Orientierungslauf durch die Stadt
AFB IFür einen Orientierungslauf legt die Sport-AG einen Stadtplan als Koordinatensystem an. Der Marktplatz ist der Ursprung, eine Einheit entspricht einem Kilometer; die erste Koordinate zählt nach Osten, die zweite nach Norden. Material M1 zeigt vier Kontrollpunkte.
Negative Werte bedeuten westlich bzw. südlich vom Marktplatz.
- Geben Sie die Koordinaten der vier Kontrollpunkte S, B, F und P an.
- Nennen Sie zu jedem der vier Punkte den Quadranten, in dem er liegt.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des neuen Kontrollpunktes K, der 2 km östlich und 3 km südlich vom Bahnhof B liegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(S(2\,|\,2)\), \(B(-3\,|\,1)\), \(F(-2\,|\,-2)\), \(P(3\,|\,-1)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
S liegt im I. Quadranten (beide Koordinaten positiv), B im II. (x negativ, y positiv), F im III. (beide negativ) und P im IV. (x positiv, y negativ).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
2 km östlich bedeutet \(-3+2=-1\), 3 km südlich bedeutet \(1-3=-2\). Also \(K(-1\,|\,-2)\); der Punkt liegt im III. Quadranten.
Das Höhenprofil der Wanderung
AFB IIDer Wanderverein veröffentlicht zu einer Tagestour ein Höhenprofil (Material M2). Waagerecht ist der zurückgelegte Weg in Kilometern aufgetragen, senkrecht die Höhe über dem Meeresspiegel in Metern. Zwischen den Messpunkten wird geradlinig verbunden.
Die beiden Achsen tragen verschiedene Größen in verschiedenen Einheiten — das Bild ist kein Landkartenausschnitt.
- Geben Sie die Koordinaten des höchsten Punktes der Tour an und erläutern Sie, was die beiden Zahlen im Sachzusammenhang bedeuten.
- Bestimmen Sie, auf welchem Abschnitt der Weg am steilsten ansteigt, und berechnen Sie für diesen Abschnitt den durchschnittlichen Anstieg in Metern pro Kilometer.
- Beurteilen Sie die Aussage einer Teilnehmerin: „Nach 6 km bin ich auf halber Strecke, also habe ich auch die Hälfte des Anstiegs geschafft.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der höchste Punkt ist \(H(6\,|\,420)\). Die erste Koordinate bedeutet: nach 6 km zurückgelegtem Weg; die zweite: eine Höhe von 420 m über dem Meeresspiegel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansteigende Abschnitte sind 0–2 km (+30 m), 2–4 km (+140 m) und 4–6 km (+130 m). Am steilsten ist der Abschnitt von 2 km bis 4 km.
\(\frac{290\,\text{m}-150\,\text{m}}{4\,\text{km}-2\,\text{km}}=\frac{140\,\text{m}}{2\,\text{km}}=70\ \frac{\text{m}}{\text{km}}\)
Der Weg steigt dort im Mittel um 70 Meter je Kilometer.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der erste Teil der Aussage stimmt: 6 km von 14 km sind zwar nicht genau die Hälfte, aber näherungsweise die Mitte der Strecke. Der zweite Teil ist falsch: Nach 6 km ist der höchste Punkt bereits erreicht, danach geht es nur noch bergab. Die Teilnehmerin hat zu diesem Zeitpunkt also nicht die Hälfte, sondern den gesamten Anstieg von 120 m auf 420 m hinter sich. Aus der Lage auf der waagerechten Achse lässt sich nicht auf den Anteil an der Höhe schließen, weil die Höhe nicht gleichmäßig zunimmt.
Zwei Diagramme, eine Mitgliederzahl
AFB IIEin Sportverein hatte 2021 genau 182 Mitglieder, danach 186, 191, 195 und 198. Für die Vereinszeitung werden aus denselben Zahlen zwei Diagramme erstellt (Material M3). Sie unterscheiden sich nur in der Einteilung der senkrechten Achse.
