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Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, den entstandenen Term in die andere Gleichung einsetzen — und aus zwei Unbekannten wird eine. Das erste der drei Lösungsverfahren, Schritt für Schritt.

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Die Idee: eine Variable ersetzen

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf. Den Term setzt du in die andere Gleichung ein – dort bleibt nur noch eine Variable.

  • Auflösen:aus \(\text{I: } x+3y=10\) wird \(x=10-3y\).
  • Einsetzen:in \(\text{II: } 2x+5y=24\) wird \(x\) durch \((10-3y)\) ersetzt.
  • Klammer:der eingesetzte Term steht immer in Klammern: \(2\cdot(10-3y)+5y=24\).
  • Rücksetzen:den gefundenen Wert in die aufgelöste Gleichung einsetzen.
  • Lösung:das Paar \((x\,|\,y)\), hier \(L=\{(22\,|\,-4)\}\).
Aus zwei Unbekannten wird eine
Gleichung II des Systems2 ·x+ 5y = 24x ist dasselbe wie 10 − 3y2 ·(10 − 3y)+ 5y = 24vorher: zwei Unbekannte x und ydanach: nur noch y

Das \(x\) in Gleichung II wird durch den gleichwertigen Ausdruck ersetzt. Der eingesetzte Term steht dabei immer in einer Klammer, weil die \(2\) davor den ganzen Ausdruck treffen muss.

Merke

Einsetzungsverfahren: \(\text{I: } x=T(y)\) in \(\text{II}\) einsetzen \(\Rightarrow\) Gleichung nur mit \(y\)

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Schritt für Schritt durchgerechnet

In Gleichung I steht vor \(x\) eine \(1\). Deshalb löst du I nach \(x\) auf.

Wohin der aufgelöste Ausdruck wandert
I: x + 3y = 10II: 2x + 5y = 24x = 10 − 3ynach x auflösen2 · (10 − 3y) + 5y = 24für x einsetzenNach dem Einsetzen steht in der Gleichung nur noch y.

In Gleichung I steht \(x\) ohne Zahl davor, deshalb wird I nach \(x\) aufgelöst. Der Ausdruck \(10-3y\) ersetzt in Gleichung II das \(x\), damit dort nur noch \(y\) vorkommt.

  • Auflösen:\(x=10-3y\).
  • Einsetzen:\(2\cdot(10-3y)+5y=24\).
  • Ausmultiplizieren:\(20-6y+5y=24\), also \(20-y=24\).
  • Lösen:\(-y=4\), also \(y=-4\).
  • Zurücksetzen:\(x=10-3\cdot(-4)=22\).
  • Probe:\(22+3\cdot(-4)=10\) und \(2\cdot22+5\cdot(-4)=24\) – immer in den ursprünglichen Gleichungen.
  • Lösung:\(L=\{(22\,|\,-4)\}\); im Paar steht \(x\) immer vorn.

Steht vor keiner Variablen eine \(1\), entstehen beim Auflösen Brüche. Das Verfahren funktioniert trotzdem.

  • Beispiel:aus \(\text{I: } 3x+4y=-6\) folgt \(x=-2-\frac{4}{3}y\); in \(\text{II: } 2x-5y=19\) eingesetzt ergibt sich \(-\frac{23}{3}y=23\).
  • Ergebnis:\(y=-3\) und \(x=2\), also \(L=\{(2\,|\,-3)\}\).
  • Ohne Brüche:die eingesetzte Gleichung mal \(3\): \(-12-8y-15y=57\), also \(-23y=69\).
Merke

Ablauf: auflösen \(\rightarrow\) einsetzen \(\rightarrow\) lösen \(\rightarrow\) zurücksetzen \(\rightarrow\) Probe in I und II

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Die Einsetz-Werkstatt

Du hast immer vier Wahlmöglichkeiten: Gleichung I oder II, jeweils nach \(x\) oder nach \(y\) aufgelöst. Alle vier führen zur selben Lösung.

Wähle aus, welche Gleichung du nach welcher Variablen auflöst. Vergleiche, welche Wege ohne Brüche auskommen.

Einsetz-Werkstatt

Wähle mit den Schaltflächen aus, welche Gleichung nach welcher Variablen aufgelöst wird. Die Grafik zeigt den aufgelösten Term, die Gleichung nach dem Einsetzen und den nächsten Rechenschritt. Die Grafik selbst ist mit Tab erreichbar: ←/→ wechseln die Gleichung, ↑/↓ die Variable.

Festes SystemI: x + 4y = 22II: 3x − y = 14I nach x aufgelöstx = 22 − 4yin die andere Gleichung einsetzen3 · (22 − 4y) − y = 14nächster Rechenschritt66 − 12y − y = 14 ⟹ 13y = 52 ⟹ y = 4bruchfrei
aufgelöst wird
I
nach der Variablen
x
Koeffizient davor
1
Rechnung
bruchfrei
Vor x steht in Gleichung I eine 1. Das Auflösen liefert x = 22 − 4y ganz ohne Nenner — einer der beiden bequemen Wege. Ausmultipliziert entsteht 66 − 12y − y = 14, also y = 4 und danach x = 6.

Alle vier Wege enden bei derselben Lösung \(L=\{(6\,|\,4)\}\). Bequem sind hier zwei davon: In Gleichung I steht vor \(x\) eine \(1\), in Gleichung II vor \(y\) eine \(-1\). Die beiden übrigen Wege führen über Brüche mit den Nennern \(4\) beziehungsweise \(3\) — richtig sind sie trotzdem.

  • Bequem:vor der gewählten Variablen steht \(1\) oder \(-1\).
  • Unbequem:sonst entstehen Brüche – das Ergebnis bleibt gleich.
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Wann Einsetzen?

Ein Blick auf die Koeffizienten zeigt, ob Einsetzen der kürzeste Weg ist.

  • Ideal:eine Gleichung ist schon aufgelöst, z. B. \(y=3x-1\).
  • Gut:vor einer Variablen steht \(1\) oder \(-1\), z. B. \(x+4y=22\).
  • Eher Gleichsetzen:wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.
  • Eher Addieren:bei Gegenzahlen wie \(+2y\) und \(-2y\) oder wenn vor allen Variablen Zahlen ungleich \(1\) stehen.
Merke

Faustregel: Koeffizient \(1\) oder \(-1\) vorhanden \(\Rightarrow\) Einsetzungsverfahren

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Allgemeine Hinweise

Klammer setzen

Aus \(y=9-2x\) in \(3x-2y=-4\) wird \(3x-2\cdot(9-2x)=-4\). Ohne Klammer trifft die \(2\) nur den ersten Summanden.

In die andere Gleichung

Setzt du \(x=10-3y\) wieder in I ein, entsteht nur \(10=10\). Der Term muss immer in die andere Gleichung.

Probe im Original

Prüfe das Paar in den ursprünglichen Gleichungen I und II. In der umgeformten Zeile fällt ein Fehler nicht auf.

Zum Weiterschauen

Videos

Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.

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