Additionsverfahren: Übungen – Mathe Klasse 11

1Sofort addieren oder erst erweitern?AFB I

Sechs Gleichungssysteme. Ordnen Sie jedes danach ein, ob sich die beiden Gleichungen ohne Vorbereitung addieren lassen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1sofort addierbar

2erst erweitern

Sofort addierbar ist ein System genau dann, wenn die Koeffizienten einer Variablen bereits Gegenzahlen sind: \(+3\) und \(-3\), \(-1\) und \(+1\), \(+1\) und \(-1\). Bei \(6x+y=10\) und \(2x+3y=14\) sind weder \(6\) und \(2\) noch \(1\) und \(3\) Gegenzahlen — hier fehlt der Faktor \(-3\) für Gleichung II.

2Ohne jede VorbereitungAFB I

\(\text{I: } 5x+2y=16\), \(\text{II: } 3x-2y=8\). Vor \(y\) stehen bereits Gegenzahlen. Berechnen Sie den \(x\)-Wert der Lösung.

Beide Gleichungen direkt addieren und nach \(x\) auflösen — Enter prüft.

\((5x+3x)+(2y-2y)=16+8\) ergibt \(8x=24\), also \(x=3\). Zurückgesetzt in I: \(15+2y=16\), also \(y=0{,}5\). Die Lösung ist \(L=\{(3\,|\,0{,}5)\}\).

3Welcher Faktor gehört zu welchem System?AFB I

Fünf Gleichungssysteme, fünf Umformungen. Verbinden Sie jedes System mit der Multiplikation, nach der sich eine Variable wegaddieren lässt.

Wähle links ein System aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Faktor an.

Gesucht ist stets die Variable, deren Koeffizienten sich am leichtesten zu Gegenzahlen machen lassen. Bei \(2x-7y=3\) und \(6x+7y=11\) sind \(-7\) und \(+7\) schon Gegenzahlen, dort genügt das Addieren.

4Rechenkette: fünf SchritteAFB I

\(\text{I: } 4x+3y=18\), \(\text{II: } 2x-5y=-4\). Rechnen Sie das Additionsverfahren Schritt für Schritt durch.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Mit welcher Zahl muss Gleichung II multipliziert werden, damit \(x\) wegfällt?
Welche Zahl steht danach rechts vom Gleichheitszeichen in \(-2\cdot\text{II}\)?
Nach dem Addieren: Welcher Koeffizient steht vor \(y\)?
Damit ist \(y=\)
Zurücksetzen in \(\text{I: } 4x+3y=18\): \(x=\)

\(-2\cdot\text{II}:\ -4x+10y=8\). Addiert zu I: \(13y=26\), also \(y=2\). Zurück in I: \(4x+6=18\), also \(x=3\). Probe in II: \(6-10=-4\) ✓. \(L=\{(3\,|\,2)\}\).

5Die Schritte in die richtige ReihenfolgeAFB I

\(\text{I: } 3x+4y=11\), \(\text{II: } 5x-2y=1\). Ordnen Sie die sechs Schritte des Lösungswegs.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1x = 1 in I einsetzen: 3 + 4y = 11

2Gleichung II mit 2 multiplizieren: 10x − 4y = 2

3Probe in II: 5 − 4 = 1 ✓, also L = {(1 | 2)}

4Beide Gleichungen addieren: 13x = 13

5Nach y auflösen: 4y = 8, also y = 2

6Nach x auflösen: x = 1

Die Reihenfolge ist bei jedem System dieselbe: Faktor wählen und multiplizieren, addieren, die verbliebene Gleichung lösen, zurücksetzen, die zweite Variable bestimmen, Probe. \(L=\{(1\,|\,2)\}\).

6Fehlersuche: die vergessene rechte SeiteAFB II

\(\text{I: } 3x+2y=16\), \(\text{II: } 5x-4y=1\). Der Lösungsweg enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 rechnet bereits wieder mit der korrekten rechten Seite weiter, ist also richtig. Genau diese beiden Fehler — vergessene rechte Seite und Vorzeichen beim Zurücksetzen — sind die häufigsten beim Additionsverfahren.

7Was stimmt über das Verfahren?AFB II

Sieben Aussagen über das Additionsverfahren. Markieren Sie alle richtigen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Der Faktor darf jede Zahl außer \(0\) sein — im Beispiel der Mitschrift führt auch \(\lambda=1{,}4\) zum Ziel. Ganze Faktoren über das kgV sind nur bequemer. Ein einzelner Wert wie \(y=1\) ist noch keine Lösung des Systems, es fehlt der Partner.

8Stimmt das so?AFB II

Sechs Aussagen zu Faktoren und zum Addieren. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage stimmt.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Zwei Regeln tragen weit: Multipliziert wird immer die ganze Gleichung, und gesucht sind Gegenzahlen — gleiche Koeffizienten heben sich beim Addieren gerade nicht auf.

