Das Modellheft der Technik-AG
AFB IDie Technik-AG einer Schule führt ein Modellheft: Zu jedem Vorgang, den sie untersucht, notiert sie eine Funktionsgleichung. Material M1 zeigt fünf Einträge des laufenden Halbjahres. Vor der Auswertung sollen alle Einträge in das Baumdiagramm der Funktionstypen eingeordnet werden.
| Vorgang | Funktionsgleichung |
|---|---|
| Stromkosten des 3D-Druckers nach \(t\) Stunden (in Euro) | \(f(t)=0{,}45\,t+2{,}10\) |
| Höhe eines senkrecht geworfenen Modellballs nach \(t\) Sekunden (in Metern) | \(h(t)=-5t^2+8t+1{,}6\) |
| Durchschnittskosten je Bauteil bei \(x\) gefertigten Bauteilen (in Euro) | \(k(x)=\frac{120+3x}{x}\) |
| Zahl der Downloads der AG-App nach \(t\) Wochen | \(d(t)=50\cdot 2^{t}\) |
| Auslenkung des Pendels nach \(t\) Sekunden (in Zentimetern) | \(s(t)=4\cdot\sin(t)\) |
Für die Einordnung zählt allein der Aufbau des Terms, nicht die Bedeutung der Größen.
- Geben Sie zu jeder der fünf Funktionen den Funktionstyp an.
- Nennen Sie, welche der fünf Funktionen zum Ast der rationalen und welche zum Ast der nicht rationalen Funktionen gehören; geben Sie bei den ganzrationalen Funktionen zusätzlich den Grad an.
- Erklären Sie, warum \(k\) nicht ganzrational ist, obwohl im Zähler nur Potenzen von \(x\) stehen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f\) ist eine lineare Funktion, \(h\) eine quadratische Funktion, \(k\) eine gebrochen-rationale Funktion, \(d\) eine Exponentialfunktion und \(s\) eine Winkelfunktion.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zum Ast der rationalen Funktionen gehören \(f\), \(h\) und \(k\). Dabei sind \(f\) und \(h\) ganzrational, \(k\) ist gebrochen-rational. Zum Ast der nicht rationalen Funktionen gehören \(d\) (das \(x\) steht in der Hochzahl) und \(s\) (das \(x\) steht in einer Winkelfunktion).
Grade: \(f\) hat den Grad 1, \(h\) den Grad 2.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Entscheidend ist nicht, dass ein Bruchstrich vorkommt, sondern dass die Variable im Nenner steht. Bei \(k(x)=\frac{120+3x}{x}\) ist der Nenner der Term \(v(x)=x\), er enthält also selbst die Variable. Damit lässt sich \(k\) nicht als reine Summe von Potenzen von \(x\) schreiben, und für \(x=0\) ist der Term gar nicht definiert. Beides ist bei ganzrationalen Funktionen nicht möglich, also gehört \(k\) zu den gebrochen-rationalen Funktionen.
Stückkosten in der Schülerfirma
AFB IIDie Schülerfirma bedruckt T-Shirts für das Sommerfest. Für die gesamte Aktion wird einmalig ein Siebdruckrahmen gemietet; für jedes einzelne Shirt kommen Rohling und Farbe hinzu (Material M2). Mit \(x\) wird die Anzahl der bedruckten Shirts bezeichnet.
Die Firma will zwei Größen beschreiben: die Gesamtkosten \(K(x)\) der Aktion und die Kosten \(k(x)\), die im Mittel auf ein einzelnes Shirt entfallen.
| Posten | Betrag | fällt an |
|---|---|---|
| Miete des Siebdruckrahmens für die gesamte Aktion | 240,00 € | einmalig |
| Rohling und Farbe je T-Shirt | 4,50 € | für jedes Shirt |
| Geplante Auflage | 20 bis 120 Shirts | — |
Die Rahmenmiete fällt unabhängig von der Stückzahl genau einmal an.
- Stellen Sie die Gesamtkostenfunktion \(K\) auf und nennen Sie ihren Funktionstyp.
- Stellen Sie die Stückkostenfunktion \(k\) auf, berechnen Sie die Stückkosten für 20, 60 und 120 Shirts und nennen Sie den Funktionstyp von \(k\).
