | 12 | 20 |
| Lea | 21 | 35 |
| Nele | 15 | 24 |
Die Trefferquote ist ein Anteil, keine Anzahl — vergleichbar wird sie erst durch Kürzen und Erweitern.
- Bestimmen Sie für jede Spielerin die Trefferquote als vollständig gekürzten Bruch.
- Vergleichen Sie die drei Trefferquoten, indem Sie die gekürzten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern.
- Widerlegen Sie die Aussage des Trainers: „Lea ist die bessere Werferin als Mia, denn sie hat 21 Treffer erzielt und Mia nur 12.“
- Nehmen Sie Stellung zu der Behauptung eines Mitspielers: „Erweitern heißt doch, oben und unten dasselbe zu tun. Wenn Mia im nächsten Training einen zusätzlichen Wurf trifft, steht bei ihr 13 von 21 — ihre Quote bleibt also gleich.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mia: \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\) (mit 4 gekürzt).
Lea: \(\frac{21}{35}=\frac{3}{5}\) (mit 7 gekürzt).
Nele: \(\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\) (mit 3 gekürzt).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ein gemeinsamer Nenner von 5 und 8 ist \(40\).
\(\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40}\) und \(\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{25}{40}\)
Mia und Lea treffen mit \(\frac{24}{40}=0{,}6\) exakt gleich gut, Nele liegt mit \(\frac{25}{40}=0{,}625\) knapp darüber. Nele hat also die beste Trefferquote des Trainings, der Vorsprung beträgt aber nur \(\frac{1}{40}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Beide Quoten sind wertgleich: \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\) und \(\frac{21}{35}=\frac{3}{5}\). Umgekehrt entsteht Leas Bruch aus \(\frac{3}{5}\) durch Erweitern mit 7, Mias Bruch durch Erweitern mit 4 — beide Male ändert sich der Wert nicht.
Der Trainer vergleicht Anzahlen statt Anteile. Lea hat mehr Treffer, weil sie mit 35 Würfen deutlich häufiger geworfen hat als Mia mit 20; sie hat aber auch mehr danebengeworfen (14 gegenüber 8). Aus der reinen Trefferzahl lässt sich keine Aussage über die Qualität des Wurfes ableiten, solange die Zahl der Versuche verschieden ist.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist nicht haltbar, auch wenn der Ansatz zunächst einleuchtend klingt. Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren: \(\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}\). Beim zusätzlichen Treffer wird dagegen zu Zähler und Nenner dieselbe Zahl addiert, und das ist eine ganz andere Umformung.
Rechnerisch: \(\frac{3}{5}=\frac{63}{105}\) und \(\frac{13}{21}=\frac{65}{105}\). Wegen \(65>63\) steigt Mias Quote von \(0{,}6\) auf rund \(0{,}619\).
Allgemein gilt \(\frac{a+n}{b+n}\neq\frac{a}{b}\), sobald \(a\neq b\) ist; schon \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{3}\) sind ein Gegenbeispiel. Das Addieren gleicher Zahlen schiebt jeden Anteil, der kleiner als 1 ist, näher an 1 heran, statt ihn unverändert zu lassen. Ich halte die Behauptung deshalb für falsch: Der Mitspieler verwechselt Erweitern mit dem Addieren gleicher Zahlen. Für Mia ist das eine gute Nachricht, denn ihre Quote verbessert sich durch den Treffer tatsächlich.