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Das Koordinatensystem

Zwei beschriftete Achsen, ein Ursprung und Punkte mit zwei Koordinaten: So entsteht aus einer Funktionsgleichung Schritt für Schritt der Graph.

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Der Aufbau des Koordinatensystems

Das Koordinatensystem ist die Zeichenfläche für Graphen: zwei Achsen, die sich rechtwinklig schneiden.

Ein vollständig beschriftetes Koordinatensystem
xy−4−3−2−11234−4−3−2−1123Ursprung (0 | 0)Die x-Achse mit Pfeilspitze,Beschriftung und Skalierung.Das gleiche gilt für die y-Achse.Ein Kästchen entspricht einer Einheit.

Die waagerechte Achse ist die \(x\)-Achse, die senkrechte die \(y\)-Achse. Zu einer vollständigen Achse gehören immer Pfeilspitze, Beschriftung und Skalierung.

  • \(x\)-Achse:waagerecht, Pfeilspitze rechts, beschriftet mit \(x\).
  • \(y\)-Achse:senkrecht, Pfeilspitze oben, beschriftet mit \(y\).
  • Skalierung:Striche mit Zahlen auf beiden Achsen, z. B. 1 Kästchen = 1 Einheit.
  • Ursprung:Schnittpunkt der Achsen, dort gilt \(x = 0\) und \(y = 0\).
Merke

Jede Achse: Pfeilspitze + Beschriftung + Skalierung

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Punkte ablesen und eintragen

Ein Punkt wird durch zwei Zahlen festgelegt: zuerst die \(x\)-Koordinate, dann die \(y\)-Koordinate.

Drei Punkte mit ihren Koordinaten
xy−4−3−2−11234−4−3−2−1123(0 | 2)(−2 | 0)(−4 | −2)Erst waagerecht bis zur x-Koordinate, dann senkrecht bis zur y-Koordinate.

Die gestrichelten Hilfslinien zeigen, an welchen Stellen der Achsen die beiden Koordinaten abgelesen werden. Zuerst kommt immer die \(x\)-Koordinate, danach die \(y\)-Koordinate.

  • Schreibweise:\(P(x\,|\,y)\), z. B. \((0\,|\,2)\).
  • Eintragen:bei \(x\) starten, senkrecht bis zur Höhe \(y\) gehen, Kreuz setzen.
  • Ablesen:vom Kreuz senkrecht zur \(x\)-Achse und waagerecht zur \(y\)-Achse gehen.
  • Auf der \(y\)-Achse:Punkte mit \(x = 0\), z. B. \((0\,|\,2)\).
  • Auf der \(x\)-Achse:Punkte mit \(y = 0\), z. B. \((-2\,|\,0)\).

Verschiebe das Kreuz: Bei welchen Punkten passt der \(y\)-Wert genau zu \(f(x)=x+2\)?

Punkte setzen und prüfen

Ziehe das Kreuz mit der Maus oder wähle es mit der Tabulatortaste aus und verschiebe es mit den Pfeiltasten. Mit Enter blendest du die Gerade ein und aus.

xy−5−4−3−2−112345−4−3−2−11234(1 | 3)
x-Koordinate
1
y-Koordinate
3
f(x) = x + 2
3
f(1) = 1 + 2 = 3. Der Punkt (1 | 3) liegt auf dem Graphen von f.

Alle Punkte mit \(y = x+2\) liegen auf derselben Geraden.

Merke

Punkt: \(P(x\,|\,y)\) — erst \(x\), dann \(y\)

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Den Graphen von \(f(x)=x+2\) zeichnen

Einen Graphen zeichnest du in drei Schritten.

  • Schritt 1:Koordinatensystem mit Pfeilspitzen, Beschriftung und Skalierung zeichnen.
  • Schritt 2:Punkte berechnen: \(f(0) = 2\), \(f(-2) = 0\), \(f(-4) = -2\).
  • Schritt 3:\((0\,|\,2)\), \((-2\,|\,0)\), \((-4\,|\,{-2})\) eintragen, verbinden, mit \(f(x)\) beschriften.
  • Anzahl:mindestens 3 bis 5 Punkte, je nach Funktion.
  • Steigung:pro Schritt nach rechts \(1\) nach oben, also \(m = 1\).
  • \(y\)-Achsenabschnitt:die Gerade schneidet die \(y\)-Achse bei \(b = 2\).
In drei Schritten zum Graphen
Schritt 1: Achsen zeichnenf(x) = x + 2xy−4−3−2−11234−4−3−2−1123Schritt 2: Punkte eintragenf(x) = x + 2xy−4−3−2−11234−4−3−2−1123Schritt 3: Gerade zeichnenf(x) = x + 2xy−4−3−2−11234−4−3−2−1123f(x)

Erst das leere Koordinatensystem, dann die berechneten Punkte, zuletzt die Gerade durch die Punkte. Der fertige Graph wird am Ende mit \(f(x)\) beschriftet.

Merke

Graph zeichnen: Achsen → Punkte berechnen und eintragen → verbinden und beschriften

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Allgemeine Hinweise

Nicht vertauschen

\((2\,|\,0)\) und \((0\,|\,2)\) sind verschiedene Punkte. Die \(x\)-Koordinate steht immer vorne.

Gleichmäßig skalieren

Die Abstände zwischen den Zahlen auf einer Achse müssen gleich groß sein. Sonst wird die Gerade krumm.

Wertetabelle nutzen

Schreibe die berechneten Punkte zuerst in eine Tabelle. Dann trägst du sie schneller und sicherer ein.

Zum Weiterschauen

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