Funktionstypen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Der erste Blick auf den TermAFB I

Zehn Funktionsterme. Sortieren Sie jede Karte in den passenden Ast des Baumdiagramms.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1ganzrational

2gebrochen-rational

3nicht rational

Ganzrational: nur Potenzen von x, addiert oder subtrahiert. Gebrochen-rational: x steht im Nenner. Nicht rational: x unter der Wurzel, in der Hochzahl, im Logarithmus oder in einer Winkelfunktion.

2Typ und BeispielAFB I

Verbinden Sie jeden Funktionstyp mit dem Beispiel aus dem Heft.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.

Bei den ganzrationalen Typen entscheidet die höchste Hochzahl: 1, 2 oder 3. Bei 2ˣ steht das x oben in der Hochzahl — das ist der Unterschied zur Potenz x².

3Den Baum durchlaufenAFB I

Der Term \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}\) soll eingeordnet werden. Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums.

Fall: f(x) = (x² + 1) / (x − 3). Beantworte die Fragen nacheinander mit Ja oder Nein, bis der Baum ein Ergebnis liefert.

Das x² im Zähler verführt zur Antwort „quadratisch“ — aber vorher kommt die Frage nach dem Nenner: Dort steht x − 3, also ist die Funktion gebrochen-rational.

4Den Typ am Graphen erkennenAFB II

Acht Graphen aus allen Ästen. Klicken Sie jeweils den passenden an — die Form verrät den Typ, auch wenn am Ende der Term entscheidet.

Klicke das gesuchte Element an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Parabel = quadratisch, S-förmige Kurve = Grad 3, zwei getrennte Äste = x im Nenner, Welle = Winkelfunktion. Wurzel- und Logarithmusgraph ähneln sich, aber die Wurzel hat einen Startpunkt, der Logarithmus kommt von unten aus der Tiefe.

5Funktionswerte der HeftbeispieleAFB II

Berechnen Sie jeweils den Funktionswert an der angegebenen Stelle.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Funktion	Stelle	Funktionswert
f(x) = 2x − 3	x = 4
g(x) = x² − 4x + 2	x = −1
h(x) = 2x³ − x² + 3x + 1	x = 2
k(x) = 2ˣ	x = 5
w(x) = √(x − 2)	x = 11
r(x) = (x² + 2) / (3x + 4)	x = 2

g(−1) = 1 + 4 + 2 = 7, weil −4 · (−1) = +4. h(2) = 16 − 4 + 6 + 1 = 19. 2⁵ = 32. √(11 − 2) = √9 = 3. r(2) = 6/10 = 0,6.

6Welche Terme sind ganzrational?AFB II

Markieren Sie alle Funktionen, die zu den ganzrationalen Funktionen gehören.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Entscheidend ist, wo das x steht. x/3 ist ein Drittel mal x, also ganzrational; 3/x hat x im Nenner. √2 ist nur ein Zahlenfaktor, √x dagegen eine Wurzel aus x. Ein einziger Summand mit x im Nenner macht den ganzen Term gebrochen-rational.

7Der Grad der FunktionAFB II

Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist die höchste vorkommende Hochzahl von \(x\). Bestimmen Sie für jede Funktion den Grad — bei Produkten erst ausmultiplizieren.

Wähle in jeder Zeile die Stufe 1 bis 5 — die Stufe ist der Grad. Pfeiltasten wandern, Enter wählt.

Grad 1Grad 5

f(x) = 2x − 3

f(x) = x² − 4x + 2

f(x) = 2x³ − x² + 3x + 1

f(x) = (x²)²

f(x) = x · x · x · x · x

f(x) = (x + 1)(x − 1)

f(x) = 5x − x³

(x²)² = x⁴, fünfmal x mal x ist x⁵, und (x + 1)(x − 1) = x² − 1 hat Grad 2. Bei 5x − x³ zählt die 3, auch wenn sie erst am Ende steht.

8Rational, ganzrational, gebrochen-rational?AFB II

Kreuzen Sie für jede Funktion alle zutreffenden Einordnungen an — mehrere pro Zeile sind möglich.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

Funktion	rational	ganzrational	gebrochen-rational	nicht rational
f(x) = (x² + 2) / (3x + 4)
f(x) = ln(x − 2)
f(x) = 2x − 3
f(x) = x / (x² + 1)
f(x) = √(x − 2)
f(x) = 5x³

„Rational“ ist der ganze linke Ast — jede ganzrationale und jede gebrochen-rationale Funktion ist auch rational. Deshalb stehen in den rationalen Zeilen immer zwei Kreuze.

9Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage über Funktionstypen.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Die klassische Verwechslung: x² gegen 2ˣ. Wo das x steht, entscheidet: unten in der Basis heißt Potenz (ganzrational), oben in der Hochzahl heißt Exponentialfunktion.

10Zähler und Nenner benennenAFB I

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\). Für \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+3}\): Geben Sie \(u(x)\), \(v(x)\) und \(f(0)\) an.

Terme in freier Schreibweise, z. B. x^2+3; f(0) als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen. Enter prüft.

u(x) =v(x) =f(0) =

u(x) ist der Zähler 2x − 1, v(x) der Nenner x² + 3. Einsetzen von 0 liefert −1/3 ≈ −0,33.

