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Funktionen

Eine Zuordnung ist erst dann eine Funktion, wenn sie eindeutig ist. Dieselbe Funktion lässt sich als Text, Gleichung, Tabelle und Graph aufschreiben.

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Der Funktionsbegriff

Eine Funktion ist eine Zuordnung mit einer strengen Bedingung: Zu jedem \(x\) gehört genau ein Ergebnis.

  • Zuordnung:Vorschrift, die von einer Zahl zu einer anderen führt.
  • x-Wert:die Zahl, die du einsetzt.
  • Funktionswert \(f(x)\):das Ergebnis, gelesen „f von x“.
  • eindeutig:zu jedem \(x\) genau ein \(f(x)\) — dann ist es eine Funktion.
  • nicht eindeutig:ein \(x\) hat zwei Ergebnisse — dann ist es keine Funktion.
Eindeutig oder nicht eindeutig?
Vorwärts: jedes x wird quadriertRückwärts: welche Zahl wurde quadriert?Ausgangswerte xZielwerte y−20240Von jedem x geht genau ein Pfeil aus.AusgangswerteZielwerte04−202Von der 4 gehen zwei Pfeile aus.

Links startet an jedem Ausgangswert genau ein Pfeil, das ist eine Funktion. Rechts gehen von der 4 zwei Pfeile weg. Zwei Pfeile von derselben Zahl weg sind verboten, zwei Pfeile auf dieselbe Zahl hin sind erlaubt.

Verschiebe die fünf Punkte und ziehe die orange Prüfgerade durch das Koordinatensystem.

Eindeutigkeits-Prüfer

Ziehe die Punkte mit der Maus oder wähle einen Punkt mit der Tabulatortaste aus und verschiebe ihn mit den Pfeiltasten. Die Punkte rasten auf ganzen Zahlen ein.

−5−4−3−2−112345−4−3−2−11234xyx = 0
Prüfgerade bei x
0
getroffene Punkte
1
Zuordnung
eindeutig
Keine senkrechte Gerade trifft zwei Punkte. Jedem x gehört genau ein y — die Zuordnung ist eine Funktion.

Trifft die senkrechte Prüfgerade zwei Punkte, gibt es zu einem \(x\) zwei Funktionswerte.

Merke

Funktion: \(f\) ordnet jedem \(x\) genau ein \(y = f(x)\) zu

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Die vier Darstellungsformen

Dieselbe Funktion lässt sich auf vier Arten darstellen. Beispiel: \(f(x) = x+2\).

Vier Darstellungsformen derselben Funktion
1Text oder SituationIn der Regentonne stehen schon 2 Liter.Es kommen x Liter Regen dazu.Gesucht ist die Menge in der Tonne.Sprache statt Symbole2Funktionsgleichungf(x) = x + 2y = x + 2f : x ⟼ x + 23Wertetabellexf(x)−1102132435Jede Spalte ist ein Wertepaar.4Graph−224246Gfx

Situation, Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph beschreiben alle die Zuordnung \(x \longmapsto x+2\). Wer eine Form kennt, kann alle anderen daraus gewinnen.

  • Situation:beschreibt die Zuordnung in Worten — gut zum Verstehen, zum Rechnen zu ungenau.
  • Funktionsgleichung:\(f(x) = x+2\) — liefert zu jedem \(x\) den Funktionswert.
  • Wertetabelle:einzelne Wertepaare, z. B. \(x = 1\) gibt \(f(1) = 3\).
  • Graph:alle Punkte \(P(x\,|\,f(x))\), z. B. \(P(1\,|\,3)\).
  • Schreibweisen:\(f: x\longmapsto x+2\), \(f(x) = x+2\) oder \(y = x+2\).
Merke

Graph: \(G_f\) = alle Punkte \(P(x\,|\,f(x))\)

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Zwischen den Darstellungen wechseln

Ein Fahrradverleih verlangt 5 € Grundgebühr und 2 € pro Stunde. So wird daraus ein Graph.

  • Variable wählen:\(x\) = Anzahl der Stunden.
  • Gleichung:\(f(x) = 2x + 5\) — 5 € einmal, 2 € je Stunde.
  • Wertetabelle:\(f(0) = 5\), \(f(1) = 7\), \(f(2) = 9\), \(f(3) = 11\).
  • Graph:Punkte eintragen und verbinden; er beginnt bei 5 € und steigt je Stunde um 2 €.
  • Beispiel:\(f(4) = 2\cdot4 + 5 = 13\) — vier Stunden kosten 13 €.
Fahrradverleih: der Preis in Abhängigkeit von der Zeit
1234565101520Grundgebühr 5 €4 h kosten 13 €Zeit x in StundenPreis f(x) in Euro

Der Graph beginnt bei 5 € und steigt je Stunde um 2 €. Bei vier Stunden liest man 13 € ab, genau den Wert aus der Rechnung.

Merke

Wechsel: Situation → Gleichung → Wertetabelle → Graph (und rückwärts)

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Allgemeine Hinweise

Pfeile richtig lesen

Zwei Pfeile von derselben Zahl weg sind verboten. Zwei Pfeile auf dieselbe Zahl hin sind erlaubt.

Senkrechten-Test

Lege gedanklich senkrechte Linien über den Graphen. Trifft keine zwei Punkte, liegt eine Funktion vor.

Ablesen im Graphen

Gehe bei \(x\) senkrecht bis zum Graphen. Dann liest du waagerecht an der \(y\)-Achse \(f(x)\) ab.

Zum Weiterschauen

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