Zwei Einkäufe beim Bäcker
AFB IEine Bäckerei verkauft Brötchen und Croissants. Die Preisliste an der Kasse ist verdeckt, aber zwei Kassenbons vom selben Vormittag sind erhalten geblieben (Material M1). Es bezeichne \(x\) den Preis eines Brötchens in Euro und \(y\) den Preis eines Croissants in Euro. Zu den beiden Bons gehört damit das Gleichungssystem \(\text{I: } x+2y=3{,}45\) und \(\text{II: } 4x+3y=6{,}55\).
| Bon | Brötchen | Croissants | Summe |
|---|---|---|---|
| Bon I | 1 | 2 | 3,45 € |
| Bon II | 4 | 3 | 6,55 € |
Beide Bons stammen vom selben Tag, die Preise sind also unverändert; Rabatte oder Pfandbeträge kommen nicht vor.
- Geben Sie an, welche Gleichung sich nach welcher Variablen auflösen lässt, ohne dass ein Bruch entsteht, und geben Sie den aufgelösten Ausdruck an.
- Berechnen Sie mit dem Einsetzungsverfahren beide Einzelpreise.
- Zeigen Sie durch die Probe in beiden Ausgangsgleichungen, dass Ihr Zahlenpaar richtig ist, und berechnen Sie den Preis für 6 Brötchen und 4 Croissants.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In Gleichung I steht \(x\) ohne Faktor davor. Deshalb wird I nach \(x\) aufgelöst:
\(x+2y=3{,}45 \quad\Longrightarrow\quad x=3{,}45-2y\)
Jede andere Wahl führt auf einen Bruch: In I steht vor \(y\) eine \(2\), in II vor \(x\) eine \(4\) und vor \(y\) eine \(3\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Einsetzen von \(x=3{,}45-2y\) in Gleichung II:
\(4\cdot(3{,}45-2y)+3y=6{,}55\)
\(13{,}80-8y+3y=6{,}55\)
\(13{,}80-5y=6{,}55 \quad\big|\ -13{,}80\)
\(-5y=-7{,}25 \quad\big|\ :(-5)\)
\(y=1{,}45\)
Zurücksetzen in die aufgelöste Gleichung: \(x=3{,}45-2\cdot 1{,}45=3{,}45-2{,}90=0{,}55\).
\(L=\{(0{,}55\,|\,1{,}45)\}\). Ein Brötchen kostet 0,55 €, ein Croissant 1,45 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe in I: \(0{,}55+2\cdot 1{,}45=0{,}55+2{,}90=3{,}45\) — richtig.
Probe in II: \(4\cdot 0{,}55+3\cdot 1{,}45=2{,}20+4{,}35=6{,}55\) — richtig. Beide Bonbeträge werden getroffen.
6 Brötchen und 4 Croissants: \(6\cdot 0{,}55\ \text{€}+4\cdot 1{,}45\ \text{€}=3{,}30\ \text{€}+5{,}80\ \text{€}=9{,}10\ \text{€}\).
Der Einkauf kostet 9,10 €.
Zwei Handytarife im Vergleich
AFB IIEin Anbieter stellt zwei Tarife zur Auswahl (Material M2). Tarif A kostet 8,00 € Grundgebühr im Monat und zusätzlich 0,12 € je Gesprächsminute. Tarif B kostet 2,00 € Grundgebühr und 0,22 € je Gesprächsminute. Es bezeichne \(t\) die Gesprächszeit eines Monats in Minuten und \(K\) die monatlichen Kosten in Euro.
Gesucht ist die Gesprächszeit, bei der beide Tarife gleich viel kosten.
| Tarif | Grundgebühr | Preis je Minute |
|---|---|---|
| Tarif A | 8,00 € | 0,12 € |
| Tarif B | 2,00 € | 0,22 € |
Abgerechnet wird minutengenau; weitere Kosten fallen nicht an.
- Stellen Sie für die beiden Tarife ein lineares Gleichungssystem in den Variablen \(K\) und \(t\) auf.
- Bestimmen Sie mit dem Einsetzungsverfahren die Gesprächszeit und die Kosten, bei denen beide Tarife gleich teuer sind.
