TextaufgabenGleichsetzungsverfahren

Studio A: fester Beitrag 25,00 € und 4,00 € je Kurs, also

\(\text{I: } y = 25+4x\)

Studio B: fester Beitrag 15,00 € und 6,00 € je Kurs, also

\(\text{II: } y = 15+6x\)

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Kurse und \(y\) der Monatspreis in Euro.

Beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst, die rechten Seiten werden gleichgesetzt:

\(25+4x = 15+6x \quad\big|\ -4x\)

\(25 = 15+2x \quad\big|\ -15\)

\(10 = 2x \quad\big|\ :\,2\)

\(x = 5\)

Einsetzen in I: \(y = 25+4\cdot 5 = 45\). Kontrolle mit II: \(15+6\cdot 5 = 45\) — beide Male 45,00 €.

Es ist \(L=\{(5\,|\,45)\}\). Bei fünf Kursen im Monat kosten beide Studios gleich viel, nämlich 45,00 €.

Studio A: \(25+4\cdot 8 = 25+32 = 57\), also 57,00 €.

Studio B: \(15+6\cdot 8 = 15+48 = 63\), also 63,00 €.

Bei acht Kursen ist Studio A günstiger, und zwar um 6,00 €. Das passt zum Schnittpunkt: Oberhalb von fünf Kursen wirkt sich der höhere Kurspreis von Studio B stärker aus als der niedrigere Grundbeitrag.

\(\text{I: } y = 39+0{,}29x\) für Vermieter A,

\(\text{II: } y = 59+0{,}19x\) für Vermieter B.

Dabei ist \(x\) die gefahrene Strecke in Kilometern und \(y\) der Tagespreis in Euro.

Beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst, also wird sofort gleichgesetzt:

\(39+0{,}29x = 59+0{,}19x \quad\big|\ -0{,}19x\)

\(39+0{,}10x = 59 \quad\big|\ -39\)

\(0{,}10x = 20 \quad\big|\ :\,0{,}10\)

\(x = 200\)

Einsetzen in I: \(y = 39+0{,}29\cdot 200 = 39+58 = 97\). Kontrolle mit II: \(59+0{,}19\cdot 200 = 59+38 = 97\).

\(L=\{(200\,|\,97)\}\): Bei 200 gefahrenen Kilometern kosten beide Angebote 97,00 €.

Vermieter A: \(39+0{,}29\cdot 350 = 39+101{,}50 = 140{,}50\), also 140,50 €.

Vermieter B: \(59+0{,}19\cdot 350 = 59+66{,}50 = 125{,}50\), also 125,50 €.

Für 350 km ist Vermieter B günstiger, und zwar um 15,00 €. Das ist auch ohne Rechnung plausibel: 350 km liegen oberhalb der Schnittstelle von 200 km, und jenseits davon wirkt sich der niedrigere Kilometerpreis von B stärker aus als seine höhere Grundgebühr.

Die beiden Faktoren vor \(x\) sind die Steigungen der zugehörigen Geraden: \(0{,}29\) bei A und \(0{,}19\) bei B. Weil sie verschieden sind, bleibt beim Gleichsetzen ein Term mit \(x\) stehen (hier \(0{,}10x\)), und eine Gleichung der Form \(0{,}10x=20\) hat genau eine Lösung.

Wären beide Kilometerpreise gleich, würde \(x\) beim Gleichsetzen wegfallen: Die Geraden wären parallel, und der teurere Anbieter bliebe bei jeder Strecke teurer.

Kosten: \(\text{I: } y = 4{,}5x+1800\)

Erlös: \(\text{II: } y = 9x\)

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Uhren und \(y\) der Betrag in Euro.

Beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst, also wird gleichgesetzt:

\(4{,}5x+1800 = 9x \quad\big|\ -4{,}5x\)

\(1800 = 4{,}5x \quad\big|\ :\,4{,}5\)

\(x = 400\)

Einsetzen in II: \(y = 9\cdot 400 = 3600\). Kontrolle mit I: \(4{,}5\cdot 400+1800 = 1800+1800 = 3600\).

\(L=\{(400\,|\,3600)\}\): Ab 400 verkauften Uhren macht die Firma keinen Verlust mehr; Kosten und Erlös betragen dann jeweils 3 600,00 €.

Erlös bei 600 Stück: \(9\cdot 600 = 5400\), also 5 400,00 €.

Kosten bei 600 Stück: \(4{,}5\cdot 600+1800 = 2700+1800 = 4500\), also 4 500,00 €.

Gewinn: \(5400-4500 = 900\). Bei 600 verkauften Uhren beträgt der Gewinn 900,00 €.

Der Schnittpunkt \((400\,|\,3600)\) ist die Gewinnschwelle (der Break-even-Punkt): Genau bei 400 Uhren decken die Einnahmen die Kosten exakt, der Gewinn ist null.

