Gleichsetzungsverfahren: Übungen – Mathe Klasse 11

1Die Bausteine des VerfahrensAFB I

Fünf Begriffe rund um das Gleichsetzungsverfahren. Verbinden Sie, was zusammengehört.

Wähle links einen Begriff aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Beschreibung an.

Das Verfahren und seine grafische Bedeutung gehören zusammen: Gleichsetzen heißt rechnen, Schnittpunkt heißt zeichnen — beide Male ist dasselbe Zahlenpaar gemeint.

2Direkt gleichsetzenAFB I

Beide Gleichungen sind bereits nach \(y\) aufgelöst: \(\text{I: } y=3x-5\) und \(\text{II: } y=-x+7\). Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate der Lösung.

Rechte Seiten gleichsetzen und nach x auflösen — Enter prüft.

\(3x-5=-x+7 \;\big|\;+x\) ergibt \(4x-5=7\), also \(4x=12\) und \(x=3\). Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(y=3\cdot 3-5=4\), die Lösung also \((3\,|\,4)\).

3Beide Werte gesuchtAFB I

\(\text{I: } y=0{,}5x+2\) und \(\text{II: } y=2{,}5x-4\). Bestimmen Sie die Lösung des Systems.

Erst gleichsetzen und x bestimmen, dann y nachliefern. Enter prüft beide Felder.

x =y =

\(0{,}5x+2=2{,}5x-4 \;\big|\;-0{,}5x\;+4\) ergibt \(6=2x\), also \(x=3\). Eingesetzt: \(y=0{,}5\cdot 3+2=3{,}5\). Es ist \(L=\{(3\,|\,3{,}5)\}\).

4Rechenkette: beide nach x aufgelöstAFB I

\(\text{I: } x=4y-1\) und \(\text{II: } x=2y+5\). Hier sind beide Gleichungen nach \(x\) aufgelöst. Rechnen Sie die Kette durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Gleichsetzen und alle y nach links: Welcher Koeffizient steht dann vor y?
Welche Zahl steht danach auf der rechten Seite?
Damit ist y =
y in x = 2y + 5 einsetzen: x =

\(4y-1=2y+5 \;\big|\;-2y\;+1\) ergibt \(2y=6\), also \(y=3\) und \(x=2\cdot 3+5=11\). Kontrolle mit I: \(4\cdot 3-1=11\) ✓. Es ist \(L=\{(11\,|\,3)\}\).

5Welches Verfahren führt am schnellsten zum Ziel?AFB II

Sechs Systeme. Ordnen Sie jedes dem Verfahren zu, das ohne Umwege zum Ziel führt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Gleichsetzen

2Einsetzen

3Addieren

Zwei aufgelöste Gleichungen nach derselben Variablen sprechen für das Gleichsetzen, genau eine aufgelöste Gleichung oder ein Koeffizient \(1\) für das Einsetzen. Stehen überall Zahlen ungleich \(1\), bleibt das Additionsverfahren ganzzahlig — bei \(+4y\) und \(-4y\) genügt sogar einfaches Addieren.

6Fehlersuche: die halbe UmformungAFB II

\(\text{I: } y=2x-3\), \(\text{II: } y=-4x+9\). Der Lösungsweg enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 rechnet bereits mit dem richtigen \(6x-3\) weiter — nur deshalb kommt am Ende trotzdem \(x=2\) heraus. Probe: \(2\cdot 2-3=1\) ✓ und \(-4\cdot 2+9=1\) ✓.

7Die Schritte in die richtige ReihenfolgeAFB I

\(\text{I: } y=5-x\), \(\text{II: } y=2x-1\). Ordnen Sie die sechs Schritte des Lösungswegs.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst — Stufe 1 entfällt

1Rechte Seiten gleichsetzen: 5 − x = 2x − 1

1Alle x auf eine Seite bringen: 6 = 3x

1Durch 3 teilen: x = 2

1x = 2 in y = 5 − x einsetzen: y = 3

1Probe in II: 2 · 2 − 1 = 3 ✓, also L = {(2 | 3)}

Die Reihenfolge ist bei jedem Gleichsetzen dieselbe: auflösen (hier schon erledigt), gleichsetzen, nach der verbliebenen Variablen auflösen, zurücksetzen, Probe.