- Entscheiden Sie begründet, welcher Tarif bei 40 Gesprächsminuten und welcher bei 90 Gesprächsminuten günstiger ist, und formulieren Sie daraus eine allgemeine Empfehlung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mit \(t\) für die Gesprächszeit in Minuten und \(K\) für die Monatskosten in Euro gilt:
\(\text{I: } K-0{,}12t=8\)
\(\text{II: } K=2+0{,}22t\)
Gleichung I beschreibt Tarif A (Kosten minus Gesprächsanteil ergeben die Grundgebühr), Gleichung II beschreibt Tarif B in bereits nach \(K\) aufgelöster Form.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung II ist schon nach \(K\) aufgelöst. Einsetzen in Gleichung I:
\((2+0{,}22t)-0{,}12t=8\)
\(2+0{,}10t=8 \quad\big|\ -2\)
\(0{,}10t=6 \quad\big|\ :0{,}10\)
\(t=60\)
Zurücksetzen in II: \(K=2+0{,}22\cdot 60=2+13{,}20=15{,}20\).
Probe in I: \(15{,}20-0{,}12\cdot 60=15{,}20-7{,}20=8\) — richtig. Es ist \(L=\{(15{,}20\,|\,60)\}\).
Bei 60 Gesprächsminuten im Monat kosten beide Tarife dasselbe, nämlich 15,20 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
40 Minuten: Tarif A kostet \(8+0{,}12\cdot 40=8+4{,}80=12{,}80\ \text{€}\), Tarif B kostet \(2+0{,}22\cdot 40=2+8{,}80=10{,}80\ \text{€}\). Günstiger ist Tarif B, er spart 2,00 €.
90 Minuten: Tarif A kostet \(8+10{,}80=18{,}80\ \text{€}\), Tarif B kostet \(2+19{,}80=21{,}80\ \text{€}\). Günstiger ist Tarif A, er spart 3,00 €.
Empfehlung: Wer im Monat weniger als 60 Minuten telefoniert, fährt mit Tarif B günstiger, weil dessen niedrige Grundgebühr den höheren Minutenpreis noch ausgleicht. Bei genau 60 Minuten sind beide gleich teuer. Wer regelmäßig länger telefoniert, sollte Tarif A wählen, weil dort jede Minute nur gut halb so viel kostet.
Zwei Radfahrer auf demselben Weg
AFB IIZwei Orte liegen 54 km auseinander. Um 9:00 Uhr startet in jedem Ort ein Radfahrer und fährt dem anderen entgegen (Material M3). Radfahrer 1 fährt gleichmäßig 4 km/h schneller als Radfahrer 2. Um 11:00 Uhr treffen sich beide.
Es bezeichne \(x\) die Geschwindigkeit von Radfahrer 1 und \(y\) die Geschwindigkeit von Radfahrer 2, jeweils in Kilometern pro Stunde.
Beide fahren gleichmäßig und ohne Pause. Der Treffpunkt liegt nicht in der Mitte, weil Radfahrer 1 schneller unterwegs ist.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf und erläutern Sie, was jede der beiden Gleichungen im Sachzusammenhang bedeutet.
- Lösen Sie das System mit dem Einsetzungsverfahren und interpretieren Sie das Ergebnis.
- Berechnen Sie, wie viele Kilometer jeder der beiden bis zum Treffpunkt zurückgelegt hat, und überprüfen Sie das Ergebnis an der Gesamtstrecke.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x=y+4\)
\(\text{II: } 2x+2y=54\)
Gleichung I hält den Geschwindigkeitsunterschied fest: Radfahrer 1 ist um 4 km/h schneller als Radfahrer 2. Gleichung II ist die Streckenbilanz: In den zwei Stunden von 9:00 bis 11:00 Uhr legt Radfahrer 1 die Strecke \(2x\) und Radfahrer 2 die Strecke \(2y\) zurück; zusammen müssen das die 54 km zwischen den Orten sein. Durch 2 geteilt lautet II kürzer \(x+y=27\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I ist bereits nach \(x\) aufgelöst. Einsetzen in \(x+y=27\):
\((y+4)+y=27\)
\(2y+4=27 \quad\big|\ -4\)
\(2y=23 \quad\big|\ :2\)
\(y=11{,}5\)
Zurücksetzen: \(x=11{,}5+4=15{,}5\). Es ist \(L=\{(15{,}5\,|\,11{,}5)\}\).
