Das Tomatenbeet im Schulgarten
AFB IDie Garten-AG bewirtschaftet ein rechteckiges Grundstück von 240 Quadratmetern. Drei Viertel der Fläche sind als Beet angelegt, das restliche Viertel dient als Weg und Geräteplatz. Von der Beetfläche werden zwei Fünftel mit Tomaten bepflanzt.
Material M1 stellt das Grundstück als Flächenmodell dar: Die Zeilen zeigen die Aufteilung in Beet und Weg, die Spalten die Aufteilung der Bepflanzung.
Das Grundstück ist in vier Zeilen und fünf Spalten zerlegt; alle Felder sind gleich groß.
- Geben Sie an, aus wie vielen Feldern das Modell insgesamt besteht und wie viele Felder zugleich in einer Beetzeile und in einer Tomatenspalte liegen.
- Berechnen Sie mit der Multiplikationsregel für Brüche, welcher Bruchteil des Grundstücks mit Tomaten bepflanzt ist, und berechnen Sie die zugehörige Fläche in Quadratmetern.
- Bestimmen Sie die Gesamtlänge der sieben Holzbretter, die für die Beeteinfassung bestellt werden und je \(\frac{3}{4}\ \text{m}\) lang sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Modell besteht aus \(4\cdot 5=20\) Feldern. Markiert sind drei der vier Zeilen und zwei der fünf Spalten; doppelt markiert sind daher \(3\cdot 2=6\) Felder, also 6 von 20 Feldern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)
Drei Zehntel des Grundstücks sind mit Tomaten bepflanzt; das entspricht genau den 6 von 20 Feldern aus Teilaufgabe a).
\(\frac{3}{10}\cdot 240\ \text{m}^2=\frac{3}{10}\cdot\frac{240}{1}\ \text{m}^2=\frac{720}{10}\ \text{m}^2=72\ \text{m}^2\)
Die Tomaten stehen auf einer Fläche von 72 Quadratmetern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(7\cdot\frac{3}{4}\ \text{m}=\frac{7}{1}\cdot\frac{3}{4}\ \text{m}=\frac{7\cdot 3}{1\cdot 4}\ \text{m}=\frac{21}{4}\ \text{m}=5{,}25\ \text{m}\)
Die sieben Bretter ergeben zusammen eine Länge von 5,25 m. Der Nenner bleibt dabei stehen, weil die ganze Zahl den Nenner 1 hat.
Zweimal Nachlass im Musikhaus
AFB IIEin Musikhaus senkt den Preis einer E-Gitarre im Räumungsverkauf um ein Fünftel. In der darauf folgenden Aktionswoche wird der bereits gesenkte Preis noch einmal um ein Viertel reduziert. Material M2 fasst den Aushang zusammen.
Ein Kunde möchte wissen, welchen Anteil des ursprünglichen Preises er am Ende zahlt.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Listenpreis der E-Gitarre | 480 € |
| Nachlass 1 (Räumungsverkauf) | \(\frac{1}{5}\) des Listenpreises |
| Nachlass 2 (Aktionswoche) | \(\frac{1}{4}\) des bereits reduzierten Preises |
Der zweite Nachlass bezieht sich nicht auf den Listenpreis, sondern auf den Preis nach dem ersten Nachlass.
- Bestimmen Sie, welcher Bruchteil des Listenpreises nach dem ersten Nachlass zu zahlen ist und welcher Bruchteil nach beiden Nachlässen.
- Berechnen Sie den Endpreis der Gitarre in Euro.
