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Textaufgaben: Darstellungsformen

Fünf Sachaufgaben mit vollständigem Erwartungshorizont — vom Ablesen einer Preistafel bis zur Frage, was eine Wertetabelle wirklich festlegt.

1

Die Preistafel am Parkautomaten

AFB I

Am Parkautomaten eines Schwimmbads hängt eine Preistafel (Material M1). Sie nennt zu fünf Parkdauern den jeweils fälligen Betrag.

M1Preistafel des Parkautomaten
Parkdauer t in min 30 60 90 120 150 Preis p in Euro 1,00 1,80 2,60 3,40 4,20

Der Automat rechnet in Schritten von 30 Minuten ab. Zwischenwerte sind auf der Tafel nicht aufgeführt.

  1. Geben Sie an, welche Darstellungsform hier vorliegt und welche Größe welcher Größe zugeordnet wird.
  2. Nennen Sie den Preis für 90 Minuten und schreiben Sie das zugehörige Wertepaar in der Form \(P(t\,|\,p)\) auf.
  3. Erklären Sie, warum die Tafel über eine Parkdauer von 45 Minuten keine Auskunft gibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Auf der Tafel stehen einzelne Zahlenpaare untereinander — keine Formel und kein Bild. Fragen Sie sich, welche der vier Darstellungsformen genau das leistet.„Geben Sie an“ verlangt nur das Ergebnis, keine Herleitung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Es liegt eine Wertetabelle vor. Der Parkdauer t wird der Preis p zugeordnet; die Parkdauer ist die unabhängige Größe, der Preis hängt von ihr ab.

Hinweis zu Aufgabe b)
Suchen Sie in der oberen Zeile die Spalte mit t = 90 und lesen Sie den Betrag direkt darunter ab. Achten Sie beim Wertepaar auf die Reihenfolge, die die Schreibweise \(P(t\,|\,p)\) vorgibt.„Nennen“ verlangt nur die Angabe des Ergebnisses, keine Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für 90 Minuten sind 2,60 Euro zu zahlen. Das zugehörige Wertepaar lautet \(P(90\,|\,2{,}60)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, wie viele Spalten die Tafel hat und wie viele Parkdauern zwischen 30 und 150 Minuten überhaupt möglich sind.„Erklären“ heißt: den Zusammenhang in eigenen Worten so darstellen, dass die Ursache erkennbar wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Eine Wertetabelle enthält immer nur endlich viele Spalten und damit nur eine Stichprobe der Zuordnung. Die Stelle t = 45 kommt in der Tafel nicht vor; ohne eine zusätzliche Angabe — etwa eine Funktionsgleichung oder den Hinweis auf die 30-Minuten-Taktung — lässt sich der Preis daher nicht ablesen und auch nicht sicher berechnen.

2

Die Regentonne im Schulgarten

AFB II

Eine Regentonne im Schulgarten wird aus einem Fallrohr gespeist. Während eines gleichmäßigen Landregens misst eine Arbeitsgruppe alle zwei Stunden die Füllhöhe und hält sie in Material M2 fest.

M2Messprotokoll der Arbeitsgruppe
Zeit t in h 0 2 4 6 Füllhöhe h in cm 12 18 24 30

Die Tonne ist 60 cm hoch. Der Regen setzte um 0 Uhr ein und hielt während der gesamten Messreihe unverändert an.