9Beide Gleichungen erweiternAFB II

\(\text{I: } 4x+3y=17\), \(\text{II: } 6x-5y=-3\). Kein Koeffizient ist ein Vielfaches des anderen. Lösen Sie das System mit dem Additionsverfahren.

Das kgV der \(x\)-Koeffizienten \(4\) und \(6\) ist \(12\). Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

\(3\cdot\text{I}:\ 12x+9y=51\) und \((-2)\cdot\text{II}:\ -12x+10y=6\). Addiert: \(19y=57\), also \(y=3\). Zurück in I: \(4x+9=17\), also \(x=2\). Probe in II: \(12-15=-3\) ✓. \(L=\{(2\,|\,3)\}\).

10Krumme Zahlen, exakt gerechnetAFB II

\(\text{I: } 7x+4y=18\), \(\text{II: } 5x-3y=-16\). Berechnen Sie beide Werte und geben Sie sie auf drei Nachkommastellen gerundet an.

Erst exakt mit Brüchen rechnen, erst am Schluss runden. Enter prüft.

x ≈y ≈

\(\operatorname{kgV}(4;3)=12\): \(3\cdot\text{I}:\ 21x+12y=54\) und \(4\cdot\text{II}:\ 20x-12y=-64\). Addiert: \(41x=-10\), also \(x=-\frac{10}{41}\approx-0{,}244\). Zurück in I: \(4y=18+\frac{70}{41}=\frac{808}{41}\), also \(y=\frac{202}{41}\approx 4{,}927\).

11Rechenkette mit großem kgVAFB II

\(\text{I: } 8x-7y=-6\), \(\text{II: } 3x+11y=47\). Rechnen Sie die Kette über die \(y\)-Terme durch.

Vor \(y\) stehen \(-7\) und \(11\) — beide Gleichungen brauchen einen Faktor. Enter prüft.

Wie groß ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(7\) und \(11\)?
Mit welcher Zahl wird Gleichung I multipliziert?
Nach dem Addieren: Welcher Koeffizient steht vor \(x\)?
Und welche Zahl steht rechts vom Gleichheitszeichen?
Damit ist \(x\approx\) (drei Nachkommastellen)

\(11\cdot\text{I}:\ 88x-77y=-66\) und \(7\cdot\text{II}:\ 21x+77y=329\). Addiert: \(109x=263\), also \(x=\frac{263}{109}\approx 2{,}413\). Zurück in II: \(11y=47-\frac{789}{109}=\frac{4334}{109}\), also \(y=\frac{394}{109}\approx 3{,}615\).

12Nur eine Gleichung muss erweitert werdenAFB II

\(\text{I: } 9x-2y=25\), \(\text{II: } 7x+8y=101\). Berechnen Sie den \(x\)-Wert auf drei Nachkommastellen gerundet.

Vor \(y\) stehen \(-2\) und \(8\) — ein Faktor genügt. Enter prüft.

\(4\cdot\text{I}:\ 36x-8y=100\). Addiert zu II: \(43x=201\), also \(x=\frac{201}{43}\approx 4{,}674\). Zurück: \(2y=9x-25=\frac{734}{43}\), also \(y=\frac{367}{43}\approx 8{,}535\). Wer \(x\) vorher auf \(4{,}67\) rundet, erhält \(y\approx 8{,}515\) — schon in der zweiten Nachkommastelle falsch.

13Die multiplizierte Gleichung angebenAFB II

Die Gleichung \(3x-7y=5\) wird mit \(-4\) multipliziert. Geben Sie die linke Seite der neuen Gleichung als zusammengefassten Term an.

Schreibweise: -12x + 28y, Malzeichen * oder weglassen, Dezimalpunkt statt Komma. Enter prüft.

\(-4\cdot 3x=-12x\) und \(-4\cdot(-7y)=+28y\). Die vollständige Gleichung lautet \(-12x+28y=-20\) — die rechte Seite \(5\) wird ebenfalls mit \(-4\) multipliziert.

14Welches Verfahren ist hier das günstigste?AFB II

Vier Systeme. Entscheiden Sie, welches Verfahren jeweils ohne Umwege zum Ziel führt — Addieren ist nicht immer die beste Wahl.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

System	Addieren	Einsetzen	Gleichsetzen
I: 5x + 3y = 1 · II: 4x − 3y = 13
I: y = 3x − 4 · II: 2x + 5y = 14
I: y = −2x + 9 · II: y = 4x − 3
I: 7x + 4y = 18 · II: 5x − 3y = −16

Zeile 1: \(+3\) und \(-3\) sind schon Gegenzahlen — ein einziges Addieren. Zeile 2: Gleichung I ist bereits nach \(y\) aufgelöst, der Term wandert direkt in II. Zeile 3: Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst, also gleichsetzen. Zeile 4: Vor keiner Variablen steht \(1\) — Einsetzen erzeugt hier Brüche, Addieren nicht.