- Zeigen Sie, dass sich der Endpreis nicht ändert, wenn das Musikhaus die beiden Nachlässe in umgekehrter Reihenfolge gewährt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ein Nachlass von \(\frac{1}{5}\) lässt \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) des Listenpreises übrig. Von diesem Betrag bleiben nach dem zweiten Nachlass noch \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{4\cdot 3}{5\cdot 4}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)
Nach dem ersten Nachlass sind vier Fünftel, nach beiden Nachlässen drei Fünftel des Listenpreises zu zahlen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\frac{3}{5}\cdot 480\ \text{€}=\frac{3\cdot 480}{5}\ \text{€}=\frac{1440}{5}\ \text{€}=288\ \text{€}\)
Zur Kontrolle in zwei Schritten: \(\frac{4}{5}\cdot 480\ \text{€}=384\ \text{€}\) und \(\frac{3}{4}\cdot 384\ \text{€}=288\ \text{€}\). Die Gitarre kostet am Ende 288 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
In umgekehrter Reihenfolge lautet der Restanteil \(\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).
Er stimmt mit dem Anteil aus Teilaufgabe a) überein, denn im Zähler steht einmal \(4\cdot 3\) und einmal \(3\cdot 4\), im Nenner einmal \(5\cdot 4\) und einmal \(4\cdot 5\). Bei der Multiplikation dürfen die Faktoren vertauscht werden, Zähler und Nenner sind also jeweils gleich.
Der Endpreis beträgt in beiden Fällen \(\frac{3}{5}\cdot 480\ \text{€}=288\ \text{€}\). Die Reihenfolge der Nachlässe spielt für den Endpreis keine Rolle.
Die Etappen der Radtour
AFB IIEine Radgruppe fährt an einem Tag eine Strecke von 90 Kilometern. Bis zur Mittagsrast legt sie zwei Fünftel der Gesamtstrecke zurück. Nach der Rast fährt sie ein Drittel des noch verbleibenden Weges bis zum Nachmittagsstopp am See.
Material M3 zeigt die Einteilung der Tour als Streckenband. Für den letzten Teil plant die Gruppe, die Reststrecke in vier gleich lange Abschnitte mit kurzen Pausen einzuteilen.
Das Band ist maßstäblich gezeichnet; die Angabe „ein Drittel“ bezieht sich auf den Weg nach der Mittagsrast.
- Bestimmen Sie, welcher Bruchteil der Gesamtstrecke auf die zweite Etappe zwischen Mittagsrast und Nachmittagsstopp entfällt.
- Berechnen Sie, wie viele Kilometer die Gruppe nach dem Nachmittagsstopp noch vor sich hat.
- Bestimmen Sie, welcher Bruchteil der Gesamtstrecke einer der vier gleich langen Abschnitte der Reststrecke ist und wie viele Kilometer er misst.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach der Mittagsrast verbleiben \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) der Gesamtstrecke. Davon fährt die Gruppe ein Drittel:
\(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)
Auf die zweite Etappe entfällt ein Fünftel der Gesamtstrecke. Im Streckenband entspricht das genau der Hälfte des Vormittagsabschnitts, der zwei Fünftel lang ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bis zum Nachmittagsstopp sind \(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\) der Strecke gefahren, es fehlen also \(1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\).
\(\frac{2}{5}\cdot 90\ \text{km}=\frac{2\cdot 90}{5}\ \text{km}=\frac{180}{5}\ \text{km}=36\ \text{km}\)
Nach dem Nachmittagsstopp liegen noch 36 km vor der Gruppe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1\cdot 2}{4\cdot 5}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\)
\(\frac{1}{10}\cdot 90\ \text{km}=\frac{90}{10}\ \text{km}=9\ \text{km}\)
Jeder der vier Abschnitte ist ein Zehntel der Gesamtstrecke lang, also 9 km. Die Probe bestätigt das Ergebnis: \(4\cdot 9\ \text{km}=36\ \text{km}\) ist die Reststrecke aus Teilaufgabe b).
Der Rührkuchen für den Elternabend
AFB IIIDie Schulküche backt einen Rührkuchen nach dem Rezept in Material M4, das für zwölf Personen ausgelegt ist. Für den Elternabend werden nur drei Viertel dieser Menge gebraucht; jede Zutat wird deshalb mit \(\frac{3}{4}\) multipliziert.