  1. Stellen Sie die Messwerte in einem Koordinatensystem dar und zeichnen Sie den zugehörigen Graphen.
  2. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung für die Füllhöhe und begründen Sie, welche Zusatzannahme Sie dabei treffen.
  3. Berechnen Sie die Füllhöhe nach 5 Stunden und beurteilen Sie, wie verlässlich dieser Wert ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Tragen Sie t nach rechts und h nach oben auf. Prüfen Sie, um wie viel die Füllhöhe von einer Messung zur nächsten wächst — ist dieser Zuwachs immer gleich?„Darstellen“ verlangt eine saubere Zeichnung mit beschrifteten Achsen und passender Skalierung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Achsen mit Beschriftung t in h und h in cm, sinnvolle Skalierung. Eintragen der vier Wertepaare (0 | 12), (2 | 18), (4 | 24) und (6 | 30). Die vier Punkte liegen auf einer Geraden; diese wird durchgezogen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Gleichung einer Geraden hat die Form \(h(t)=m\cdot t+b\). Der Wert b steht schon in der Tabelle, m berechnen Sie aus zwei Spalten.„Begründen“ heißt: die Annahme benennen und mit einem Argument aus dem Sachkontext stützen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Steigung aus zwei Spalten: \(m=\dfrac{18-12}{2-0}=3\), also 3 cm je Stunde. Der Startwert bei t = 0 beträgt 12 cm, damit \(h(t)=3t+12\) mit \(D_h=[0;16]\). Zusatzannahme: Die Messwerte allein legen die Funktion nicht fest. Erst die Annahme, dass der Regen gleichmäßig weiterläuft und die Tonne überall gleich weit ist, rechtfertigt eine lineare Funktion zwischen den Messpunkten.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie t = 5 in Ihre Gleichung aus Teil b) ein. Fragen Sie sich danach, ob diese Stelle innerhalb oder außerhalb des Messzeitraums liegt und welche Annahme über den Regen Sie dabei stillschweigend weiterverwenden.„Beurteilen“ heißt: den berechneten Wert an eigenen Kriterien einordnen, statt ihn nur hinzuschreiben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h(5)=3\cdot 5+12=27\), also 27 cm. Der Wert liegt zwischen zwei Messungen und ist deshalb gut abgesichert, solange der Regen unverändert anhält. Er bleibt aber ein Modellwert: Gemessen wurde bei 5 Stunden nicht, und außerhalb des Messzeitraums — spätestens bei 60 cm Randhöhe — verliert die Gleichung ihre Gültigkeit.

3

Zwei Handytarife, zwei Darstellungen

AFB II

Ein Anbieter beschreibt seine beiden Tarife auf ganz unterschiedliche Weise. Tarif A steht als Funktionsgleichung im Kleingedruckten:

\(k_A(x)=8+0{,}10\cdot x\) mit \(D_{k_A}=\mathbb{R}_{\ge 0}\), dabei ist x die Zahl der Gesprächsminuten pro Monat und \(k_A\) der Monatspreis in Euro.

Tarif B wird auf dem Werbeflyer nur mit einer kleinen Tabelle beworben (Material M3).

M3Werbetabelle zu Tarif B
Gesprächsminuten x 0 50 100 150 Kosten in Euro 12,00 15,00 18,00 21,00

Der Anbieter versichert, dass der Preis von Tarif B zwischen den angegebenen Werten gleichmäßig wächst.

  1. Stellen Sie Tarif B durch eine Funktionsgleichung dar.
  2. Erstellen Sie für Tarif A eine Wertetabelle mit denselben x-Werten und vergleichen Sie die beiden Tarife.
  3. Berechnen Sie ab welcher Gesprächsdauer Tarif B günstiger ist, und erklären Sie, wie man dieselbe Stelle im Graphen findet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Spalte x = 0 verrät die Grundgebühr. Für den Minutenpreis teilen Sie den Preiszuwachs durch den zugehörigen Minutenzuwachs.„Darstellen“ meint hier den Wechsel der Darstellungsform — von der Tabelle zur Gleichung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Grundgebühr aus der Spalte x = 0: 12,00 Euro. Minutenpreis: \(m=\dfrac{15-12}{50-0}=0{,}06\). Damit \(k_B(x)=12+0{,}06\cdot x\) mit \(D_{k_B}=\mathbb{R}_{\ge 0}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie genau dieselben x-Werte wie in der Werbetabelle in \(k_A\) ein, damit die Zahlen unmittelbar nebeneinanderstehen. Achten Sie beim Vergleich sowohl auf den Startwert bei x = 0 als auch darauf, wie schnell die beiden Preise steigen.„Vergleichen“ verlangt, Gemeinsamkeiten und Unterschiede ausdrücklich zu benennen — nicht nur zwei Tabellen nebeneinanderzustellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Wertetabelle für Tarif A: \(k_A(0)=8{,}00\), \(k_A(50)=13{,}00\), \(k_A(100)=18{,}00\), \(k_A(150)=23{,}00\) (alle Angaben in Euro). Vergleich: Tarif A startet mit der niedrigeren Grundgebühr, verlangt aber den höheren Minutenpreis. Bei 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel; darunter ist A günstiger, darüber B.