Probe in II: \(2\cdot 15{,}5+2\cdot 11{,}5=31+23=54\) — richtig.
Radfahrer 1 fährt 15,5 km/h, Radfahrer 2 fährt 11,5 km/h. Der Unterschied von 4 km/h ist damit ebenfalls erfüllt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Radfahrer 1: \(2\ \text{h}\cdot 15{,}5\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=31\ \text{km}\).
Radfahrer 2: \(2\ \text{h}\cdot 11{,}5\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=23\ \text{km}\).
Zusammen: \(31\ \text{km}+23\ \text{km}=54\ \text{km}\) — genau die Entfernung zwischen den Orten. Der Treffpunkt liegt also 31 km von Ort A und 23 km von Ort B entfernt und damit deutlich näher an Ort B, wie es die Skizze in M3 zeigt.
Eine Mischung für das Schulfest
AFB IIFür ein Schulfest sollen 20 Liter eines Mischgetränks mit einem Fruchtanteil von 45 % angesetzt werden. Zur Verfügung stehen zwei Getränke mit unterschiedlichem Fruchtanteil (Material M4); beim Mischen geht nichts verloren. Es bezeichne \(x\) die eingesetzte Menge von Getränk P und \(y\) die eingesetzte Menge von Getränk Q, jeweils in Litern.
| Getränk | Fruchtanteil | Vorrat |
|---|---|---|
| Getränk P | 70 % | 12 Liter |
| Getränk Q | 30 % | 15 Liter |
Gesucht sind 20 Liter mit 45 % Fruchtanteil — das sind 9 Liter reiner Fruchtanteil in der fertigen Mischung.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf und erläutern Sie, was die beiden Gleichungen jeweils bilanzieren.
- Berechnen Sie mit dem Einsetzungsverfahren die benötigten Mengen und überprüfen Sie, ob der Vorrat aus M4 ausreicht.
- Bestimmen Sie, wie sich die Mengen ändern, wenn stattdessen 20 Liter mit 50 % Fruchtanteil gemischt werden sollen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x+y=20\)
\(\text{II: } 0{,}7x+0{,}3y=9\)
Gleichung I bilanziert die Gesamtmenge: Die eingesetzten Mengen beider Getränke müssen zusammen die 20 Liter der Mischung ergeben. Gleichung II bilanziert den Fruchtanteil: In \(x\) Litern von Getränk P stecken \(0{,}7x\) Liter Fruchtanteil, in \(y\) Litern von Getränk Q stecken \(0{,}3y\) Liter. Zusammen müssen das \(0{,}45\cdot 20\ \text{L}=9\ \text{L}\) sein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(y\) auflösen: \(y=20-x\). Einsetzen in II:
\(0{,}7x+0{,}3\cdot(20-x)=9\)
\(0{,}7x+6-0{,}3x=9\)
\(0{,}4x+6=9 \quad\big|\ -6\)
\(0{,}4x=3 \quad\big|\ :0{,}4\)
\(x=7{,}5\)
Zurücksetzen: \(y=20-7{,}5=12{,}5\). Es ist \(L=\{(7{,}5\,|\,12{,}5)\}\).
Probe in II: \(0{,}7\cdot 7{,}5+0{,}3\cdot 12{,}5=5{,}25+3{,}75=9\) — richtig.
Benötigt werden 7,5 Liter von Getränk P und 12,5 Liter von Getränk Q. Der Vorrat reicht aus: Von P sind 12 Liter vorhanden, von Q 15 Liter. Übrig bleiben 4,5 Liter von P und 2,5 Liter von Q.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
50 % von 20 Litern sind 10 Liter reiner Fruchtanteil. Das System lautet nun \(\text{I: } x+y=20\) und \(\text{II: } 0{,}7x+0{,}3y=10\).
Mit \(y=20-x\) folgt \(0{,}7x+6-0{,}3x=10\), also \(0{,}4x=4\) und \(x=10\); damit \(y=10\).