Links davon, also bei weniger als 400 Uhren, verläuft die Kostengerade oberhalb der Erlösgerade — die Firma macht Verlust. Rechts davon liegt die Erlösgerade oben, jede weitere Uhr bringt \(9{,}00\ \text{€}-4{,}50\ \text{€}=4{,}50\ \text{€}\) zusätzlichen Gewinn.

Silo A verliert täglich 8 dt: \(\text{I: } y = 320-8x\).

Silo B gewinnt täglich 12 dt: \(\text{II: } y = 80+12x\).

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Tage und \(y\) der Inhalt in Dezitonnen.

Gleichsetzen der rechten Seiten:

\(320-8x = 80+12x \quad\big|\ +8x\)

\(320 = 80+20x \quad\big|\ -80\)

\(240 = 20x \quad\big|\ :\,20\)

\(x = 12\)

Einsetzen in I: \(y = 320-8\cdot 12 = 320-96 = 224\). Kontrolle mit II: \(80+12\cdot 12 = 80+144 = 224\).

\(L=\{(12\,|\,224)\}\): Nach 12 Tagen enthalten beide Silos jeweils 224 dt.

Silo A nach 20 Tagen: \(320-8\cdot 20 = 320-160 = 160\), also 160 dt.

Silo B nach 20 Tagen: \(80+12\cdot 20 = 80+240 = 320\), also 320 dt.

Wegen \(320 = 2\cdot 160\) ist die Behauptung richtig. Sie folgt aber nicht aus dem Schnittpunkt, sondern ist ein zusätzliches Ergebnis für genau diesen einen Tag — an keinem anderen Tag gilt sie.

Silo A ist leer, wenn \(320-8x = 0\) gilt, also bei \(x = 40\). Für \(x>40\) lieferte die Gleichung negative Inhalte, und die gibt es nicht.

Sinnvoll ist das Modell also frühestens ab \(x=0\) und höchstens bis \(x=40\). Zusätzlich müsste Silo B groß genug sein: Nach 40 Tagen enthielte es \(80+12\cdot 40 = 560\) dt. Fasst es weniger, endet die Gültigkeit noch früher. Der berechnete Schnittpunkt bei \(x=12\) liegt aber in jedem Fall im sinnvollen Bereich.

Bus: Er fährt seit \(x\) Stunden mit 45 km/h, also

\(\text{I: } y = 45x\).

Pkw: Er startet eine halbe Stunde später, ist also erst \(x-0{,}5\) Stunden unterwegs:

\(\text{II: } y = 75\cdot(x-0{,}5) = 75x-37{,}5\).

Dabei ist \(x\) die Zeit in Stunden nach 8:00 Uhr und \(y\) der Weg in Kilometern; die zweite Gleichung gilt für \(x\ge 0{,}5\).

Gleichsetzen der rechten Seiten:

\(45x = 75x-37{,}5 \quad\big|\ -75x\)

\(-30x = -37{,}5 \quad\big|\ :(-30)\)

\(x = 1{,}25\)

Einsetzen in I: \(y = 45\cdot 1{,}25 = 56{,}25\).

\(1{,}25\) Stunden sind 1 Stunde und 15 Minuten. Der Pkw holt den Bus also um 9:15 Uhr ein, und zwar 56,25 km vom Betriebshof entfernt.

Probe in I: \(45\cdot 1{,}25 = 56{,}25\) — der Bus hat 56,25 km zurückgelegt.

Probe in II: \(75\cdot(1{,}25-0{,}5) = 75\cdot 0{,}75 = 56{,}25\) — der Pkw ebenfalls.

Beide Wege stimmen überein, das Zahlenpaar \((1{,}25\,|\,56{,}25)\) erfüllt beide Gleichungen. Zusätzlich liegt \(1{,}25 \ge 0{,}5\), der Zeitpunkt ist im Sachzusammenhang also zulässig.

Die Variable \(x\) zählt die Stunden seit 8:00 Uhr, dem Start des Busses. Um 9:00 Uhr ist \(x=1\), der Pkw ist dann aber erst eine halbe Stunde unterwegs. Für ihn ist die Fahrzeit deshalb \(x-0{,}5\), und der zurückgelegte Weg beträgt \(75\cdot(x-0{,}5)\).

Ohne die Klammer, also mit \(y=75x\), würde man dem Pkw die halbe Stunde Vorsprung des Busses gutschreiben — die beiden Fahrzeuge wären dann von Anfang an gemeinsam losgefahren, und der Bus würde nie vorne liegen.

\(\text{I: } y = 240+35x\) für Konto A,

\(\text{II: } y = 600+20x\) für Konto B.

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Monatsraten und \(y\) das Guthaben in Euro.