Hinweis zu Aufgabe c)
„Gleich teuer“ heißt: Beide Preise stimmen überein. Setzen Sie die beiden Terme gleich und lösen Sie nach x auf.„Erklären“ heißt hier: sichtbar machen, welchem Merkmal der Zeichnung die berechnete Stelle entspricht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gleichsetzen: \(8+0{,}10x=12+0{,}06x \Longleftrightarrow 0{,}04x=4 \Longleftrightarrow x=100\). Ab mehr als 100 Gesprächsminuten im Monat ist Tarif B günstiger. Im Graphen entspricht diese Stelle dem Schnittpunkt der beiden Geraden; seine x-Koordinate ist die gesuchte Minutenzahl. Der Graph zeigt sie sofort, die Rechnung liefert sie exakt.

4

Jans Behauptung über die Wertetabelle

AFB III

Jan hat vier Wertepaare einer Funktion notiert (Material M4) und behauptet im Unterricht: „Vier Spalten reichen völlig. Damit steht die Funktionsgleichung eindeutig fest.“

M4Jans Wertetabelle
x 1 2 3 4 zugehöriger Wert 2 4 8 16

Weitere Angaben zur Funktion — etwa zum Funktionstyp oder zur Definitionsmenge — hat Jan nicht notiert.

  1. Geben Sie die Funktionsgleichung an, die Jan vermutlich im Sinn hat, und prüfen Sie sie an allen vier Spalten.
  2. Zeigen Sie, dass auch \(h(x)=2^{x}+(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) dieselben vier Wertepaare liefert.
  3. Beurteilen Sie Jans Behauptung und formulieren Sie eine tragfähige Fassung.
  4. Erläutern Sie, welche Zusatzinformation aus der Tabelle doch eine eindeutige Gleichung machen würde.
Hinweis zu Aufgabe a)
Von Spalte zu Spalte verdoppelt sich der Wert. Welcher Funktionstyp verhält sich genau so?„Prüfen“ heißt hier: einsetzen und den berechneten Wert mit dem Tabellenwert vergleichen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Naheliegend ist \(g(x)=2^{x}\). Probe: \(g(1)=2\), \(g(2)=4\), \(g(3)=8\), \(g(4)=16\) — alle vier Tabellenwerte werden getroffen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie in das Produkt \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) nacheinander x = 1, 2, 3 und 4 ein und achten Sie darauf, welcher Faktor jeweils null wird.„Zeigen“ verlangt die Rechnung für jede der vier Stellen, nicht nur ein Beispiel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für x = 1 ist der erste Faktor null, für x = 2 der zweite, für x = 3 der dritte und für x = 4 der vierte. Damit verschwindet das gesamte Produkt an genau diesen vier Stellen, und es gilt \(h(1)=2\), \(h(2)=4\), \(h(3)=8\), \(h(4)=16\). Die Funktion h liefert dieselbe Tabelle wie g, ist aber eine völlig andere Funktion — etwa ist \(h(5)=32+24=56\), während \(g(5)=32\) ist.

Hinweis zu Aufgabe c)
Halten Sie fest, worin sich g und h an den vier Tabellenstellen gleichen — und was bei einem fünften x-Wert passiert. Formulieren Sie daraus einen Satz, der sagt, was vier Wertepaare leisten und was ihnen fehlt.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes eigenes Urteil, nicht nur ein Ja oder Nein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Jans Behauptung ist falsch: Endlich viele Wertepaare legen eine Funktion nie eindeutig fest, denn man kann jederzeit einen Term ergänzen, der an genau diesen Stellen null wird. Tragfähige Fassung: „Vier Wertepaare schließen viele Funktionsgleichungen aus, aber sie wählen keine aus. Erst zusammen mit einer Annahme über den Funktionstyp ergibt sich eine bestimmte Gleichung.“

Hinweis zu Aufgabe d)
Überlegen Sie, welche Angabe die Menge der möglichen Funktionen so einschränkt, dass nur noch eine übrig bleibt. Zählen Sie dazu, wie viele Parameter ein Ansatz wie \(f(x)=a\cdot b^{x}\) hat und wie viele Spalten Sie zu ihrer Bestimmung benötigen.„Erläutern“ heißt: den Sachverhalt so ausführen, dass er für andere nachvollziehbar wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nötig ist die Angabe des Funktionstyps, also etwa „f ist eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=a\cdot b^{x}\)“. Dann legen bereits zwei Spalten die beiden Parameter a und b fest, und die vier Spalten dienen als Kontrolle. Allgemein gilt: Erst Funktionstyp und Definitionsmenge zusammen machen aus einer Tabelle eine eindeutige Funktionsgleichung.