- Begründen Sie, dass die Stückkosten niemals unter 4,50 € sinken können, und erläutern Sie, was der Unterschied der beiden Funktionstypen für die Firma bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Rahmenmiete von 240,00 € fällt einmal an, je Shirt kommen 4,50 € hinzu:
\(K(x)=4{,}50\,x+240\)
Im Term steht \(x\) nur in der ersten Potenz. \(K\) ist also eine lineare Funktion und damit ganzrational vom Grad 1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Gesamtkosten werden auf die \(x\) Shirts verteilt:
\(k(x)=\frac{K(x)}{x}=\frac{4{,}50\,x+240}{x}=4{,}50+\frac{240}{x}\)
\(k(20)=4{,}50+\frac{240}{20}=4{,}50+12{,}00=16{,}50\)
\(k(60)=4{,}50+\frac{240}{60}=4{,}50+4{,}00=8{,}50\)
\(k(120)=4{,}50+\frac{240}{120}=4{,}50+2{,}00=6{,}50\)
Bei 20 Shirts kostet ein Shirt im Mittel 16,50 €, bei 60 Shirts 8,50 € und bei 120 Shirts 6,50 €. Da die Variable im Nenner steht, ist \(k\) eine gebrochen-rationale Funktion.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
In der Form \(k(x)=4{,}50+\frac{240}{x}\) ist der erste Summand fest. Für jede sinnvolle Stückzahl gilt \(x>0\), also ist \(\frac{240}{x}>0\). Damit ist \(k(x)>4{,}50\) für jedes \(x\); die Stückkosten liegen stets über 4,50 € und können diesen Wert nur immer knapper verfehlen, je größer die Auflage wird.
Für die Firma bedeutet der Typunterschied: Die Gesamtkosten wachsen als lineare Funktion gleichmäßig — jedes weitere Shirt kostet dieselben 4,50 € zusätzlich. Die Stückkosten dagegen fallen als gebrochen-rationale Funktion, weil sich die einmalige Rahmenmiete auf immer mehr Shirts verteilt. Eine große Auflage senkt also den Preis je Shirt, aber nie unter die reinen Materialkosten.
Die Algenkultur im Biologielabor
AFB IIIn einem Schullabor wird eine Algenkultur beobachtet. Jeden Tag zur gleichen Uhrzeit wird die Trockenmasse bestimmt; Material M3 zeigt die fünf Messwerte der ersten vier Tage. Die Kultur wächst unter gleichbleibenden Bedingungen, Licht und Nährlösung sind im Überfluss vorhanden.
Ein Praktikant notiert im Protokoll: „Die Masse steigt gleichmäßig, also beschreibt eine lineare Funktion das Wachstum.“
Die Messwerte lauten der Reihe nach 8,0 mg, 12,0 mg, 18,0 mg, 27,0 mg und 40,5 mg.
- Überprüfen Sie die Notiz des Praktikanten, indem Sie die Differenzen und die Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte betrachten.
- Stellen Sie eine Funktionsgleichung \(f\) für die Trockenmasse nach \(t\) Tagen auf und nennen Sie den Funktionstyp.
- Berechnen Sie die zu erwartende Trockenmasse nach 6 Tagen und ermitteln Sie, an welchem Tag die Kultur erstmals mehr als 100 mg wiegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Differenzen: \(12{,}0-8{,}0=4{,}0\); \(18{,}0-12{,}0=6{,}0\); \(27{,}0-18{,}0=9{,}0\); \(40{,}5-27{,}0=13{,}5\). Die Zunahme je Tag wird von Tag zu Tag größer, sie ist also nicht konstant.
Quotienten: \(\frac{12{,}0}{8{,}0}=1{,}5\); \(\frac{18{,}0}{12{,}0}=1{,}5\); \(\frac{27{,}0}{18{,}0}=1{,}5\); \(\frac{40{,}5}{27{,}0}=1{,}5\). Der Quotient ist konstant.
Die Notiz ist damit nicht haltbar: Eine lineare Funktion setzt konstante Differenzen voraus, hier sind aber die Quotienten konstant. Die Masse wächst je Tag um denselben Faktor 1,5, also um 50 %, und nicht um denselben Betrag.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Startwert bei \(t=0\) beträgt 8,0 mg, der Wachstumsfaktor je Tag 1,5:
\(f(t)=8\cdot 1{,}5^{\,t}\)
Kontrolle: \(f(2)=8\cdot 1{,}5^2=8\cdot 2{,}25=18\) — das stimmt mit dem Messwert überein. Da die Variable \(t\) in der Hochzahl steht, ist \(f\) eine Exponentialfunktion und gehört zum Ast der nicht rationalen Funktionen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(6)=8\cdot 1{,}5^{6}=8\cdot 11{,}390625=91{,}125\)
Nach 6 Tagen sind rund 91,1 mg zu erwarten.
\(f(6)\approx 91{,}1<100\), aber \(f(7)=8\cdot 1{,}5^{7}=8\cdot 17{,}0859\ldots\approx 136{,}7>100\).
Die Kultur überschreitet die Marke von 100 mg also im Laufe des siebten Tages; am Tag 7 wiegt sie erstmals mehr als 100 mg. Voraussetzung ist, dass Licht und Nährlösung weiterhin im Überfluss vorhanden sind.