Ein Schüler wendet ein: „Multiplizieren vergrößert. Wenn wir alle Zutaten multiplizieren, kann am Ende unmöglich weniger Mehl herauskommen, als im Rezept steht.“ Die Küchenleitung schlägt außerdem vor, zuerst alle Mengen zu halbieren und das Ergebnis anschließend mit \(\frac{3}{2}\) zu multiplizieren.
| Zutat | Menge für 12 Personen |
|---|---|
| Mehl | 320 g |
| Zucker | 200 g |
| Butter | 240 g |
| Milch | \(\frac{2}{5}\ \text{l}\) |
| Backpulver | \(\frac{2}{3}\) Päckchen |
Die Mengen gelten für zwölf Personen; gesucht sind die Mengen für drei Viertel des Rezepts.
- Berechnen Sie die benötigten Mengen an Mehl, Milch und Backpulver für drei Viertel des Rezepts.
- Widerlegen Sie die Aussage des Schülers.
- Formulieren Sie eine Bedingung dafür, wann das Produkt \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\) zweier positiver Brüche kleiner ist als der Faktor \(\frac{a}{b}\), und begründen Sie diese Bedingung.
- Beurteilen Sie den Vorschlag der Küchenleitung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mehl: \(\frac{3}{4}\cdot 320\ \text{g}=\frac{3\cdot 320}{4}\ \text{g}=\frac{960}{4}\ \text{g}=240\ \text{g}\)
Milch: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}\ \text{l}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 5}\ \text{l}=\frac{6}{20}\ \text{l}=\frac{3}{10}\ \text{l}=0{,}3\ \text{l}\)
Backpulver: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) Päckchen
Für den Elternabend werden 240 g Mehl, 0,3 l Milch und ein halbes Päckchen Backpulver gebraucht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel liefert bereits Teilaufgabe a): \(\frac{3}{4}\cdot 320\ \text{g}=240\ \text{g}\), und 240 g sind weniger als die 320 g des Rezepts.
Der Schüler überträgt eine Erfahrung aus dem Rechnen mit natürlichen Zahlen auf Brüche. Die Multiplikation mit \(\frac{3}{4}\) bedeutet aber gerade, drei Viertel der Menge zu nehmen — der Faktor ist kleiner als 1, das Ergebnis daher kleiner als die Ausgangsmenge. Nur ein Faktor größer als 1 vergrößert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bedingung: Für positive Brüche gilt \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}<\frac{a}{b}\) genau dann, wenn \(\frac{c}{d}<1\) ist, wenn also \(c<d\) gilt.
Begründung: Es ist \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\). Erweitert man den Faktor \(\frac{a}{b}\) mit \(d\), so erhält man \(\frac{a\cdot d}{b\cdot d}\). Beide Brüche haben nun denselben positiven Nenner \(b\cdot d\), also entscheiden allein die Zähler: \(a\cdot c<a\cdot d\) gilt für positives \(a\) genau dann, wenn \(c<d\) ist.
Bei \(c=d\) ändert sich der Wert nicht, bei \(c>d\) wird das Produkt größer.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnerisch führt der Vorschlag zum selben Ergebnis. Für das Mehl: \(\frac{1}{2}\cdot 320\ \text{g}=160\ \text{g}\) und anschließend \(\frac{3}{2}\cdot 160\ \text{g}=\frac{480}{2}\ \text{g}=240\ \text{g}\) — genau der Wert aus Teilaufgabe a).
Allgemein wirkt insgesamt der Faktor \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}\); der Umweg liefert also für jede Zutat dieselbe Menge.
Als Verfahren ist der Vorschlag dennoch schlechter: Er braucht zwei Rechenschritte statt einem, und beim Zwischenschritt entstehen Werte, die in der Küche gerundet werden müssten (etwa \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) Päckchen Backpulver). Die direkte Multiplikation mit \(\frac{3}{4}\) ist kürzer und weniger fehleranfällig.
