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Interaktive ÜbungDas Koordinatensystem

Zwanzig Aufgaben zu Achsen, Punkten und Graphen — ablesen, eintragen, rechnen und aus zwei Punkten die Gerade bestimmen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDas Koordinatensystem — Achsen, Punkte und der Graph von f(x) = x + 2.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben rund um Achsen, Punkte und Graphen — Koordinaten ablesen, Punkte setzen, Wertetabellen rechnen und Geraden aus zwei Punkten bestimmen. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Bestandteile des KoordinatensystemsAFB I

Ein vollständiges Koordinatensystem mit vier Punkten. Klicken Sie nacheinander die gesuchten Bestandteile an.

Klicke die gestrichelt markierten Zonen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

xy−4−3−2−112345−3−2−11234ABCD
Zu jeder Achse gehören Pfeilspitze, Beschriftung und Skalierung. Links vom Ursprung sind die x-Werte negativ, unterhalb die y-Werte. B(−2 | 3) liegt links oben, C(−3 | −2) links unten.
2Punkte eintragenAFB I

Tragen Sie die fünf Punkte in das Koordinatensystem ein.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Erst waagerecht um die x-Koordinate, dann senkrecht um die y-Koordinate. R liegt auf der y-Achse, weil x = 0 ist; T liegt auf der x-Achse, weil y = 0 ist.
3Koordinaten ablesenAFB I

Lesen Sie die Koordinaten der fünf Punkte ab.

Fünf Punkte zum Ablesen
xy−5−4−3−2−112345−4−3−2−11234ABCDE

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Punktx-Koordinatey-Koordinate
A
B
C
D
E
Vom Kreuz senkrecht zur x-Achse für die erste Koordinate, waagerecht zur y-Achse für die zweite. E liegt auf der y-Achse, seine x-Koordinate ist 0.
4Wo liegt der Punkt?AFB I

Ohne Zeichnung, nur aus den Koordinaten: Kreuzen Sie alle zutreffenden Eigenschaften an.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Punktliegt auf der x-Achseliegt auf der y-Achselinks vom Ursprungunterhalb der x-Achse
(2 | 0)
(0 | −5)
(−3 | 4)
(−1 | −1)
(0 | 0)
y = 0 bedeutet „auf der x-Achse“, x = 0 bedeutet „auf der y-Achse“ — der Ursprung erfüllt beides. Negatives x heißt links, negatives y heißt unterhalb. (0 | −5) liegt auf der y-Achse und trotzdem unterhalb der x-Achse.
5Punktschreibweise zusammensetzenAFB I

Vom Ursprung aus geht man 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Setzen Sie die Koordinatenschreibweise dieses Punktes P zusammen.

Setze den Term von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Nach rechts heißt positives x, nach unten negatives y: P(3 | −2). Die Reihenfolge ist festgelegt — zuerst x, dann y, getrennt durch den senkrechten Strich.
6Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage über Punkte und Achsen, ob sie zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6

Zwei Regeln erledigen fast alles: x = 0 heißt y-Achse, y = 0 heißt x-Achse — und die Reihenfolge (x | y) ist nicht vertauschbar.
7Wertetabelle für den GraphenAFB II

Bevor gezeichnet wird, werden Punkte berechnet. Füllen Sie die Wertetabelle von \(f(x)=-0{,}5x+1\) aus.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
x−4−20246
f(x)
Minus mal minus gibt plus: −0,5 · (−4) = 2, plus 1 ergibt 3. Pro zwei Schritte nach rechts sinkt der Wert um 1. Bei x = 2 liegt die Nullstelle, bei x = 0 der Schnitt mit der y-Achse.
8Die Tabellenpunkte eintragenAFB II

Die Wertepaare aus der vorigen Aufgabe werden jetzt Punkte. Setzen Sie die vier Punkte zu \(x=-4,\;0,\;2,\;6\) für \(f(x)=-0{,}5x+1\).

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Alle vier Punkte liegen auf einer fallenden Geraden durch (0 | 1). Wer sie mit dem Lineal verbindet und mit f(x) beschriftet, hat den fertigen Graphen.
9Den Graphen zeichnen — in welcher Reihenfolge?AFB I

Bringen Sie die Arbeitsschritte beim Zeichnen eines Graphen in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Koordinatensystem mit Pfeilspitzen, Beschriftung x und y sowie Skalierung zeichnen
2Mehrere x-Werte wählen und die Funktionswerte berechnen (Wertetabelle)
3Jedes Wertepaar als Kreuz in das Koordinatensystem eintragen
4Die Kreuze mit dem Lineal oder in einem Bogen verbinden
5Den fertigen Graphen mit f(x) beschriften
Erst die Bühne, dann die Zahlen, dann die Punkte. Beschriftet wird ganz am Ende — damit klar ist, zu welcher Funktion die Linie gehört.
10Liegt der Punkt auf dem Graphen?AFB II

Gegeben ist \(f(x)=2x-3\). Rechnen Sie die Kette durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Negative Zahlen mit Minuszeichen eingeben.
  1. Berechne f(4).= f(4)
  2. Liegt P(4 | 5) auf dem Graphen? Tippe 1 für ja, 0 für nein.ja/nein
  3. Berechne f(−1).= f(−1)
  4. Q(−1 | 5) soll geprüft werden. Liegt Q auf dem Graphen? 1 = ja, 0 = nein.ja/nein
  5. Welche y-Koordinate muss ein Punkt mit x = 3 haben, damit er auf dem Graphen liegt?= y
  6. Welche x-Koordinate hat der Punkt des Graphen mit y = 9?= x
Punktprobe: x-Koordinate einsetzen, Ergebnis mit der y-Koordinate vergleichen. f(−1) = −5, nicht 5 — Q liegt also nicht auf dem Graphen. Für y = 9 löst man 2x − 3 = 9, also x = 6.
11Einen Punkt eintragenAFB I

Der Punkt \(P(-2\,|\,3)\) soll eingezeichnet werden. Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Handlung.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

    Vom Ursprung aus: x nach links oder rechts, y nach oben oder unten, dann Kreuz und Beschriftung. Wer x und y vertauscht, landet bei (3 | −2) — einem ganz anderen Punkt.
    12Punkte und ihre LageAFB II

    Verbinden Sie jeden Punkt mit der Beschreibung, die nur auf ihn zutrifft.

    Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
    Auf den Achsen ist immer eine Koordinate null. Punkte mit x = y liegen auf der Diagonalen durch den Ursprung nach rechts oben, Punkte mit y = −x auf der Diagonalen nach rechts unten.
    13Steigung und y-Achsenabschnitt ablesenAFB II

    Die Gerade ist der Graph einer Funktion \(f(x)=m\cdot x+b\). Lesen Sie \(b\) am Schnitt mit der \(y\)-Achse ab, bestimmen Sie \(m\) aus den beiden Kreuzen und schreiben Sie die Gleichung auf.

    Eine Gerade mit zwei markierten Punkten
    xy−4−3−2−11234−4−3−2−112345
    Die Kreuze liegen bei (0 | −1) und (2 | 3).

    Für die Gleichung ist die Schreibweise frei, z. B. 2x-1. Enter prüft.
    Die Gerade schneidet die y-Achse bei −1, also b = −1. Von (0 | −1) nach (2 | 3) sind es 2 nach rechts und 4 nach oben, also m = 4 : 2 = 2. Gleichung: f(x) = 2x − 1.
    14Besondere Punkte auf dem GraphenAFB II

    Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=x+2\). Setzen Sie die gesuchten Punkte genau auf die Gerade.

    Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

    Der Schnitt mit der y-Achse liegt bei x = 0: f(0) = 2, also b = 2. Die Nullstelle ist die Stelle, an der der Funktionswert null wird: x + 2 = 0 ergibt x = −2. Für y = 5 muss x = 3 sein.
    15Lückenhafte WertetabelleAFB II

    In der Wertetabelle von \(f(x)=x+2\) fehlen abwechselnd x-Werte und Funktionswerte. Ergänzen Sie.

    Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
    ABCDE
    x−31
    y06−5,5
    Vorwärts: x + 2. Rückwärts: y − 2. Aus y = 6 wird x = 4, aus y = −5,5 wird x = −7,5. Dezimalzahlen dürfen mit Komma oder Punkt eingegeben werden.
    16Fehler beim ZeichnenAFB II

    Sechs Aussagen zum Zeichnen und Ablesen. Drei davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen.

    In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    Die häufigsten Fehler beim Zeichnen: x und y vertauschen, die Achsen verwechseln und zu wenige Punkte berechnen. Unterschiedliche Skalierungen auf den beiden Achsen sind dagegen erlaubt, solange sie angeschrieben sind.
    17Welche Punkte liegen auf dem Graphen?AFB II

    Gegeben ist \(f(x)=x+2\). Markieren Sie alle Punkte, die auf dem Graphen \(G_f\) liegen.

    Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
    Ein Punkt liegt auf Gf, wenn seine y-Koordinate um 2 größer ist als seine x-Koordinate. (2 | 0) und (4 | 2) haben es genau falsch herum, (3 | −5) passt gar nicht.
    18Abstände im KoordinatensystemAFB III

    Gegeben ist der Punkt \(P(-3\,|\,4)\). Bestimmen Sie seinen Abstand zur \(y\)-Achse, zur \(x\)-Achse und zum Ursprung.

    Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter prüft ebenfalls.
    Der Abstand zur y-Achse ist der Betrag der x-Koordinate (3), der Abstand zur x-Achse der Betrag der y-Koordinate (4). Zum Ursprung führt die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks: √(3² + 4²) = √25 = 5.
    19Auf, über oder unter dem Graphen?AFB III

    Für \(f(x)=x+2\): Ordnen Sie jeden Punkt danach ein, ob er auf dem Graphen, oberhalb oder unterhalb davon liegt.

    Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
    1 liegt auf Gf
    2 liegt oberhalb
    3 liegt unterhalb
    Vergleiche die y-Koordinate des Punktes mit f(x): Ist sie größer, liegt der Punkt oberhalb; ist sie kleiner, unterhalb. (−3 | 0): f(−3) = −1, und 0 ist größer als −1 — also oberhalb, auch wenn der Punkt auf der x-Achse liegt.
    20Von zwei Punkten zur ganzen GeradenAFB III

    Aus einer Zeichnung wurden die Punkte \(A(-2\,|\,-3)\) und \(B(2\,|\,5)\) einer Geraden abgelesen. Bestimmen Sie die Gleichung \(f(x)=m\cdot x+b\) und die weiteren Kenngrößen.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Negative Zahlen mit Minuszeichen eingeben.
    1. Wie groß ist die Steigung m?= m
    2. Wie groß ist der y-Achsenabschnitt b?= b
    3. Gib die Funktionsgleichung f(x) an.f(x)
    4. Berechne f(6).= f(6)
    5. An welcher Stelle x schneidet die Gerade die x-Achse?= x
    Von A nach B: 4 nach rechts, 8 nach oben, also m = 2. Mit A: −3 = 2 · (−2) + b liefert b = 1. Die Nullstelle ergibt sich aus 2x + 1 = 0, also x = −0,5.
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