Der Aushang im Matheraum
AFB IIIEine Lerngruppe hat für den Matheraum einen Aushang gestaltet: vier Funktionsgleichungen, jeweils mit Typ und kurzer Begründung (Material M4). Die Fachschaft möchte den Aushang übernehmen, bittet Ihren Kurs aber vorher um eine fachliche Durchsicht.
| Nr. | Funktionsgleichung | Eintrag der Lerngruppe |
|---|---|---|
| 1 | \(f(x)=\frac{x^2-4}{2}\) | gebrochen-rational, denn der Term steht als Bruch |
| 2 | \(g(x)=\frac{6}{x}+1\) | gebrochen-rational, denn \(x\) steht im Nenner |
| 3 | \(p(x)=x^{2}\) | Exponentialfunktion, denn im Term kommt eine Hochzahl vor |
| 4 | \(q(x)=\sqrt{9}\cdot x+1\) | Wurzelfunktion, denn im Term kommt eine Wurzel vor |
Die Begründungen stammen wörtlich von der Lerngruppe; nicht jede Zeile ist fachlich haltbar.
- Überprüfen Sie die vier Einträge und geben Sie für jeden fehlerhaften Eintrag den zutreffenden Funktionstyp an.
- Widerlegen Sie die Begründung zu Nr. 1, indem Sie den Term umformen.
- Formulieren Sie eine Regel, an der man gebrochen-rationale Funktionen sicher erkennt.
- Beurteilen Sie die Merkregel, die die Lerngruppe unter den Aushang geschrieben hat: „Sobald im Term ein Bruchstrich, eine Wurzel oder eine Hochzahl vorkommt, ist die Funktion nicht ganzrational.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nr. 1 ist falsch. Zutreffend ist: quadratische Funktion, also ganzrational vom Grad 2.
Nr. 2 ist richtig. Hier steht \(x\) tatsächlich im Nenner, \(g\) ist gebrochen-rational.
Nr. 3 ist falsch. Zutreffend ist: quadratische Funktion, also ganzrational vom Grad 2.
Nr. 4 ist falsch. Zutreffend ist: lineare Funktion, also ganzrational vom Grad 1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Nenner von \(f\) ist die feste Zahl 2, nicht ein Term mit \(x\). Das Teilen durch 2 ist dasselbe wie das Multiplizieren mit \(\frac{1}{2}\):
\(f(x)=\frac{x^2-4}{2}=\frac{1}{2}\,x^{2}-2\)
In dieser Form steht \(x\) nur in einer Potenz, ein \(x\) im Nenner kommt nirgends vor. \(f\) ist also ganzrational, und zwar eine quadratische Funktion. Die Begründung der Lerngruppe ist damit widerlegt: Nicht der Bruchstrich entscheidet, sondern die Frage, ob die Variable im Nenner auftritt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Regel: Eine Funktion ist genau dann gebrochen-rational, wenn ihr Term als Bruch \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) geschrieben werden kann, bei dem der Nenner \(v(x)\) die Variable enthält und sich der Bruch nicht wegkürzen lässt. Steht im Nenner nur eine Zahl, so ist der Bruch lediglich ein Vorfaktor und die Funktion bleibt ganzrational.
Ein brauchbarer Kurztest: Gibt es eine Zahl, die man für \(x\) nicht einsetzen darf, weil der Nenner null wird? Bei \(g\) ist das \(x=0\), bei \(f\) gibt es eine solche Zahl nicht.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Merkregel ist in dieser Form nicht haltbar; sie wird schon durch den eigenen Aushang widerlegt. Nr. 1 enthält einen Bruchstrich und ist trotzdem ganzrational, Nr. 4 enthält eine Wurzel und ist trotzdem ganzrational, Nr. 3 enthält eine Hochzahl und ist trotzdem ganzrational. Damit sind alle drei Teile der Regel widerlegt.
Der Kern der Regel lässt sich aber retten, wenn man ergänzt, wo die Variable steht: Sobald \(x\) im Nenner eines Bruchs, unter einer Wurzel, in der Hochzahl oder in einer Winkelfunktion steht, ist die Funktion nicht ganzrational. Entscheidend ist also nicht das Auftreten eines Zeichens, sondern die Stelle, an der die Variable im Term steht. Ich würde den Aushang mit dieser Präzisierung und den drei korrigierten Zeilen zur Veröffentlichung empfehlen.