8Den Lösungsweg durchspielenAFB II

Gegeben ist \(\text{I: } y=0{,}5x+3\), \(\text{II: } y=-x+6\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Weil beide Gleichungen nach \(y\) aufgelöst sind, ist die Kontrolle geschenkt: Einsetzen von \(x=2\) muss in I und in II denselben Wert \(y=4\) liefern.

9Was stimmt über das Gleichsetzen?AFB II

Sieben Aussagen. Markieren Sie alle richtigen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Alle drei Verfahren sind Äquivalenzumformungen desselben Systems und liefern deshalb immer dieselbe Lösungsmenge. Und nach dem Gleichsetzen fehlt stets noch der zweite Wert.

10Stimmt das so?AFB II

Entscheiden Sie bei jeder Aussage über Geraden und Schnittpunkte, ob sie zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Zwei Merksätze erledigen fast alles: Gleichgesetzt wird nur, was nach derselben Variablen aufgelöst ist — und beim Hinüberbringen wechselt das Vorzeichen.

11Erst auflösen, dann gleichsetzenAFB II

Für das Gleichsetzen muss \(\text{II: } 4x-y=6\) zuerst nach \(y\) aufgelöst werden. Geben Sie den Term für \(y\) an.

Schreibweise: 3x - 5, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Dezimalpunkt statt Komma. Enter prüft.

\(4x-y=6 \;\big|\;-4x\) ergibt \(-y=6-4x\), und nach \(\cdot(-1)\) folgt \(y=4x-6\). Ein häufiger Fehler ist \(y=6-4x\) — dabei wird das Multiplizieren mit \(-1\) vergessen.

12Schnittpunkte ablesenAFB II

Drei Geradenpaare. Berechnen Sie jeweils den Schnittpunkt durch Gleichsetzen und tragen Sie ihn in das Koordinatensystem ein.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

\(2x-1=-x+5\) ergibt \(3x=6\), also \(S_1(2\,|\,3)\). \(0{,}5x+2=-0{,}5x-2\) ergibt \(x=-4\) und \(S_2(-4\,|\,0)\). \(x+3=-2x-3\) ergibt \(3x=-6\), also \(S_3(-2\,|\,1)\).

13Erst beide auflösen, dann gleichsetzenAFB II

\(\text{I: } 2x+y=7\) und \(\text{II: } x-y=-1\). Lösen Sie beide Gleichungen nach \(y\) auf und bestimmen Sie damit die Lösung.

Vor \(y\) steht in beiden Gleichungen \(1\) beziehungsweise \(-1\) — beide Umformungen bleiben bruchfrei. Enter prüft.

x =y =

Aus I folgt \(y=7-2x\), aus II folgt \(y=x+1\). Gleichgesetzt: \(7-2x=x+1\), also \(6=3x\) und \(x=2\). Damit ist \(y=2+1=3\) und \(L=\{(2\,|\,3)\}\).

14Wonach lässt sich bruchfrei auflösen?AFB II

Vier Systeme. Kreuzen Sie an, nach welcher Variablen sich beide Gleichungen ohne Brüche auflösen lassen.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

System	beide nach x bruchfrei	beide nach y bruchfrei	weder noch
I: x + 3y = 7 · II: x − 2y = 1
I: 4x + y = 9 · II: 2x − y = 3
I: 3x + 2y = 8 · II: 5x − 4y = 2
I: y = 2x + 1 · II: 5x − y = 4

Bruchfrei bleibt es nur, wenn vor der Variablen in beiden Gleichungen \(1\) oder \(-1\) steht. Bei \(3x+2y=8\) und \(5x-4y=2\) trifft das auf keine der beiden Variablen zu — dort ist das Additionsverfahren die bessere Wahl.

15Wenn x verschwindetAFB II

\(\text{I: } y=2x+3\) und \(\text{II: } y=2x-1\). Geben Sie an, wie viele Lösungen dieses System hat.

