Einsetzungsverfahren: Übungen – Mathe Klasse 11

1Aufgelöst — aber wie?AFB I

Fünf Gleichungen, fünf aufgelöste Terme. Verbinden Sie jede Gleichung mit der Umformung, die ohne Bruch auskommt.

Wähle links eine Gleichung aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Term an.

Aufgelöst wird stets nach der Variablen, vor der \(1\) oder \(-1\) steht. Bei \(x-2y=-6\) etwa: \(x=-6+2y=2y-6\). Bei \(y-4x=1\) steht die \(1\) vor \(y\), also \(y=1+4x\).

2Eine Gleichung ist schon fertigAFB I

\(\text{I: } y=2x-1\), \(\text{II: } 3x+y=14\). Gleichung I ist bereits nach \(y\) aufgelöst. Berechnen Sie den \(x\)-Wert der Lösung.

Term für \(y\) in II einsetzen und nach \(x\) auflösen — Enter prüft.

\(3x+(2x-1)=14\) ergibt \(5x-1=14\), also \(5x=15\) und \(x=3\). Zurückgesetzt: \(y=2\cdot 3-1=5\). Die Lösung ist \(L=\{(3\,|\,5)\}\).

3Beide Werte gesuchtAFB I

Lösen Sie das System \(\text{I: } x=4-y\) und \(\text{II: } 2x+3y=13\) mit dem Einsetzungsverfahren.

Term für \(x\) in II einsetzen, \(y\) berechnen, dann zurücksetzen. Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

\(2\cdot(4-y)+3y=13\) ergibt \(8-2y+3y=13\), also \(8+y=13\) und \(y=5\). Zurück: \(x=4-5=-1\). Probe in II: \(-2+15=13\) ✓. \(L=\{(-1\,|\,5)\}\).

4Rechenkette: vier SchritteAFB I

\(\text{I: } x+2y=11\), \(\text{II: } 3x-y=5\). Rechnen Sie das Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt durch.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(x=\;\square-2y\). Welche Zahl steht im Kästchen?
In II einsetzen und zusammenfassen: Welcher Koeffizient steht dann vor \(y\)?
Damit ist \(y=\)
Zurücksetzen in \(x=11-2y\): \(x=\)

\(3\cdot(11-2y)-y=5\) ergibt \(33-6y-y=5\), also \(33-7y=5\) und \(-7y=-28\), somit \(y=4\). Zurück: \(x=11-8=3\). Probe in II: \(9-4=5\) ✓. \(L=\{(3\,|\,4)\}\).

5Bruchfrei oder nicht?AFB II

Sechs Gleichungen. Ordnen Sie jede danach ein, ob sie sich nach mindestens einer Variablen ohne Bruch auflösen lässt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1bruchfrei auflösbar

2es entstehen Brüche

Bruchfrei geht es genau dann, wenn vor einer Variablen \(1\) oder \(-1\) steht. Bei \(2x-6y=7\) täuscht die gerade Zahl: \(x=\frac{7+6y}{2}=3{,}5+3y\) enthält bereits einen Bruch, weil \(7\) nicht durch \(2\) teilbar ist.

6Fehlersuche: die vergessene KlammerAFB II

\(\text{I: } 3x-y=7\), \(\text{II: } 2x+5y=-1\). Der Lösungsweg enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 rechnet bereits wieder richtig weiter, weil sie von der korrekten Klammer ausgeht. Probe: \(3\cdot 2-(-1)=7\) ✓ und \(2\cdot 2+5\cdot(-1)=-1\) ✓.

7Die Schritte in die richtige ReihenfolgeAFB I

\(\text{I: } x+2y=8\), \(\text{II: } 4x-3y=10\). Ordnen Sie die sechs Schritte des Lösungswegs.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Klammer auflösen: 32 − 8y − 3y = 10

2Probe in II: 16 − 6 = 10 ✓, also L = {(4 | 2)}

3Gleichung I nach x auflösen: x = 8 − 2y

4Zusammenfassen und lösen: −11y = −22, also y = 2

5Den Term in II einsetzen: 4 · (8 − 2y) − 3y = 10

6Zurücksetzen: x = 8 − 2 · 2 = 4

Die Reihenfolge ist bei jedem System gleich: auflösen, einsetzen, Klammer auflösen, lösen, zurücksetzen, Probe. \(L=\{(4\,|\,2)\}\).