Nun werden je 10 Liter beider Getränke gebraucht. Von Getränk P sind aber nur 12 Liter vorhanden — der Vorrat reicht gerade noch. Anschaulich: Je näher der gewünschte Anteil von 45 % an die 70 % von Getränk P rückt, desto mehr von P wird gebraucht.
Karten für die Kinovorstellung
AFB IIEin Kino verkauft Karten zu zwei Preisen. Eine Karte für Erwachsene kostet 4,50 € mehr als eine Kinderkarte. Eine Familie zahlt für 2 Erwachsene und 5 Kinder zusammen 51,00 € (Material M5). Es bezeichne \(x\) den Preis einer Erwachsenenkarte und \(y\) den Preis einer Kinderkarte, jeweils in Euro.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Erwachsenenkarten | 2 |
| Kinderkarten | 5 |
| Rechnungsbetrag | 51,00 € |
| Preisunterschied je Karte | 4,50 € |
Der Preisunterschied gilt je Karte, nicht für die gesamte Buchung.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf.
- Berechnen Sie mit dem Einsetzungsverfahren beide Kartenpreise und zeigen Sie durch die Probe, dass Ihr Ergebnis beide Bedingungen erfüllt.
- Berechnen Sie den Preis für eine Gruppe aus 3 Erwachsenen und 8 Kindern und begründen Sie, warum das Einsetzungsverfahren bei diesem System besonders bequem ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x=y+4{,}50\)
\(\text{II: } 2x+5y=51\)
Gleichung I hält den Preisunterschied fest, Gleichung II den Rechnungsbetrag der Familie.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I ist bereits nach \(x\) aufgelöst. Einsetzen in II:
\(2\cdot(y+4{,}50)+5y=51\)
\(2y+9+5y=51\)
\(7y+9=51 \quad\big|\ -9\)
\(7y=42 \quad\big|\ :7\)
\(y=6\)
Zurücksetzen: \(x=6+4{,}50=10{,}50\). Es ist \(L=\{(10{,}50\,|\,6)\}\).
Probe in I: \(10{,}50=6+4{,}50\) — richtig. Probe in II: \(2\cdot 10{,}50+5\cdot 6=21+30=51\) — richtig.
Eine Erwachsenenkarte kostet 10,50 €, eine Kinderkarte 6,00 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
3 Erwachsene und 8 Kinder: \(3\cdot 10{,}50\ \text{€}+8\cdot 6{,}00\ \text{€}=31{,}50\ \text{€}+48{,}00\ \text{€}=79{,}50\ \text{€}\). Die Gruppe zahlt 79,50 €.
Begründung: Gleichung I ist bereits nach \(x\) aufgelöst, vor \(x\) steht also der Koeffizient 1. Damit entfällt die erste Stufe des Verfahrens vollständig, und der einzusetzende Term \(y+4{,}50\) enthält keinen Nenner. Beim Additionsverfahren müsste man dieselbe Gleichung erst in die Form \(x-y=4{,}50\) bringen und anschließend mit einem Faktor multiplizieren — das sind zwei zusätzliche Schritte ohne jeden Gewinn.
Eine Wanderung in zwei Abschnitten
AFB IIEine Wandergruppe legt eine Strecke von 14 km zurück. Der Weg besteht aus einem flachen und einem steilen Abschnitt (Material M6). Auf dem flachen Abschnitt schafft die Gruppe 4 km/h, auf dem steilen nur 2 km/h. Ohne Pausen ist sie insgesamt 4,5 Stunden unterwegs.
Es bezeichne \(x\) die Länge des flachen und \(y\) die Länge des steilen Abschnitts, jeweils in Kilometern.
| Abschnitt | Geschwindigkeit | Länge | Zeit |
|---|---|---|---|
| flach | 4 km/h | \(x\) | \(\frac{x}{4}\) |
| steil | 2 km/h | \(y\) | \(\frac{y}{2}\) |
| zusammen | — | 14 km | 4,5 h |
Die Zeit für einen Abschnitt ist Strecke geteilt durch Geschwindigkeit; Pausen sind nicht eingerechnet.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf und zeigen Sie, dass sich die Zeitgleichung auf \(x+2y=18\) vereinfachen lässt.
- Lösen Sie das System mit dem Einsetzungsverfahren.
