TextaufgabenFunktionen

Der Uhrzeit wird die Lufttemperatur zugeordnet: Die Uhrzeit ist die unabhängige Größe, die Temperatur hängt von ihr ab. Ablesen: Um 6 Uhr waren es etwa 3 °C, um 15 Uhr etwa 16 °C.

Zu jeder Uhrzeit gehört genau ein Messwert — die Station kann nicht zur selben Zeit zwei verschiedene Temperaturen aufzeichnen. Zeichnet man an einer beliebigen Stelle der waagerechten Achse eine senkrechte Linie, so trifft sie die Kurve genau einmal. Die Zuordnung ist also eindeutig, und genau das verlangt der Funktionsbegriff.

Text oder Situation, Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph. In M1 liegt der Graph vor.

Einsetzen in \(h(t) = 18 - 1{,}2 \cdot t\):

\(h(5) = 18 - 1{,}2 \cdot 5 = 18 - 6 = 12\). Nach fünf Stunden ist die Kerze noch 12 cm hoch.

Ablesen im Graphen: Der Wert 6 cm wird nach etwa 10 Stunden erreicht. Rechnerisch: \(18 - 1{,}2 \cdot t = 6\), also \(1{,}2 \cdot t = 12\) und damit \(t = 10\). Ablesung und Rechnung stimmen überein: Nach 10 Stunden ist die Kerze noch 6 cm hoch.

Der Fahrzeit \(t\) wird der zurückgelegte Weg \(s\) zugeordnet: Zu jeder Fahrzeit gehört genau ein Weg. Die Zahl 80 gibt an, wie viele Kilometer in jeder Stunde dazukommen; sie ist die Geschwindigkeit des Zuges in Kilometern je Stunde.

Nachrechnen: \(s(0) = 0\), \(s(1) = 80\), \(s(2) = 160\), \(s(4) = 320\) — diese vier Werte stimmen. Für \(t = 3\) gilt jedoch \(s(3) = 80 \cdot 3 = 240\) und nicht 260. Der Wert 260 muss also durch 240 ersetzt werden.

Gesucht ist die Fahrzeit zu \(s = 200\): \(80 \cdot t = 200\), also \(t = \frac{200}{80} = 2{,}5\). Nach 2,5 Stunden — das sind 2 Stunden und 30 Minuten — hat der Zug 200 km zurückgelegt.

Linas Behauptung ist nicht haltbar. Kurve B gehört zu einer Funktion: Über jeder Stelle der waagerechten Achse liegt genau ein Punkt der Kurve, jedem \(x\) wird also genau ein \(y\) zugeordnet. Kurve A ist ein Kreis und liefert das Gegenbeispiel: Über der Stelle \(x = 0\) liegen die beiden Punkte \((0\,|\,3)\) und \((0\,|\,-3)\). Derselben Zahl \(x = 0\) werden damit zwei verschiedene Zahlen \(y\) zugeordnet — die Zuordnung ist nicht eindeutig und deshalb keine Funktion.

Man legt in Gedanken an einer beliebigen Stelle der waagerechten Achse eine senkrechte Linie an und verschiebt sie über die ganze Zeichnung. Trifft sie die Kurve überall höchstens einmal, so ist die Zuordnung eindeutig und der Graph gehört zu einer Funktion. Findet man dagegen auch nur eine einzige Senkrechte mit zwei oder mehr Schnittpunkten, ist die Eindeutigkeit verletzt — ein solcher Graph gehört zu keiner Funktion.

Ein möglicher Vorschlag: Jedem Menschen wird seine Telefonnummer zugeordnet. Viele Menschen besitzen mehrere Nummern; demselben Ausgangswert werden also mehrere Ergebnisse zugeordnet, und die Zuordnung ist nicht eindeutig. Ebenso zulässig sind andere Beispiele mit derselben Begründung, etwa „Jedem Wochentag wird eine Unterrichtsstunde zugeordnet, in der Mathematik stattfindet“.

Die Aussage ist so nicht haltbar. Die Zunahmen betragen 7, 8, 9, 8 und 7 Zentimeter, sind also nicht gleich; hinter den Messwerten steckt keine erkennbare, exakte Rechenvorschrift. Das Wachstum hängt von Licht, Wasser und Wetter ab. Eine Funktionsgleichung ließe sich hier nur als Näherung angeben — die Wertetabelle bleibt aber eine vollwertige Darstellung der Zuordnung.

Jedes Wertepaar aus M1 lässt sich als Punkt in ein Koordinatensystem eintragen: nach rechts der Tag, nach oben die Höhe. Man erhält so sechs Punkte, also einen Graphen aus einzelnen Punkten. Eine durchgezogene Linie würde dagegen auch für die Tage dazwischen Höhen behaupten, die Jonas gar nicht gemessen hat; sie ist nur eine Vermutung über den Verlauf und keine Messung.

Beantwortbar ist zum Beispiel: „Wie hoch war die Pflanze am 6. Tag?“ — die Tabelle nennt 36 cm. Nicht beantwortbar ist zum Beispiel: „Wie hoch war die Pflanze am 20. Tag?“ oder „Wie hoch war sie am 5. Tag?“, denn zu diesen Tagen liegt kein Messwert vor.