8Den Lösungsweg durchspielenAFB II

\(\text{I: } 2x+y=11\), \(\text{II: } 5x-3y=0\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Fünf Schritte, immer gleich: auflösen, einsetzen (mit Klammer), lösen, zurücksetzen, Probe. \(L=\{(3\,|\,5)\}\).

9Was stimmt über das Verfahren?AFB II

Sieben Aussagen über das Einsetzungsverfahren. Markieren Sie alle richtigen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Alle vier Wege (I oder II, nach \(x\) oder nach \(y\)) führen zur selben Lösungsmenge. Ein einzelner Wert wie \(y=4\) ist noch keine Lösung des Systems — es fehlt der Partner.

10Stimmt das so?AFB II

Sechs Aussagen zu Umformungen und zum Einsetzen. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage stimmt.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Zwei Regeln tragen weit: Der Term wandert immer in die andere Gleichung, und eine Klammer braucht es genau dann, wenn ein Faktor davorsteht.

11Ergebnis mit KommaAFB II

\(\text{I: } 4x+3y=1\), \(\text{II: } 2x-y=8\). Berechnen Sie den \(x\)-Wert der Lösung — er ist keine ganze Zahl.

II nach \(y\) auflösen, in I einsetzen. Dezimalkomma erlaubt — Enter prüft.

Aus II folgt \(y=2x-8\). In I: \(4x+3\cdot(2x-8)=1\), also \(4x+6x-24=1\) und \(10x=25\), somit \(x=2{,}5\). Zurück: \(y=5-8=-3\). \(L=\{(2{,}5\,|\,-3)\}\).

12Erst die Klammern, dann das EinsetzenAFB III

\(\text{I: } (x+2)^2-x^2+y=20\), \(\text{II: } 2x-(y-1)=5\). Trotz des Quadrats ist das System linear. Rechnen Sie die Kette durch.

Erst ausmultiplizieren, dann einsetzen. Enter prüft.

Gleichung I ausmultipliziert und zusammengefasst: Welcher Koeffizient steht vor \(x\)?
Gleichung II ohne Klammer in der Form \(2x-y=\;\square\): Welche Zahl steht rechts?
I nach \(y\) auflösen und in II einsetzen: Welcher Koeffizient steht nach dem Zusammenfassen vor \(x\)?
Und damit ist \(x=\) (auf drei Nachkommastellen gerundet)

\(I:\ x^2+4x+4-x^2+y=20\), also \(4x+y=16\). \(II:\ 2x-y+1=5\), also \(2x-y=4\). Aus I folgt \(y=16-4x\); eingesetzt: \(2x-(16-4x)=4\), also \(6x=20\) und \(x=\frac{10}{3}\approx 3{,}333\), \(y=\frac{8}{3}\approx 2{,}667\).

13Den aufgelösten Term angebenAFB II

Lösen Sie die Gleichung \(5x-2y=4\) nach \(y\) auf und geben Sie den Term ein, der dann für \(y\) eingesetzt wird.

Schreibweise: 3x - 5, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Dezimalpunkt statt Komma. Enter prüft.

\(5x-2y=4 \;\big|\;-5x\) ergibt \(-2y=4-5x\), und nach \(:(-2)\) folgt \(y=\dfrac{5x-4}{2}=2{,}5x-2\). Beide Schreibweisen werden akzeptiert.

14Wenn eine Variable von selbst verschwindetAFB II

\(\text{I: } (x-2)-(y-3)=18\), \(\text{II: } (x-1)-(x-2)=y\). Lösen Sie das System — Gleichung II liefert den ersten Wert fast ohne Rechnung.

Erst beide Klammern auflösen, dann einsetzen. Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

\(I:\ x-2-y+3=18\), also \(x-y=17\). \(II:\ x-1-x+2=y\), also \(y=1\) — das \(x\) fällt vollständig weg. Eingesetzt in I: \(x-1=17\), also \(x=18\). \(L=\{(18\,|\,1)\}\).