15Erst die Klammern, dann addierenAFB II

\(\text{I: } (x+1)^2-x^2+2y=27\), \(\text{II: } 3x-(2y-4)=13\). Trotz des Quadrats ist das System linear. Lösen Sie es mit dem Additionsverfahren.

Erst ausmultiplizieren und zusammenfassen, dann den Faktor suchen. Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

\(\text{I}:\ x^2+2x+1-x^2+2y=27\), also \(2x+2y=26\) und damit \(x+y=13\). \(\text{II}:\ 3x-2y+4=13\), also \(3x-2y=9\). Die erste Gleichung mit \(2\) multiplizieren: \(2x+2y=26\); addiert zu \(3x-2y=9\) folgt \(5x=35\), also \(x=7\) und damit \(y=6\). Probe in II: \(21-12=9\) ✓.

16Wenn sich das Quadrat weghebtAFB III

\(\text{I: } (x+2)^2-x^2+y=20\), \(\text{II: } 2x-(y-1)=5\). Rechnen Sie die Kette durch — nach dem Ausmultiplizieren ist kein Faktor mehr nötig.

Binomische Formel anwenden, zusammenfassen, addieren. Enter prüft.

Gleichung I ausmultipliziert und zusammengefasst: Welcher Koeffizient steht vor \(x\)?
Gleichung II ohne Klammer in der Form \(2x-y=\;\square\): Welche Zahl steht rechts?
Die beiden Gleichungen \(4x+y=16\) und \(2x-y=4\) addieren: Welcher Koeffizient steht vor \(x\)?
Und damit ist \(x\approx\) (drei Nachkommastellen)

\(\text{I}:\ x^2+4x+4-x^2+y=20\), also \(4x+y=16\). \(\text{II}:\ 2x-y+1=5\), also \(2x-y=4\). Vor \(y\) stehen \(+1\) und \(-1\) — sofort addieren: \(6x=20\), also \(x=\frac{10}{3}=3{,}\overline{3}\approx 3{,}333\) und \(y=\frac{8}{3}\approx 2{,}667\).

17Ein Parameter ohne LösungAFB III

\(\text{I: } 2x+3y=7\), \(\text{II: } 4x+ay=9\). Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den das System keine Lösung besitzt.

Multiplizieren Sie I mit \(-2\) und schauen Sie, was beim Addieren übrig bleibt. Enter prüft.

\(-2\cdot\text{I}:\ -4x-6y=-14\). Addiert zu II: \((a-6)y=-5\). Für \(a=6\) steht dort \(0=-5\) — ein Widerspruch, also \(L=\{\;\}\). Für jedes andere \(a\) ist \(y=\frac{-5}{a-6}\) eindeutig bestimmt und das System hat genau eine Lösung.

18Entscheidungsbaum: lohnt sich Addieren?AFB III

Gegeben ist \(\text{I: } 3x-2y=11\), \(\text{II: } 4x+5y=7\). Beantworten Sie die Fragen des Baums für dieses System und begründen Sie damit die Wahl des Verfahrens.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Keine Gleichung ist aufgelöst, vor keiner Variablen steht \(1\), Gegenzahlen gibt es nicht, und weder ist \(4\) ein Vielfaches von \(3\) noch \(5\) eines von \(2\). Der Baum endet folgerichtig beim Additionsverfahren mit zwei Faktoren: \(5\cdot\text{I}\) und \(2\cdot\text{II}\) liefern \(23x=69\), also \(L=\{(3\,|\,-1)\}\).

19Den Lösungsweg begründet durchspielenAFB II

\(\text{I: } 6x+y=10\), \(\text{II: } 2x+3y=14\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung — und begründen Sie unterwegs, warum hier auch das Einsetzen in Frage käme.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Steht wie hier vor einer Variablen eine \(1\), sind Einsetzen und Addieren gleich kurz: Aus I folgt \(y=10-6x\), eingesetzt in II ergibt \(2x+30-18x=14\), also ebenfalls \(-16x=-16\). Die Wahl ist dann Geschmackssache — \(L=\{(1\,|\,4)\}\).

20Der Trick mit Summe und DifferenzAFB III

\(\text{I: } 5x+3y=41\), \(\text{II: } 3x+5y=39\). Die Koeffizienten sind über Kreuz vertauscht. Lösen Sie das System, indem Sie die Gleichungen einmal addieren und einmal subtrahieren.

\(\text{I}+\text{II}\) liefert \(x+y\), \(\text{I}-\text{II}\) liefert \(x-y\). Beide Werte eintragen, Enter prüft.

x =y =

\(\text{I}+\text{II}:\ 8x+8y=80\), also \(x+y=10\). \(\text{I}-\text{II}:\ 2x-2y=2\), also \(x-y=1\). Aus diesem einfachen System folgt sofort \(x=5{,}5\) und \(y=4{,}5\). Der übliche Weg über \(\operatorname{kgV}(5;3)=15\) führt zum selben Ergebnis, kostet aber deutlich größere Zahlen.

Interaktive Übung

Übungsaufgaben