Gleichsetzen:

\(240+35x = 600+20x \quad\big|\ -20x\)

\(240+15x = 600 \quad\big|\ -240\)

\(15x = 360 \quad\big|\ :\,15\)

\(x = 24\)

Einsetzen in I: \(y = 240+35\cdot 24 = 240+840 = 1080\). Kontrolle mit II: \(600+20\cdot 24 = 600+480 = 1080\).

\(L=\{(24\,|\,1080)\}\): Nach 24 Monaten stehen auf beiden Konten 1 080,00 €.

Drei Jahre entsprechen \(x = 36\).

Konto A: \(240+35\cdot 36 = 240+1260 = 1500\), also 1 500,00 €.

Konto B: \(600+20\cdot 36 = 600+720 = 1320\), also 1 320,00 €.

Die Behauptung ist richtig: Konto A liegt um 180,00 € vorn. Das war zu erwarten, denn 36 Monate liegen hinter dem Schnittpunkt bei 24 Monaten, und ab dort ist die höhere Rate von Konto A ausschlaggebend.

Die Guthaben sind nie gleich groß, wenn die Gleichung \(240+35x = 600+rx\) keine Lösung besitzt. Beim Gleichsetzen entsteht \((35-r)x = 360\).

Für \(r = 35\) steht dort \(0 = 360\) — eine falsche Aussage, das System hat keine Lösung. Die Rate auf Konto B müsste also ebenfalls 35,00 € betragen.

Begründung: Bei gleicher Rate wachsen beide Guthaben in jedem Monat um denselben Betrag; der Startvorsprung von 360,00 € auf Konto B bleibt für immer bestehen. Grafisch sind die beiden Geraden dann parallel: gleiche Steigung 35, verschiedene Achsenabschnitte 240 und 600.

\(\text{I: } y = 180+25x\) für Baum A,

\(\text{II: } y = 260+15x\) für Baum B.

Dabei ist \(x\) die Anzahl der Jahre seit der ersten Messung und \(y\) die Höhe in Zentimetern.

Gleichsetzen:

\(180+25x = 260+15x \quad\big|\ -15x\)

\(180+10x = 260 \quad\big|\ -180\)

\(10x = 80 \quad\big|\ :\,10\)

\(x = 8\)

Einsetzen in I: \(y = 180+25\cdot 8 = 180+200 = 380\). Kontrolle mit II: \(260+15\cdot 8 = 260+120 = 380\).

\(L=\{(8\,|\,380)\}\): Nach 8 Jahren sind beide Bäume 380 cm hoch.

Baum A nach 12 Jahren: \(180+25\cdot 12 = 180+300 = 480\), also 480 cm.

Baum B nach 12 Jahren: \(260+15\cdot 12 = 260+180 = 440\), also 440 cm.

Die Differenz beträgt \(480-440 = 40\) cm. Die Behauptung ist richtig. Sie lässt sich auch direkt aus den Gleichungen ablesen: Vier Jahre nach dem Schnittpunkt hat Baum A \(4\cdot(25-15) = 40\) cm Vorsprung.

Für \(x = 50\) liefert das Modell \(180+25\cdot 50 = 1430\) cm, also 14,30 m für Baum A, und \(260+15\cdot 50 = 1010\) cm, also 10,10 m für Baum B.

Diese Werte sind für viele Baumarten zwar nicht unmöglich, das Modell selbst ist auf so lange Sicht aber unbrauchbar: Bäume wachsen nicht dauerhaft mit konstantem jährlichem Zuwachs, sondern zunächst schneller und im Alter deutlich langsamer, bis das Höhenwachstum praktisch aufhört. Zuverlässig ist das lineare Modell nur für wenige Jahre um den Messzeitraum herum — der berechnete Schnittpunkt bei \(x = 8\) liegt noch in diesem Bereich, \(x = 50\) nicht mehr.

\(\text{I: } y = 90+0{,}45x\) für Druckerei A,

\(\text{II: } y = 30+0{,}60x\) für Druckerei B.

Gleichsetzen:

\(90+0{,}45x = 30+0{,}60x \quad\big|\ -0{,}45x\)

\(90 = 30+0{,}15x \quad\big|\ -30\)

\(60 = 0{,}15x \quad\big|\ :\,0{,}15\)

\(x = 400\)

Einsetzen in I: \(y = 90+0{,}45\cdot 400 = 90+180 = 270\). Kontrolle mit II: \(30+0{,}60\cdot 400 = 30+240 = 270\).

\(L=\{(400\,|\,270)\}\): Bei 400 Exemplaren kosten beide Angebote 270,00 €.

Druckerei A: \(90+0{,}45\cdot 250 = 90+112{,}50 = 202{,}50\), also 202,50 €.

Druckerei B: \(30+0{,}60\cdot 250 = 30+150 = 180\), also 180,00 €.