Der Regenspeicher der Gärtnerei
AFB IIIEine Gärtnerei beginnt die Trockenzeit mit einem gefüllten Regenspeicher von 1000 Litern. In jeder Woche entnimmt sie für die Bewässerung ein Fünftel des Wassers, das zu Beginn dieser Woche im Speicher steht. Regen fällt in dieser Zeit nicht.
Material M5 zeigt die Wasserstände der ersten beiden Wochen aus dem Betriebsbuch. Ein Auszubildender schließt daraus: „Wenn jede Woche ein Fünftel entnommen wird, dann ist der Speicher nach fünf Wochen leer.“
Notiert sind nur die Wochen 0 bis 2; die späteren Werte sind rechnerisch zu ermitteln.
- Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Werte für Woche 1 und Woche 2 zu der Entnahmeregel passen.
- Berechnen Sie, welcher Bruchteil der Anfangsmenge nach drei Wochen noch im Speicher steht, und berechnen Sie die zugehörige Wassermenge in Litern.
- Nehmen Sie zu der Aussage des Auszubildenden Stellung.
- Begründen Sie, dass der Speicher bei dieser Entnahmeregel niemals vollständig leer wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wird ein Fünftel entnommen, so bleiben \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) des Wochenanfangswertes im Speicher.
Woche 1: \(\frac{4}{5}\cdot 1000\ \text{l}=\frac{4000}{5}\ \text{l}=800\ \text{l}\)
Woche 2: \(\frac{4}{5}\cdot 800\ \text{l}=\frac{3200}{5}\ \text{l}=640\ \text{l}\)
Beide Werte aus dem Betriebsbuch stimmen mit der Entnahmeregel überein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 5\cdot 5}=\frac{64}{125}\)
\(\frac{64}{125}\cdot 1000\ \text{l}=\frac{64\cdot 1000}{125}\ \text{l}=\frac{64000}{125}\ \text{l}=512\ \text{l}\)
Nach drei Wochen stehen noch \(\frac{64}{125}\) der Anfangsmenge im Speicher, also 512 Liter — etwas mehr als die Hälfte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Der Auszubildende addiert fünfmal ein Fünftel und kommt so auf das Ganze. Das Fünftel bezieht sich aber jede Woche auf den aktuellen Stand, nicht auf die Anfangsmenge von 1000 Litern; in Woche 2 wurden bereits nur noch \(\frac{1}{5}\cdot 800\ \text{l}=160\ \text{l}\) entnommen, nicht 200 l.
Der verbleibende Anteil nach fünf Wochen beträgt \(\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{1024}{3125}\).
\(\frac{1024}{3125}\cdot 1000\ \text{l}=\frac{1024000}{3125}\ \text{l}=327{,}68\ \text{l}\)
Nach fünf Wochen sind also noch rund 328 Liter vorhanden, knapp ein Drittel der Anfangsmenge. Richtig an der Beobachtung ist nur, dass der Vorrat deutlich schrumpft; die Aussage „nach fünf Wochen leer“ ist zurückzuweisen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nach \(n\) Wochen ist die Anfangsmenge mit dem Faktor \(\frac{4}{5}\) insgesamt \(n\)-mal multipliziert worden. Im Zähler steht dabei stets ein Produkt aus lauter Vieren, im Nenner ein Produkt aus lauter Fünfen — nach zwei Wochen \(\frac{16}{25}\), nach drei Wochen \(\frac{64}{125}\), nach vier Wochen \(\frac{256}{625}\).
Ein Produkt aus lauter Vieren ist niemals 0, also ist auch der Zähler des Restanteils nie 0 und der Restanteil stets größer als null. Damit bleibt rechnerisch immer eine Restmenge im Speicher, die zwar beliebig klein wird, aber nie verschwindet. In der Praxis endet der Vorgang natürlich früher, weil sich sehr kleine Wassermengen nicht mehr sinnvoll entnehmen lassen.