Fallzeit am Sprungturm
AFB IIIIm Schwimmbad stehen Sprungbretter und Plattformen in verschiedenen Höhen. Für den Trainingsplan der Sprung-AG wird die Zeit gebraucht, die eine Springerin vom Absprung bis zum Eintauchen frei fällt. Aus der Physik ist bekannt, dass für die Fallzeit \(t\) in Sekunden bei einer Fallhöhe \(h\) in Metern näherungsweise gilt:
\(t(h)=\sqrt{\dfrac{2h}{9{,}81}}\)
Ein Mitglied der AG behauptet: „Das ist einfach — aus der doppelten Höhe fällt man doppelt so lange.“ Der Trainer ergänzt: „Für unseren Plan reicht ohnehin eine lineare Funktion, die Kurve in M5 sieht doch fast wie eine Gerade aus.“
Die gestrichelte Gerade verbindet nur den Anfangs- und den Endpunkt des dargestellten Bereichs.
- Nennen Sie den Funktionstyp von \(t\) und begründen Sie die Einordnung im Baumdiagramm.
- Berechnen Sie die Fallzeiten für die Höhen 1 m, 3 m, 5 m und 10 m auf zwei Nachkommastellen genau.
- Widerlegen Sie die Behauptung des AG-Mitglieds und ermitteln Sie, mit welchem Faktor sich die Fallzeit stattdessen bei einer Verdopplung der Höhe ändert.
- Nehmen Sie Stellung zu der Aussage des Trainers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Variable \(h\) steht unter der Wurzel. Damit führt der Weg im Baumdiagramm zuerst nach rechts zu den nicht rationalen Funktionen und dort zum Typ Wurzelfunktion.
Der Term lässt sich zu \(t(h)=\sqrt{\frac{2}{9{,}81}}\cdot\sqrt{h}\approx 0{,}4515\cdot\sqrt{h}\) umschreiben: ein fester Faktor mal \(\sqrt{h}\). Ganzrational kann \(t\) nicht sein, denn \(h\) tritt nicht als Potenz mit natürlicher Hochzahl auf, und gebrochen-rational ebenfalls nicht, denn im Nenner steht nur eine Zahl.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(t(1)=\sqrt{\frac{2\cdot 1}{9{,}81}}=\sqrt{0{,}2039}\approx 0{,}45\ \text{s}\)
\(t(3)=\sqrt{\frac{2\cdot 3}{9{,}81}}=\sqrt{0{,}6116}\approx 0{,}78\ \text{s}\)
\(t(5)=\sqrt{\frac{2\cdot 5}{9{,}81}}=\sqrt{1{,}0194}\approx 1{,}01\ \text{s}\)
\(t(10)=\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9{,}81}}=\sqrt{2{,}0387}\approx 1{,}43\ \text{s}\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gegenbeispiel: Von 5 m auf 10 m verdoppelt sich die Höhe. Doppelte Fallzeit würde \(2\cdot 1{,}01\ \text{s}=2{,}02\ \text{s}\) bedeuten, tatsächlich sind es aber nur rund 1,43 s. Die Behauptung ist damit widerlegt.
Der tatsächliche Faktor ist \(\frac{1{,}43}{1{,}01}\approx 1{,}41\). Dasselbe ergibt sich von 1 m auf 2 m: \(t(2)=\sqrt{0{,}4077}\approx 0{,}64\) und \(\frac{0{,}64}{0{,}45}\approx 1{,}41\).
Allgemein gilt \(t(2h)=\sqrt{\frac{2\cdot 2h}{9{,}81}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{2h}{9{,}81}}=\sqrt{2}\cdot t(h)\). Bei doppelter Höhe wächst die Fallzeit also stets um den Faktor \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\) und nicht um den Faktor 2. Der Denkfehler des AG-Mitglieds besteht darin, eine Wurzelfunktion wie eine lineare Funktion zu behandeln.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Aussage des Trainers stimme ich nicht zu. Das Aussehen eines Kurvenstücks ist kein Kriterium für den Funktionstyp — über den Typ entscheidet allein der Aufbau des Terms, und dort steht \(h\) unter der Wurzel.
Die Rechnung zeigt den Unterschied auch zahlenmäßig. Die gestrichelte Gerade durch \((0\,|\,0)\) und \((10\,|\,1{,}43)\) hat die Gleichung \(g(h)=0{,}143\,h\). Bei 3 m liefert sie \(g(3)=0{,}43\ \text{s}\), während die Springerin tatsächlich 0,78 s fällt — die lineare Näherung unterschätzt die Fallzeit um rund 0,35 s, also um fast die Hälfte.
Bei kleinen Höhen weicht die Gerade damit am stärksten ab, und gerade dort trainiert die AG. Für Einschätzungen mit dem bloßen Auge mag die Gerade genügen, für einen Trainingsplan, in dem Absprung und Drehung auf Zehntelsekunden abgestimmt werden, ist sie unbrauchbar. Ich würde deshalb bei der Wurzelfunktion bleiben.