- Berechnen Sie die Gehzeit für jeden Abschnitt und bestimmen Sie, wie lange die Wanderung dauern würde, wenn die Gruppe den steilen Abschnitt mit 2,5 km/h bewältigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Streckenbilanz: \(\text{I: } x+y=14\).
Zeitbilanz: \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=4{,}5\).
Multiplikation der Zeitgleichung mit 4 (dem kleinsten gemeinsamen Nenner):
\(4\cdot\dfrac{x}{4}+4\cdot\dfrac{y}{2}=4\cdot 4{,}5\)
\(x+2y=18 \quad=\ \text{II}\)
Beide Gleichungen sind damit bruchfrei und enthalten nur noch \(x\) und \(y\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(x=14-y\). Einsetzen in II:
\((14-y)+2y=18\)
\(14+y=18 \quad\big|\ -14\)
\(y=4\)
Zurücksetzen: \(x=14-4=10\). Es ist \(L=\{(10\,|\,4)\}\).
Probe in der ursprünglichen Zeitgleichung: \(\frac{10}{4}+\frac{4}{2}=2{,}5+2=4{,}5\) — richtig. Der flache Abschnitt ist 10 km lang, der steile 4 km.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Flacher Abschnitt: \(\frac{10\ \text{km}}{4\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=2{,}5\ \text{h}=2\ \text{h}\ 30\ \text{min}\).
Steiler Abschnitt: \(\frac{4\ \text{km}}{2\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=2\ \text{h}\).
Mit 2,5 km/h auf dem steilen Abschnitt: \(\frac{4\ \text{km}}{2{,}5\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=1{,}6\ \text{h}\). Die Gesamtzeit beträgt dann \(2{,}5\ \text{h}+1{,}6\ \text{h}=4{,}1\ \text{h}\), also 4 Stunden und 6 Minuten.
Die Gruppe spart 0,4 Stunden, also 24 Minuten — obwohl der steile Abschnitt nur 4 der 14 Kilometer ausmacht.
Der Kuchenstand beim Sommerfest
AFB IIIAm Kuchenstand eines Sommerfests kosten ein Stück Kuchen \(x\) Euro und ein Getränk \(y\) Euro. Zwei Gruppen haben ihre Bestellungen notiert (Material M7): Die erste Gruppe zahlt für 5 Stück Kuchen und 3 Getränke 13,50 €, die zweite für 2 Stück Kuchen und 4 Getränke 11,00 €.
Ein Schüler behauptet: „Bei diesem System kann man das Einsetzungsverfahren nicht anwenden, weil vor keiner Variablen eine 1 steht.“
| Gruppe | Kuchenstücke | Getränke | Summe |
|---|---|---|---|
| Gruppe I | 5 | 3 | 13,50 € |
| Gruppe II | 2 | 4 | 11,00 € |
Alle Stücke kosten gleich viel, alle Getränke ebenfalls; Rabatte gibt es nicht.
- Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf.
- Lösen Sie das System mit dem Einsetzungsverfahren, indem Sie Gleichung II nach \(x\) auflösen.
- Vergleichen Sie Ihren Rechenweg mit dem Additionsverfahren, indem Sie dasselbe System auch damit lösen.
- Beurteilen Sie die Behauptung des Schülers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } 5x+3y=13{,}50\)
\(\text{II: } 2x+4y=11\)
Dabei ist \(x\) der Preis eines Kuchenstücks und \(y\) der Preis eines Getränks, jeweils in Euro.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung II nach \(x\) auflösen:
\(2x+4y=11 \quad\big|\ -4y\)
\(2x=11-4y \quad\big|\ :2\)
\(x=\dfrac{11-4y}{2}=5{,}5-2y\)
Einsetzen in Gleichung I:
\(5\cdot(5{,}5-2y)+3y=13{,}50\)
\(27{,}5-10y+3y=13{,}50\)
\(27{,}5-7y=13{,}50 \quad\big|\ -27{,}5\)
\(-7y=-14 \quad\big|\ :(-7)\)
\(y=2\)
Zurücksetzen: \(x=5{,}5-2\cdot 2=1{,}5\). Es ist \(L=\{(1{,}5\,|\,2)\}\).