15Welches Verfahren ist hier das günstigste?AFB II

Vier Systeme. Entscheiden Sie, welches Verfahren jeweils ohne Umwege zum Ziel führt — Einsetzen ist nicht immer die beste Wahl.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

System	Einsetzen	Addieren	Gleichsetzen
I: y = 4x − 3 · II: 2x + 3y = 5
I: 3x + 5y = 1 · II: 4x − 5y = 13
I: y = 2x + 1 · II: y = −x + 7
I: x − 6y = 4 · II: 7x + 2y = 3

Bei \(3x+5y=1\) und \(4x-5y=13\) sind die \(y\)-Terme schon Gegenzahlen — Addieren ist ein einziger Schritt, Einsetzen würde Brüche erzeugen. Sind beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, ist Gleichsetzen kürzer als Einsetzen.

16Personen im KursAFB II

Ein Kurs hat 28 Mitglieder. Es sind 6 Mädchen mehr als Jungen. Mit \(x\) für die Anzahl der Mädchen und \(y\) für die Anzahl der Jungen gilt \(\text{I: } x+y=28\) und \(\text{II: } x-y=6\). Bestimmen Sie beide Anzahlen mit dem Einsetzungsverfahren.

II nach \(x\) auflösen und in I einsetzen. Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

Aus II folgt \(x=y+6\). In I: \((y+6)+y=28\), also \(2y=22\) und \(y=11\); zurück: \(x=17\). Probe: \(17+11=28\) ✓ und \(17-11=6\) ✓. Der Kurs hat 17 Mädchen und 11 Jungen.

17Fehlersuche: in welche Gleichung?AFB II

\(\text{I: } 2x+3y=12\), \(\text{II: } 5x-y=13\). Auch hier stecken zwei Fehler im Weg. Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die Lösung \(L=\{(3\,|\,2)\}\) ist am Ende richtig — der Weg dorthin enthält trotzdem zwei Fehler. Eine Zeile wie \(13=13\) ist immer ein Warnzeichen: Dann wurde in dieselbe Gleichung eingesetzt.

18Ein Parameter im SystemAFB III

\(\text{I: } y=2x+1\), \(\text{II: } 4x-2y=a\). Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den das System unendlich viele Lösungen besitzt.

Term für \(y\) einsetzen und schauen, was mit \(x\) passiert. Enter prüft.

Einsetzen: \(4x-2\cdot(2x+1)=a\) ergibt \(4x-4x-2=a\), also \(-2=a\). Für \(a=-2\) bleibt die wahre Aussage \(-2=-2\) übrig: jedes Paar auf der Geraden \(y=2x+1\) löst das System. Für jedes andere \(a\) entsteht ein Widerspruch und \(L=\{\;\}\).

19Zwei Quadrate, die sich weghebenAFB III

\(\text{I: } (x-3)^2-2y=7+x^2\), \(\text{II: } 2x+(y+4)^2-y^2=34\). Lösen Sie das System mit dem Einsetzungsverfahren und geben Sie beide Werte auf drei Nachkommastellen gerundet an.

Erst beide Gleichungen ausmultiplizieren, dann einsetzen. Rundung auf drei Nachkommastellen, Enter prüft.

x ≈y ≈

\(I:\ x^2-6x+9-2y=7+x^2\), also \(-6x-2y=-2\) und damit \(3x+y=1\). \(II:\ 2x+y^2+8y+16-y^2=34\), also \(2x+8y=18\) und damit \(x+4y=9\). Aus der ersten folgt \(y=1-3x\); eingesetzt: \(x+4(1-3x)=9\), also \(-11x=5\) und \(x=-\frac{5}{11}\approx-0{,}455\), \(y=\frac{26}{11}\approx 2{,}364\).

20Entscheidungsbaum: lohnt sich Einsetzen?AFB III

Gegeben ist \(\text{I: } 3x+4y=-6\), \(\text{II: } 2x-5y=19\). Beantworten Sie die Fragen des Baums für dieses System und begründen Sie damit die Wahl des Verfahrens.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Vor keiner der vier Variablen steht \(1\) oder \(-1\), und Gegenzahlen sind auch nicht vorhanden — der Baum führt zum Additionsverfahren mit Faktor. Falsch wäre das Einsetzen deshalb nicht: Es liefert \(x=-2-\frac{4}{3}y\) und am Ende ebenfalls \(L=\{(2\,|\,-3)\}\), nur eben mit Brüchen im ganzen Weg.

Interaktive Übung

Übungsaufgaben