Diagramm A
Diagramm B
Beide Diagramme zeigen genau dieselben fünf Wertepaare.
- Geben Sie an, worin sich die beiden Koordinatensysteme unterscheiden.
- Erklären Sie, warum die Kurve in Diagramm B deutlich steiler wirkt als in Diagramm A, obwohl dieselben Daten dargestellt sind.
- Entscheiden Sie, welches Diagramm der Vorstand für die Werbeanzeige „Unser Verein wächst!“ auswählen wird, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In Diagramm A beginnt die senkrechte Achse bei 0 und ist in Schritten von 50 unterteilt; in Diagramm B beginnt sie bei 180 und ist in Schritten von 5 unterteilt. Die waagerechte Achse ist in beiden Diagrammen gleich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Steilheit im Bild hängt nicht nur von den Daten ab, sondern auch davon, wie viel Bildhöhe einem Mitglied entspricht. In A steht die volle Achsenhöhe für 200 Mitglieder, der Zuwachs von 16 Mitgliedern nimmt also nur etwa 8 % der Höhe ein. In B steht dieselbe Bildhöhe nur für 20 Mitglieder, derselbe Zuwachs füllt damit 80 % der Höhe. Die Kurve wird um das Zehnfache gestreckt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Vorstand wird Diagramm B wählen, weil der Anstieg dort dramatisch wirkt und die Aussage „Unser Verein wächst!“ optisch stützt. Fachlich ist das irreführend: Der Zuwachs beträgt in fünf Jahren rund 9 % und damit weniger als 2 % pro Jahr — eine Größenordnung, die Diagramm A angemessen wiedergibt. Wer B verwendet, sollte die abgeschnittene Achse deutlich kenntlich machen.
Das rechteckige Gelände
AFB IIIAuf dem Gelände eines Sportzentrums werden vier Orte in einem Koordinatensystem erfasst; eine Einheit entspricht 10 Metern (Material M4). Die Geländeverwaltung behauptet, die vier Punkte bildeten die Ecken eines Rechtecks.
| Punkt | x-Koordinate | y-Koordinate |
|---|---|---|
| Halle H | −3 | 4 |
| Kiosk K | 5 | 4 |
| Parkplatz P | 5 | −2 |
| Eingang E | −3 | −2 |
Die Reihenfolge in der Tabelle ist nicht zwingend die Reihenfolge der Ecken im Rechteck.
- Zeigen Sie, dass die vier Punkte tatsächlich die Ecken eines Rechtecks bilden, dessen Seiten parallel zu den Achsen verlaufen.
- Berechnen Sie die Länge und die Breite des Geländes in Metern sowie seinen Flächeninhalt.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes M, der genau in der Mitte zwischen Halle H und Parkplatz P liegt.
- Beurteilen Sie den Vorschlag, den neuen Getränkeautomaten in M aufzustellen, wenn er von allen vier Orten möglichst gleich weit entfernt sein soll.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
H und K haben beide \(y=4\), E und P beide \(y=-2\): das sind zwei waagerechte Seiten. H und E haben beide \(x=-3\), K und P beide \(x=5\): das sind zwei senkrechte Seiten. Waagerechte und senkrechte Geraden stehen aufeinander senkrecht, also sind alle vier Innenwinkel rechte Winkel — das Viereck H K P E ist ein Rechteck mit achsenparallelen Seiten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Breite: \(5-(-3)=8\) Einheiten, also \(8\cdot 10\,\text{m}=80\,\text{m}\). Höhe: \(4-(-2)=6\) Einheiten, also \(60\,\text{m}\).
\(A=80\,\text{m}\cdot 60\,\text{m}=4800\,\text{m}^2\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(M\left(\frac{-3+5}{2}\,\Big|\,\frac{4+(-2)}{2}\right)=M(1\,|\,1)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
H und P sind gegenüberliegende Ecken, die Strecke HP ist also eine Diagonale des Rechtecks. In jedem Rechteck halbieren sich die Diagonalen, und M ist damit zugleich Mittelpunkt der zweiten Diagonalen KE. Von M aus ist jede der vier Ecken gleich weit entfernt (jeweils die halbe Diagonalenlänge, also 50 m). Der Vorschlag erfüllt die Bedingung damit exakt und ist der einzige Punkt des Geländes, der das leistet.