5

Der Getränkestand auf dem Schulfest

AFB III

Der elfte Jahrgang betreibt auf dem Schulfest einen Getränkestand. Die Standmiete beträgt 45,00 Euro, jeder ausgeschenkte Becher verursacht zusätzlich 0,60 Euro an Kosten. Verkauft wird jeder Becher zu 1,50 Euro. Mit x wird die Zahl der verkauften Becher bezeichnet.

Es gilt also \(E(x)=1{,}50\cdot x\) für die Einnahmen und \(K(x)=45+0{,}60\cdot x\) für die Kosten, jeweils in Euro und mit \(D=\mathbb{N}_0\).

  1. Entscheiden Sie begründet welche Darstellungsform Sie für die Frage „Ab wie vielen Bechern arbeitet der Stand ohne Verlust?“ wählen.
  2. Berechnen Sie diese Stelle.
  3. Erstellen Sie eine Wertetabelle des Gewinns \(G(x)=E(x)-K(x)\) für x = 0, 25, 50, 75 und 100.
  4. Beurteilen Sie, welche der drei Darstellungen sich für einen Aushang am Stand am besten eignet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Eine exakte Zahl liefert nur die Rechnung mit den Gleichungen. Tabelle und Graph zeigen die Stelle, treffen sie aber nur zufällig genau.„Entscheiden“ verlangt eine klare Wahl und das Argument dafür.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gewählt wird die Funktionsgleichung. Begründung: Gesucht ist eine exakte Zahl. Nur die Gleichung erlaubt es, die Bedingung \(E(x)=K(x)\) aufzustellen und nach x aufzulösen; eine Tabelle enthält die gesuchte Stelle nur, wenn man sie zufällig auflistet, und ein Graph liefert lediglich einen abgelesenen Näherungswert.

Hinweis zu Aufgabe b)
„Ohne Verlust“ heißt: Die Einnahmen decken die Kosten gerade. Übersetzen Sie diese Bedingung in eine Gleichung zwischen \(E(x)\) und \(K(x)\) und lösen Sie nach x auf.„Berechnen“ verlangt den Rechenweg bis zum Ergebnis, nicht nur die Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(1{,}50x=45+0{,}60x \Longleftrightarrow 0{,}90x=45 \Longleftrightarrow x=50\). Ab 50 verkauften Bechern arbeitet der Stand ohne Verlust; ab dem 51. Becher entsteht Gewinn.

Hinweis zu Aufgabe c)
Fassen Sie zuerst zusammen: \(G(x)=1{,}50x-(45+0{,}60x)\). Danach ist die Tabelle in einer Zeile ausgerechnet.„Erstellen“ verlangt eine vollständige, beschriftete Tabelle mit allen fünf geforderten x-Werten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zusammenfassen: \(G(x)=1{,}50x-45-0{,}60x=0{,}90x-45\). Tabelle (Gewinn in Euro): \(G(0)=-45{,}00\); \(G(25)=-22{,}50\); \(G(50)=0{,}00\); \(G(75)=22{,}50\); \(G(100)=45{,}00\).

Hinweis zu Aufgabe d)
Denken Sie an die Leute, die im Vorbeigehen nur einen kurzen Blick auf den Aushang werfen: Was sollen sie sofort erkennen? Prüfen Sie jede der drei Darstellungen an dieser Frage, statt sie allgemein zu bewerten.„Beurteilen“ heißt: Kriterien nennen — hier zum Beispiel Verständlichkeit für Vorbeigehende — und daran messen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für einen Aushang eignet sich der Graph am besten. Begründung: Vorbeigehende sollen auf einen Blick erkennen, dass der Gewinn zunächst negativ ist, bei 50 Bechern die x-Achse schneidet und danach gleichmäßig wächst. Genau diesen Verlauf zeigt der Graph ohne jede Rechnung, während die Gleichung erst gedeutet und die Tabelle Spalte für Spalte gelesen werden muss. Für die genaue Abrechnung am Ende des Festes bleibt die Gleichung dagegen die richtige Wahl.