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Funktionstypen

Ein Baumdiagramm ordnet die Funktionen: erst rational oder nicht rational, dann der genaue Typ mit einem Beispiel je Kasten.

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Der Stammbaum der Funktionen

Funktionen teilt man nach dem Aufbau ihres Terms in Typen ein. Das Baumdiagramm liest du von oben nach unten.

Baumdiagramm der Funktionstypen
FunktionenRationale FunktionenNicht rationale FunktionenGanzrationaleFunktionGebrochen-rationaleFunktionenWurzel-funktionenExponential-funktionLogarithmus-funktionWinkel-funktionLineare Funktionf(x) = 2x − 3Quadratische Funktionf(x) = x² − 4x + 2Funktion vom Grad 3f(x) = 2x³ − x² + 3x + 1weitere Grade möglichf(x) =u(x)v(x)Beispielf(x) =x² + 23x + 4f(x) = √(x − 2)f(x) = 2ˣf(x) = ln(x − 2)f(x) = sin(x)

Die erste Verzweigung trennt rationale und nicht rationale Funktionen, die zweite führt zu den einzelnen Typen. Jeder Typ steht mit einem Beispiel im Kasten darunter.

  • 1. Verzweigung:rational oder nicht rational?
  • Rationale Funktionen:teilen sich in ganzrationale und gebrochen-rationale Funktionen.
  • Nicht rationale Funktionen:Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen.
  • 2. Verzweigung:führt zum genauen Typ mit einem Beispiel.

Wähle ein Beispiel und verfolge seinen Weg durch das Baumdiagramm.

Typ-Erkunder

Jede Schaltfläche gehört zu einem Kasten des Baumdiagramms. Links wird der Weg durch den Baum gezeigt, rechts der Graph der Beispielfunktion. Die Schaltflächen sind mit der Tabulatortaste erreichbar und mit Enter oder Leertaste auslösbar.

Weg im BaumdiagrammFunktionenRationale FunktionenGanzrationale FunktionBeispiel aus dem Heftf(x) = 2x − 3f(x) =x² + 23x + 4−4−2246−4−224xy
Funktionstyp
Lineare Funktion
Ast
rational
Beispiel
\(f(x)=2x-3\)
Im Term steht x nur in der ersten Potenz. Das ist die lineare Funktion, ein Fall der ganzrationalen Funktionen.

Die Form des Graphen verrät oft den Typ — für die Einordnung zählt aber der Term.

Merke

Einordnung: erst rational oder nicht rational, dann der genaue Typ

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Der Ast der rationalen Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen besteht der Term nur aus Potenzen von \(x\), die addiert oder subtrahiert werden. Bei gebrochen-rationalen steht \(x\) auch im Nenner.

  • Lineare Funktion:höchste Hochzahl 1, z. B. \(f(x) = 2x-3\).
  • Quadratische Funktion:höchste Hochzahl 2, z. B. \(f(x) = x^2-4x+2\).
  • Funktion vom Grad 3:höchste Hochzahl 3, z. B. \(f(x) = 2x^3-x^2+3x+1\).
  • Höhere Grade:die Reihe geht mit Grad 4, 5, … weiter.
  • Gebrochen-rational:Bruch aus zwei Termen, z. B. \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{3x+4}\).
Merke

Gebrochen-rationale Funktion: \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\) mit \(x\) im Nenner

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Der Ast der nicht rationalen Funktionen

Hier steht \(x\) unter einer Wurzel, in der Hochzahl, im Logarithmus oder in einer Winkelfunktion.

  • Wurzelfunktion:\(x\) unter der Wurzel, z. B. \(f(x) = \sqrt{x-2}\).
  • Exponentialfunktion:\(x\) in der Hochzahl, z. B. \(f(x) = 2^x\).
  • Logarithmusfunktion:\(x\) im Logarithmus, z. B. \(f(x) = \ln(x-2)\).
  • Winkelfunktion:\(x\) im Sinus oder Kosinus, z. B. \(f(x) = \sin(x)\).
Merke

Nicht rational: \(x\) steht in Wurzel, Hochzahl, Logarithmus oder Winkelfunktion

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Allgemeine Hinweise

\(x^2\) und \(2^x\)

Bei \(x^2\) steht \(x\) in der Basis — quadratisch. Bei \(2^x\) steht \(x\) im Exponenten — exponentiell.

Zahl im Nenner

\(\frac{x}{2}\) ist ganzrational, denn im Nenner steht kein \(x\). Erst \(\frac{2}{x}\) ist gebrochen-rational.

Höchste Hochzahl

Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt die höchste Hochzahl den Grad. Ordne den Term dafür nach Potenzen.

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