Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Ein Bruch \(\dfrac{a}{b}\) besteht aus dem Zähler \(a\) über dem Bruchstrich und dem Nenner \(b\) darunter; der Nenner darf dabei nie \(0\) sein. Beim Multiplizieren bleiben diese beiden Stockwerke sauber getrennt: Oben wird mit oben gerechnet, unten mit unten. Damit ist die Multiplikation die einfachste der vier Bruchrechenarten — es muss nichts vorbereitet und nichts gleichnamig gemacht werden.
Multiplikation zweier Brüche
Multiplikation: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\)
Warum das stimmt, zeigt ein Rechteck. Seine Breite wird in \(d\) gleich breite Spalten zerlegt, davon werden \(c\) markiert; das ist der Bruch \(\dfrac{c}{d}\) der Breite. Seine Höhe wird in \(b\) Zeilen zerlegt, davon werden \(a\) markiert; das ist der Bruch \(\dfrac{a}{b}\) der Höhe. Insgesamt entstehen \(b\cdot d\) gleich große Felder, und doppelt markiert sind genau \(a\cdot c\) davon. Für \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{5}\) sind das 6 von 15 Feldern.
Drei von fünf Spalten und zwei von drei Zeilen erzeugen zusammen sechs orange Felder. Die Anzahl aller Felder ist das Produkt der Nenner, die Anzahl der orangen Felder das Produkt der Zähler.
- Zähler:Die Zahl über dem Bruchstrich. Beim Multiplizieren werden die beiden Zähler miteinander multipliziert.
- Nenner:Die Zahl unter dem Bruchstrich. Sie bleibt nicht stehen, sondern wird mit dem zweiten Nenner multipliziert.
- kein gemeinsamer Nenner nötig:Anders als beim Addieren müssen die Brüche vorher nicht gleichnamig gemacht werden.
Bevor es weitergeht: Stelle die vier Zahlen selbst ein und beobachte, wie sich das Rechteck aufteilt. Die orangen Felder sind der Zähler des Ergebnisses, alle Felder zusammen sind sein Nenner.
Flächenmodell der Bruchmultiplikation
Klicke in ein Feld, um beide Zähler auf einmal zu setzen, oder wähle ein Feld mit der Tabulatortaste aus: Pfeil oben und unten ändern den ersten Zähler, Pfeil links und rechts den zweiten. Die vier Regler steuern dieselben Zahlen.
Achte darauf, dass die Felder immer feiner werden, sobald ein Nenner wächst: Das Produkt zweier Brüche, die kleiner als \(1\) sind, ist stets kleiner als jeder der beiden Faktoren.
Sonderfall: ganze Zahl mal Bruch
Häufig steht vor einem Bruch keine zweite Bruchzahl, sondern eine ganze Zahl \(n\). Auch dafür braucht es keine neue Regel: Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner \(1\) schreiben, also \(n=\dfrac{n}{1}\). Damit greift die Regel aus Phase 1 unverändert.
Die ganze Zahl bekommt den Nenner \(1\), dann wird ganz normal Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet. Weil \(b\cdot 1=b\) ist, wird nur der Zähler mit \(n\) multipliziert.
Ganze Zahl mal Bruch
Zahl mal Bruch: \(n\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{n\cdot a}{b}\)
Die Regel anwenden
In der Rechnung selbst passiert wenig: Man schreibt beide Produkte an, einmal über und einmal unter dem Bruchstrich, und rechnet sie aus. Das Ergebnis ist damit bereits richtig. Häufig lässt es sich anschließend noch vereinfachen — dieses Kürzen ist Thema des folgenden Abschnitts und ändert am Wert nichts mehr.
- Zahlenbeispiel:\(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)
- Mit Kürzen:\(\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{7}{8}=\dfrac{28}{56}=\dfrac{1}{2}\)
Reihenfolge: Erst multiplizieren, dann kürzen — oder vorher kürzen, das Ergebnis ist gleich.
Allgemeine Hinweise
Vorher kürzen
Steht ein Faktor oben und unten, kürzt du ihn schon vor dem Multiplizieren. So bleiben die Zahlen klein.
Ganze Zahl mal Bruch
Die ganze Zahl wird nur mit dem Zähler multipliziert. Der Nenner bleibt unverändert.
Kein Hauptnenner nötig
Beim Multiplizieren brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Du rechnest direkt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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