Setze die rechten Seiten gleich und schau, was übrig bleibt. Trage die Anzahl der Lösungen als Zahl ein — Enter prüft.

\(2x+3=2x-1 \;\big|\;-2x\) ergibt \(3=-1\) — eine falsche Aussage. Beide Geraden haben die Steigung \(2\), aber verschiedene Achsenabschnitte: Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Es ist \(L=\{\}\), also \(0\) Lösungen.

16Entscheidungsbaum: welches Verfahren?AFB II

Gegeben ist \(\text{I: } y=1{,}5x-2\), \(\text{II: } y=-0{,}5x+6\). Beantworten Sie die Fragen des Baums für dieses System.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst — die erste Frage wird also mit Ja beantwortet. Die Rechnung: \(1{,}5x-2=-0{,}5x+6\), also \(2x=8\), \(x=4\) und \(y=4\).

17Rechenkette mit KommazahlenAFB II

\(\text{I: } y=1{,}2x-0{,}4\), \(\text{II: } y=-0{,}8x+3{,}6\). Rechnen Sie die Kette durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Gleichsetzen und alle x nach links: Welcher Koeffizient steht vor x?
Welche Zahl steht danach auf der rechten Seite?
Damit ist x =
Und y =

\(1{,}2x-0{,}4=-0{,}8x+3{,}6 \;\big|\;+0{,}8x\;+0{,}4\) ergibt \(2x=4\), also \(x=2\) und \(y=1{,}2\cdot 2-0{,}4=2\). Kontrolle mit II: \(-0{,}8\cdot 2+3{,}6=2\) ✓.

18Zwei Tarife im VergleichAFB III

Ein Anbieter verlangt 12,00 € Grundgebühr und 0,05 € je Gesprächsminute, ein zweiter 20,00 € Grundgebühr und 0,01 € je Minute. Berechnen Sie, bei welcher Minutenzahl beide Tarife gleich viel kosten.

Stelle für jeden Tarif einen Term \(y=\ldots\) auf und setze die beiden gleich — Enter prüft.

\(\text{I: } y=12+0{,}05x\) und \(\text{II: } y=20+0{,}01x\). Gleichgesetzt: \(12+0{,}05x=20+0{,}01x\), also \(0{,}04x=8\) und \(x=200\). Beide Tarife kosten dann \(22{,}00\ \text{€}\). Unter 200 Minuten ist der erste Tarif günstiger, darüber der zweite.

19Gleichsetzen wäre hier ein UmwegAFB III

\(\text{I: } 3x+5y=1\), \(\text{II: } 3x-2y=8\). Beide Gleichungen nach \(x\) aufzulösen liefert Brüche mit dem Nenner \(3\). Entscheiden Sie sich für das günstigere Verfahren und lösen Sie das System.

Vor \(x\) steht zweimal dieselbe Zahl \(3\) — das ist ein Fingerzeig auf ein anderes Verfahren. Enter prüft.

x =y =

Am kürzesten ist hier das Additionsverfahren: \(\text{II}\cdot(-1)\) liefert \(-3x+2y=-8\); addiert mit I ergibt das \(7y=-7\), also \(y=-1\) und \(3x-5=1\), \(x=2\). Gleichsetzen führt über \(\frac{1-5y}{3}=\frac{8+2y}{3}\) zwar zum selben Ergebnis, verlangt aber zwei Bruchterme.

20Ein Parameter macht die Geraden parallelAFB III

\(\text{I: } y=a\cdot x+2\) und \(\text{II: } y=3x-4\). Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den das System keine Lösung hat.

Überlege, wann beim Gleichsetzen das \(x\) verschwindet und eine falsche Aussage übrig bleibt. Enter prüft.

Gleichsetzen: \(ax+2=3x-4\), also \((a-3)x=-6\). Für \(a=3\) steht dort \(0=-6\) — eine falsche Aussage, das System hat keine Lösung. Für jedes andere \(a\) gibt es genau eine Lösung; den Fall unendlich vieler Lösungen kann es hier nicht geben, weil \(2\neq-4\) ist.

Interaktive Übung

Übungsaufgaben