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Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die beiden Terme gleichsetzen — das dritte der drei Lösungsverfahren. Grafisch ist es die Suche nach dem Schnittpunkt zweier Geraden.

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Die Idee: zweimal dasselbe

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Weil links zweimal dasselbe steht, müssen auch die rechten Seiten gleich sein.

  • Voraussetzung:beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, also beide nach \(x\) oder beide nach \(y\).
  • Normalform:\(\text{I: } y=m_1x+b_1\) und \(\text{II: } y=m_2x+b_2\).
  • Gleichsetzen:\(m_1x+b_1=m_2x+b_2\) enthält nur noch \(x\).
  • Grafisch:die Lösung \((x\,|\,y)\) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
  • Sonderfall:bei gleichen Steigungen gibt es keinen Schnittpunkt, also keine oder unendlich viele Lösungen.
Gleichsetzen heißt: Schnittpunkt suchen
1122334455 x y S(2 | 2) g h g: y = 0,5x + 1 h: y = −2x + 6 beide y sind gleich 0,5x + 1 = −2x + 6 2,5x = 5 ⇒ x = 2 y = 0,5 · 2 + 1 = 2 ⇒ S(2 | 2)

Die Gerade \(g\) hat an der Stelle \(x\) die Höhe \(0{,}5x+1\), die Gerade \(h\) die Höhe \(-2x+6\). Gesucht ist die Stelle, an der beide Höhen übereinstimmen — deshalb werden die beiden Terme gleichgesetzt.

Merke

Gleichsetzungsverfahren: aus \(y=m_1x+b_1\) und \(y=m_2x+b_2\) folgt \(m_1x+b_1=m_2x+b_2\)

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Schritt für Schritt

Das Verfahren läuft in drei Schritten ab: auflösen, gleichsetzen, zurücksetzen. Im Beispiel steht vor \(x\) in beiden Gleichungen eine \(1\).

Zweimal x, also zweimal dasselbe
I: x + y = 3II: x − 20y = −18x = 3 − yx = −18 + 20ybeide Male steht links dasselbe xgleichsetzen3 − y = −18 + 20y

Beide Gleichungen werden nach \(x\) aufgelöst. Weil beide Male dieselbe Zahl \(x\) gemeint ist, dürfen die rechten Seiten gleichgesetzt werden.

  • Auflösen:aus \(\text{I: } x+y=3\) wird \(x=3-y\), aus \(\text{II: } x-20y=-18\) wird \(x=-18+20y\).
  • Achtung:\(-20y\) wechselt beim Hinüberbringen das Vorzeichen.
  • Gleichsetzen:\(3-y=-18+20y\).
  • Lösen:\(21=21y\), also \(y=1\).
  • Zurücksetzen:\(x=3-1=2\).
  • Lösung:\(L=\{(2\,|\,1)\}\); Probe: \(2+1=3\) und \(2-20=-18\).

Stehen beide Gleichungen schon in Normalform, entfällt das Auflösen.

  • Beispiel:\(y=2x+1\) und \(y=-x+7\) ergibt \(2x+1=-x+7\), also \(3x=6\), \(x=2\) und \(y=5\).
Merke

Ablauf: nach derselben Variablen auflösen \(\rightarrow\) rechte Seiten gleichsetzen \(\rightarrow\) lösen \(\rightarrow\) zurücksetzen

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Die Schnittpunkt-Werkstatt

Zwei Geraden in Normalform haben vier Zahlen: \(m_1\), \(b_1\), \(m_2\) und \(b_2\). Die Werkstatt zeigt zu jeder Einstellung die Gleichsetzungsgleichung und den Schnittpunkt.

Verschiebe die vier Regler. Beobachte, wann eine Lösung entsteht, wann keine und wann unendlich viele.

Schnittpunkt-Werkstatt

Jeder Regler verändert eine Zahl der beiden Geradengleichungen. Oben im Bild entsteht daraus die Gleichsetzungsgleichung \(m_1x+b_1=m_2x+b_2\), darunter zeigt das Koordinatensystem beide Geraden. Alle Regler lassen sich mit Tab erreichen und mit den Pfeiltasten in Schritten von \(0{,}5\) verstellen.

I: y = 1,5x − 1 II: y = −0,5x + 3 1,5x − 1 = −0,5x + 3 ein Schnittpunkt S(2 | 2) −6−6−4−4−2−2224466 x y S(2 | 2)
Gerade I
y = 1,5x − 1
Gerade II
y = −0,5x + 3
Steigungen
1,5 und −0,5
Lösung x
2
Lösung y
2
Die Steigungen 1,5 und −0,5 sind verschieden. Aus 1,5x − 1 = −0,5x + 3 folgt 2x = 4, also x = 2 und y = 2.

Entscheidend ist allein der Vergleich der Steigungen: Sind \(m_1\) und \(m_2\) verschieden, hat die Gleichsetzungsgleichung genau eine Lösung. Sind sie gleich, fällt \(x\) beim Umformen weg — übrig bleibt entweder eine falsche Aussage wie \(2=5\) (keine Lösung, die Geraden sind parallel) oder eine wahre Aussage wie \(2=2\) (unendlich viele Lösungen, die Geraden liegen aufeinander).

  • Verschiedene Steigungen:genau eine Lösung.
  • Gleiche Steigung:\(x\) fällt weg; eine falsche Aussage wie \(2=5\) heißt \(L=\{\ \}\).
  • Gleiche Gerade:eine wahre Aussage wie \(2=2\) heißt unendlich viele Lösungen.
Merke

Genau eine Lösung: nur wenn \(m_1\neq m_2\)

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Wann Gleichsetzen?

Gleichsetzen ist nicht immer der kürzeste Weg. Ein Blick auf die Form des Systems entscheidet.

  • Ideal:beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst, z. B. \(y=2x+1\) und \(y=-x+7\).
  • Gut:vor derselben Variablen steht in beiden Gleichungen \(1\) oder \(-1\).
  • Sachaufgaben:Tarife, Kosten und Weg-Zeit-Gesetze stehen meist schon als \(y=\ldots\) da.
  • Auch erlaubt:\(x=3-y\) und \(x=-18+20y\) darfst du genauso gleichsetzen.
  • Eher Einsetzen:wenn nur eine Gleichung aufgelöst ist, z. B. \(y=3x-1\) und \(2x+5y=8\).
  • Eher Addieren:wenn vor allen Variablen Zahlen ungleich \(1\) stehen, z. B. \(3x+4y=-6\) und \(5x-2y=8\).
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Allgemeine Hinweise

Nicht zu früh aufhören

Das Gleichsetzen liefert nur eine der beiden Zahlen. Setze sie zurück und gib das Paar an, z. B. \(L=\{(2\,|\,5)\}\).

Gleiche Variable links

Gleichsetzen darfst du nur, wenn links zweimal dieselbe Variable steht. \(x=3-y\) und \(y=\frac{x+18}{20}\) passen nicht zusammen.

Kontrolle geschenkt

Setze \(x\) in beide aufgelösten Gleichungen ein. Kommt zweimal derselbe Wert heraus, stimmt die Rechnung.

Zum Weiterschauen

Videos

Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.

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