Wohin mit dem neuen Funkmast?
AFB IIIDrei Ortsteile einer Gemeinde sollen von einem neuen Funkmast versorgt werden. In einem Koordinatensystem mit 1 Einheit = 1 km liegen sie bei Nord \(N(2\,|\,6)\), Ost \(O(7\,|\,5)\) und Süd \(S(4\,|\,1)\) (Material M5). Die Gemeinde diskutiert zwei Vorschläge: Vorschlag 1 stellt den Mast in den Punkt \(A\), dessen Koordinaten die Mittelwerte der drei Ortsteil-Koordinaten sind; Vorschlag 2 stellt ihn in den Mittelpunkt \(B\) der Strecke zwischen dem östlichsten und dem westlichsten Ortsteil.
Der Mast kann an jeder Stelle des Gebiets stehen; die gestrichelten Linien dienen nur der Orientierung.
- Berechnen Sie die Koordinaten der beiden vorgeschlagenen Standorte A und B.
- Berechnen Sie für Standort A die Entfernung zu jedem der drei Ortsteile auf eine Nachkommastelle genau.
- Vergleichen Sie die beiden Vorschläge anhand der jeweils größten auftretenden Entfernung.
- Nehmen Sie Stellung zu der Behauptung des Bürgermeisters: „Der Mittelwert der Koordinaten ist immer der beste Standort, weil er alle drei Orte gleich berücksichtigt.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A\left(\frac{2+7+4}{3}\,\Big|\,\frac{6+5+1}{3}\right)=A\left(\frac{13}{3}\,\Big|\,4\right)\approx A(4{,}33\,|\,4)\).
Am weitesten östlich liegt O (x = 7), am weitesten westlich N (x = 2). \(B\left(\frac{2+7}{2}\,\Big|\,\frac{6+5}{2}\right)=B(4{,}5\,|\,5{,}5)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\overline{AN}=\sqrt{(2-4{,}33)^2+(6-4)^2}=\sqrt{5{,}43+4}\approx 3{,}1\ \text{km}\)
\(\overline{AO}=\sqrt{(7-4{,}33)^2+(5-4)^2}=\sqrt{7{,}13+1}\approx 2{,}9\ \text{km}\)
\(\overline{AS}=\sqrt{(4-4{,}33)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0{,}11+9}\approx 3{,}0\ \text{km}\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für B gilt \(\overline{BN}=\overline{BO}=\sqrt{2{,}5^2+0{,}5^2}\approx 2{,}5\ \text{km}\), aber \(\overline{BS}=\sqrt{0{,}5^2+4{,}5^2}\approx 4{,}5\ \text{km}\).
Die größte Entfernung beträgt bei A rund 3,1 km, bei B rund 4,5 km. Gemessen an der am schlechtesten versorgten Gemeinde ist Vorschlag 1 (Standort A) also klar besser; Vorschlag 2 lässt Süd deutlich abfallen, weil dieser Ortsteil bei der Konstruktion von B gar nicht eingeht.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist so nicht haltbar. Zwar gehen beim Mittelwert alle drei Orte ein, aber sie werden auch dann einzeln gezählt, wenn zwei von ihnen dicht beieinanderliegen. Ein Gegenbeispiel: Liegen zwei Orte bei \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,0)\) und der dritte bei \((20\,|\,0)\), so ist der Mittelwert \((7\,|\,0)\); der weit entfernte Ort ist dann noch 13 km weg, während der Punkt \((10\,|\,0)\) die größte Entfernung auf 10 km senken würde. Der Mittelwert minimiert also nicht die größte Entfernung, sondern zieht den Standort zu Ballungen hin. Für einen Funkmast, dessen Reichweite begrenzt ist, ist die größte Entfernung das entscheidende Maß — der Mittelwert ist dafür nur eine erste Näherung.