Für 250 Exemplare ist Angebot B günstiger, und zwar um 22,50 €. Das passt zum Schnittpunkt: 250 Exemplare liegen unterhalb von 400, und in diesem Bereich zählt der niedrigere Grundpreis von B mehr als sein höherer Preis je Exemplar.

Für Druckerei C gilt \(\text{III: } y = 120+0{,}45x\). Gleichsetzen mit Angebot A:

\(90+0{,}45x = 120+0{,}45x \quad\big|\ -0{,}45x\)

\(90 = 120\)

Das ist eine falsche Aussage. Die Variable \(x\) ist beim Umformen vollständig weggefallen, ohne dass eine wahre Aussage übrig geblieben wäre. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung: \(L=\{\}\).

Grafisch: Beide Geraden haben die Steigung \(0{,}45\), aber verschiedene Achsenabschnitte 90 und 120 — sie sind parallel und schneiden sich nirgends. Für keine Auflage sind A und C gleich teuer.

Die Aussage ist richtig, und sie lässt sich vollständig begründen. Die Preisdifferenz beträgt

\((120+0{,}45x)-(90+0{,}45x) = 120-90+0{,}45x-0{,}45x = 30\).

Der Term \(0{,}45x\) hebt sich weg, weil beide Angebote denselben Preis je Exemplar verlangen. Übrig bleibt die konstante Differenz von 30,00 € — unabhängig von der Auflage.

Dieselbe Sache aus anderer Sicht: Gleiche Steigung bedeutet parallele Geraden, und der Abstand paralleler Geraden in \(y\)-Richtung ist überall gleich groß. Genau das ist der Grund, warum das Gleichsetzen in Teilaufgabe c) auf die falsche Aussage \(90 = 120\) geführt hat: Der Abstand ist zwar konstant, aber eben nie null.

\(\text{I: } y = 45+3x\) für Becken A,

\(\text{II: } y = 75+5x\) für Becken B.

Gleichsetzen der rechten Seiten:

\(45+3x = 75+5x \quad\big|\ -3x\)

\(45 = 75+2x \quad\big|\ -75\)

\(-30 = 2x \quad\big|\ :\,2\)

\(x = -15\)

Einsetzen in I: \(y = 45+3\cdot(-15) = 45-45 = 0\). Kontrolle mit II: \(75+5\cdot(-15) = 75-75 = 0\).

Das Gleichungssystem hat also genau eine Lösung: \(L=\{(-15\,|\,0)\}\).

Rechnerisch gibt es einen Schnittpunkt — er liegt aber bei \(x = -15\), also 15 Stunden vor dem Beobachtungsbeginn. Zu diesem Zeitpunkt wären beide Becken leer gewesen (\(y = 0\)).

Sinnvoll ist das Modell jedoch nur für \(x \ge 0\), denn erst ab dem Beobachtungsbeginn sind die Angaben aus M9 gültig; ob die Becken vorher überhaupt schon liefen, ist nicht bekannt. Im betrachteten Zeitraum stimmen die Füllstände deshalb nie überein.

Das ist die eigentliche Pointe der Aufgabe: Eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems bedeutet noch nicht, dass die Sachaufgabe eine Lösung hat. Jedes rechnerische Ergebnis muss am Sachzusammenhang geprüft werden.

Becken B enthält zu Beginn 30 m³ mehr als Becken A und bekommt zusätzlich jede Stunde 2 m³ mehr Zulauf (5 m³ statt 3 m³).

Der Vorsprung von B wird also nicht abgebaut, sondern wächst in jeder Stunde um weitere 2 m³. Grafisch: Die Gerade von B startet höher und ist steiler; sie entfernt sich nach rechts immer weiter von der Geraden zu A. Ein Schnittpunkt kann deshalb nur links vom Beobachtungsbeginn liegen — genau dort hat ihn die Rechnung in Teilaufgabe a) auch gefunden.

Der gesuchte Zulauf von Becken A sei \(a\) in Kubikmetern je Stunde. Dann lautet die Gleichung für Becken A: \(y = 45+a\cdot x\), die für Becken B bleibt \(y = 75+5x\).

Gleichsetzen und \(x = 10\) einsetzen:

\(45+10a = 75+5\cdot 10\)

\(45+10a = 125 \quad\big|\ -45\)

\(10a = 80 \quad\big|\ :\,10\)

\(a = 8\)

Probe: Becken A hätte nach 10 Stunden \(45+8\cdot 10 = 125\) m³, Becken B \(75+5\cdot 10 = 125\) m³ — beide Male 125 m³.

Becken A müsste also einen Zulauf von 8 m³ je Stunde haben. Zur Kontrolle der Größenordnung: Der Zulauf muss größer sein als die 5 m³ von Becken B, sonst könnte der Rückstand von 30 m³ nie aufgeholt werden.