Probe in I: \(5\cdot 1{,}5+3\cdot 2=7{,}5+6=13{,}50\) ✓. Probe in II: \(2\cdot 1{,}5+4\cdot 2=3+8=11\) ✓.
Ein Stück Kuchen kostet 1,50 €, ein Getränk 2,00 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Additionsverfahren: Gleichung I wird mit \(2\), Gleichung II mit \(-5\) multipliziert, damit vor \(x\) Gegenzahlen stehen.
\(\text{I}\cdot 2:\quad 10x+6y=27\)
\(\text{II}\cdot(-5):\quad -10x-20y=-55\)
Addition: \(-14y=-28\), also \(y=2\); eingesetzt in II: \(2x+8=11\), also \(x=1{,}5\).
Vergleich: Beide Wege liefern dieselbe Lösungsmenge \(L=\{(1{,}5\,|\,2)\}\) — das ist kein Zufall, denn beide Verfahren formen dasselbe System nur äquivalent um. Unterschiedlich ist der Aufwand: Beim Einsetzungsverfahren entsteht mit \(5{,}5-2y\) ein Term mit Komma, dafür muss nur eine Klammer ausmultipliziert werden. Beim Additionsverfahren bleiben alle Zahlen ganzzahlig, dafür müssen zwei passende Faktoren gefunden und beide Gleichungen vollständig durchmultipliziert werden. Bei diesem System sind beide Wege etwa gleich lang.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist falsch. Teil b) ist der Gegenbeweis: Das Einsetzungsverfahren wurde vollständig durchgeführt und hat die richtige Lösung geliefert. Ein Koeffizient 1 ist keine Voraussetzung des Verfahrens — jede lineare Gleichung lässt sich nach jeder ihrer Variablen auflösen, notfalls eben mit einem Bruch oder einer Kommazahl.
Richtig ist nur der Kern des Gedankens: Steht irgendwo eine 1 oder \(-1\), so bleibt der aufgelöste Term ohne Nenner, und das Verfahren ist besonders bequem. Fehlt eine solche Stelle, ist Einsetzen weiterhin möglich, aber häufig nicht mehr der schnellste Weg. Hier war der Koeffizient 2 in Gleichung II günstig genug, weil \(11:2\) und \(4:2\) beide leicht zu bilden sind. Bei einem System wie \(3x+4y=-6\) und \(2x-5y=19\) fällt der Unterschied dagegen deutlich zugunsten des Additionsverfahrens aus.
Zwei Kerzen, die unterschiedlich schnell brennen
AFB IIZwei Kerzen werden gleichzeitig angezündet (Material M8). Kerze A ist zu Beginn 24 cm lang und wird pro Stunde 2 cm kürzer. Kerze B ist zu Beginn 18 cm lang und wird pro Stunde 1 cm kürzer. Es bezeichne \(t\) die Brenndauer in Stunden und \(h\) die Länge einer Kerze in Zentimetern.
Beide Kerzen brennen gleichmäßig ab. Die gestrichelte Linie deutet an, wonach gefragt ist: den Zeitpunkt, zu dem beide gleich lang sind.
- Stellen Sie für jede Kerze eine Gleichung für die Länge \(h\) in Abhängigkeit von der Brenndauer \(t\) auf.
- Berechnen Sie mit dem Einsetzungsverfahren, nach welcher Zeit beide Kerzen gleich lang sind, und geben Sie diese Länge an.
- Bestimmen Sie, wann Kerze A vollständig abgebrannt ist, und berechnen Sie, wie lang Kerze B zu diesem Zeitpunkt noch ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } h=24-2t\) (Kerze A)
\(\text{II: } h=18-t\) (Kerze B)
Beide Gleichungen gelten nur, solange die jeweilige Kerze noch brennt, also für \(t\ge 0\) und \(h\ge 0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Term \(24-2t\) aus Gleichung I wird in Gleichung II für \(h\) eingesetzt:
\(24-2t=18-t \quad\big|\ +2t\)
\(24=18+t \quad\big|\ -18\)
\(t=6\)
Zurücksetzen in II: \(h=18-6=12\).
Probe in I: \(24-2\cdot 6=24-12=12\) — richtig. Es ist \(L=\{(12\,|\,6)\}\) für das Paar \((h\,|\,t)\).