11Mit der Exponentialfunktion rechnenAFB II

Gegeben ist \(k(x)=2^x\). Rechnen Sie die Kette durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Negative Zahlen mit Minuszeichen eingeben.

Berechne k(0).= k(0)
Berechne k(3).= k(3)
Berechne k(−1).= k(−1)
Für welches x ist k(x) = 64?= x
Berechne k(10).= k(10)

2⁰ = 1, 2³ = 8, 2⁻¹ = 1/2. Die Frage nach 64 wird durch Probieren gelöst: 2⁶ = 64. Und 2¹⁰ = 1024 — die berühmte Zahl aus der Informatik.

12Linear, quadratisch oder keins von beiden?AFB II

Ordnen Sie jede Funktion einem der drei Bereiche zu — Klammern vorher gedanklich auflösen.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 lineare Funktion

2 quadratische Funktion

3 weder noch

(x + 4) · 2 = 2x + 8 ist linear, x(x + 3) = x² + 3x quadratisch, (x − 1)² = x² − 2x + 1 ebenfalls. 2ˣ ist eine Exponentialfunktion, x³ − x² hat Grad 3, √x + 1 ist eine Wurzelfunktion.

13Fehler in der EinordnungAFB III

Sechs Einordnungen, drei davon falsch. Markieren Sie genau die falschen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler haben dieselbe Ursache: Es wurde auf ein auffälliges Zeichen geschaut (x², √, ln) statt darauf, wo das x steht. (x + 1)/5 ist ein Fünftel von x + 1, also linear — der Nenner enthält kein x.

14Grad nach dem AusmultiplizierenAFB II

Bestimmen Sie den Grad der Funktion \(f(x)=(x^2+1)\cdot(x-2)\cdot(x+2)\), ohne alles auszumultiplizieren.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Nur die höchsten Potenzen zählen: x² · x · x = x⁴. Der Grad ist 4 — die Funktion gehört zu den ganzrationalen Funktionen, aber nicht mehr zu den drei Beispielen aus dem Heft.

15Ein Term wird eingeordnetAFB I

Der Term \(f(x)=\sqrt{x}+1\) soll im Baumdiagramm eingeordnet werden. Wählen Sie in jedem Schritt richtig.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Von oben nach unten durch den Baum: Zuerst rational oder nicht, dann der genaue Typ. Zusätzliche Zahlen wie + 1 ändern den Typ nicht.

16Der Weg durch das BaumdiagrammAFB I

Für \(f(x)=x^2-4x+2\): Setzen Sie den vollständigen Weg von oben nach unten aus den Bausteinen zusammen.

Vier Plätze von oben nach unten. Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Kein x unter Wurzel, in Hochzahl, Logarithmus oder Winkelfunktion → rational. Kein x im Nenner → ganzrational. Höchste Hochzahl 2 → quadratische Funktion.

17Wertetabellen nicht rationaler FunktionenAFB II

Berechnen Sie die Werte von \(w(x)=\sqrt{x-2}\) und \(k(x)=2^x\).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

x	−2	0	2	3	6	11
w(x) = √(x − 2)	—	—
k(x) = 2ˣ

Für w gibt es bei −2 und 0 keinen Wert, weil unter der Wurzel etwas Negatives stünde — deshalb die Striche. 2⁻² = 1/4 = 0,25, 2⁶ = 64, 2¹¹ = 2048. Die Exponentialfunktion wächst enorm schnell, die Wurzelfunktion sehr langsam.

18Kennzeichen und TypAFB I

Finden Sie die Paare aus Kennzeichen und Funktionstyp.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Sechs Kennzeichen, sechs Typen. Nur die quadratische Funktion gehört zum rationalen Ast — alle anderen Karten beschreiben den nicht rationalen Ast oder den Bruch.

19Nach dem Grad ordnenAFB I

Ordnen Sie die ganzrationalen Funktionen nach steigendem Grad.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1f(x) = 4x + 9

2f(x) = 3x² − x

3f(x) = x³ + 2x

4f(x) = x⁴ − x²

5f(x) = 0,1x⁵

Der Grad ist die höchste Hochzahl: 1, 2, 3, 4, 5. Vorfaktoren wie 0,1 oder 3 spielen für den Grad keine Rolle.

20Wo darf nicht eingesetzt werden?AFB III

Bei nicht ganzrationalen Funktionen gibt es verbotene Stellen. Bestimmen Sie sie.

Dezimalzahlen mit zwei Nachkommastellen genügen. Enter prüft.

(x² + 2)/(3x + 4): verbotene Stelle x =√(x − 2): kleinstes erlaubtes x =ln(x − 2): erlaubt sind alle x, die größer sind als1/(x² − 9): größere der beiden verbotenen Stellen x =

Der Nenner darf nicht null werden: 3x + 4 = 0 liefert x = −4/3 ≈ −1,33; x² − 9 = 0 liefert x = 3 und x = −3. Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen: x ≥ 2. Im Logarithmus muss der Ausdruck sogar positiv sein: x > 2, die 2 selbst ist verboten.

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