Nach 6 Stunden sind beide Kerzen gleich lang, nämlich 12 cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kerze A ist abgebrannt, wenn \(h=0\) gilt: \(0=24-2t\), also \(2t=24\) und \(t=12\). Nach 12 Stunden ist Kerze A vollständig abgebrannt.
Kerze B zu diesem Zeitpunkt: \(h=18-12=6\). Kerze B ist dann noch 6 cm lang und brennt weitere 6 Stunden, also insgesamt 18 Stunden.
Die anfangs kürzere Kerze überdauert die längere, weil sie nur halb so schnell abbrennt — ab der sechsten Stunde ist sie die längere von beiden.
Trickaufgabe: die vertauschten Ziffern
AFB IIIVon einer zweistelligen Zahl ist bekannt: Ihre Quersumme beträgt 12. Vertauscht man die beiden Ziffern, so entsteht eine Zahl, die um 18 größer ist als die ursprüngliche (Material M9).
Es bezeichne \(x\) die Zehnerziffer und \(y\) die Einerziffer der ursprünglichen Zahl.
Der Stellenwert macht den Unterschied: die Zehnerziffer zählt zehnfach. Deshalb ist die Differenz beider Zahlen immer durch 9 teilbar.
- Zeigen Sie mithilfe von M9, dass sich die zweite Bedingung zur Gleichung \(y-x=2\) vereinfachen lässt.
- Bestimmen Sie mit dem Einsetzungsverfahren die gesuchte Zahl und überprüfen Sie beide Bedingungen an der gefundenen Zahl.
- Beurteilen Sie die Aussage eines Mitschülers: „Zu jeder solchen Aufgabe gibt es genau eine zweistellige Zahl, denn das Gleichungssystem hat ja immer genau eine Lösung.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die ursprüngliche Zahl hat den Wert \(10x+y\), die Zahl mit vertauschten Ziffern den Wert \(10y+x\). Die zweite Bedingung lautet damit:
\((10y+x)-(10x+y)=18\)
\(10y+x-10x-y=18\)
\(9y-9x=18 \quad\big|\ :9\)
\(y-x=2\)
Zusammen mit der Quersumme ergibt sich das System \(\text{I: } x+y=12\) und \(\text{II: } y-x=2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(x=12-y\). Einsetzen in II:
\(y-(12-y)=2\)
\(y-12+y=2\)
\(2y-12=2 \quad\big|\ +12\)
\(2y=14 \quad\big|\ :2\)
\(y=7\)
Zurücksetzen: \(x=12-7=5\). Es ist \(L=\{(5\,|\,7)\}\).
Die gesuchte Zahl ist also \(10\cdot 5+7=57\).
Überprüfung: Die Quersumme von 57 ist \(5+7=12\) ✓. Vertauscht man die Ziffern, entsteht 75, und \(75-57=18\) ✓. Beide Bedingungen sind erfüllt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist so nicht haltbar. Richtig ist zwar, dass ein lineares Gleichungssystem dieser Bauart genau eine Lösung besitzt — die beiden Geraden \(x+y=12\) und \(y-x=2\) schneiden sich in genau einem Punkt. Die Aufgabenstellung verlangt aber mehr: \(x\) und \(y\) müssen Ziffern sein, also ganze Zahlen von 0 bis 9, und zusätzlich muss \(x\ne 0\) gelten, damit die Zahl wirklich zweistellig ist.
Gegenbeispiel: Lautet die zweite Bedingung „um 27 größer“, so wird aus ihr \(9y-9x=27\), also \(y-x=3\). Zusammen mit \(x+y=12\) liefert das Einsetzungsverfahren \(y-(12-y)=3\), also \(2y=15\) und \(y=7{,}5\) sowie \(x=4{,}5\). Das Gleichungssystem hat weiterhin genau eine Lösung — sie besteht nur aus keinen Ziffern, und deshalb existiert zu dieser Aufgabenstellung keine passende zweistellige Zahl.
Fazit: Die eindeutige Lösung des Gleichungssystems garantiert noch keine Lösung der Sachaufgabe. Am Ende jeder Textaufgabe gehört deshalb die Frage dazu, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang überhaupt möglich ist.