Die Idee: eine Variable wegaddieren
Beim Additionsverfahren addierst du die beiden Gleichungen so, dass sich die Terme einer Variablen aufheben. Dazu müssen ihre Koeffizienten Gegenzahlen sein.
- Gegenzahlen:gleicher Betrag, verschiedenes Vorzeichen, z. B. \(6\) und \(-6\).
- Multiplizieren:eine Gleichung darf mit jeder Zahl \(\lambda\neq0\) multipliziert werden.
- Ganze Gleichung:jeder Summand links und die Zahl rechts werden multipliziert.
- Addieren:linke Seiten und rechte Seiten jeweils addieren.
- Ergebnis:eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Der Faktor \(5\) trifft jeden einzelnen Summanden. Auch die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen wird multipliziert — sonst entsteht eine Gleichung mit einer anderen Lösungsmenge.
Additionsverfahren: Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen machen, dann \(\text{I}+\text{II}\) rechnen
Schritt für Schritt durchgerechnet
Im ersten Beispiel ist \(6\) das Doppelte von \(3\). Ein Faktor für Gleichung II genügt.
Gleichung II wird mit \(-2\) multipliziert, damit vor \(x\) genau die Gegenzahl von \(6\) steht. Bei der Addition ergeben \(6x\) und \(-6x\) zusammen null, sodass nur noch \(y\) übrig bleibt.
- System:\(\text{I: } 6x+7y=29\), \(\text{II: } 3x-5y=6\).
- Faktor:\(\text{II}\cdot(-2)\) ergibt \(-6x+10y=-12\).
- Addieren:\(17y=17\), also \(y=1\).
- Zurücksetzen:\(6x+7=29\), also \(x=\frac{11}{3}\approx3{,}67\).
- Lösung:\(L=\{(\frac{11}{3}\,|\,1)\}\).
- Sofort addieren:bei \(5x+2y=16\) und \(3x-2y=8\) sind \(+2y\) und \(-2y\) schon Gegenzahlen: \(8x=24\).
Passt kein Koeffizient in den anderen, erweiterst du beide Gleichungen auf das kleinste gemeinsame Vielfache.
- Beispiel 2:\(\text{I: } 3x-2y=11\), \(\text{II: } 4x+5y=7\).
- kgV:vor \(y\) stehen \(-2\) und \(5\), also \(\operatorname{kgV}(2;5)=10\).
- Faktoren:\(\text{I}\cdot5\): \(15x-10y=55\); \(\text{II}\cdot2\): \(8x+10y=14\).
- Addieren:\(23x=69\), also \(x=3\).
- Zurücksetzen:\(9-2y=11\), also \(y=-1\) und \(L=\{(3\,|\,-1)\}\).
- Runden:mit Brüchen weiterrechnen, erst das Endergebnis runden.
Richtiger Faktor: danach sind die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen, z. B. \(-10y\) und \(+10y\)
Der Faktor-Finder
Nur ein passender Faktor lässt eine Variable verschwinden. Im ersten Modus wird nur II erweitert, im zweiten bekommt jede Gleichung einen eigenen Faktor.
Probiere aus, welcher Faktor tatsächlich eine Variable verschwinden lässt.
Faktor-Finder für das Additionsverfahren
Die Regler verändern die Faktoren, mit denen die Gleichungen multipliziert werden. Darunter ist zu sehen, wie sich die Koeffizienten in der Summe \(\mu\cdot\text{I} + \lambda\cdot\text{II}\) verändern. Wird ein Balken zu null, fällt diese Variable weg. Die Regler lassen sich mit den Pfeiltasten bedienen; die Grafik selbst ist mit Tab erreichbar: ←/→ ändern \(\lambda\), ↑/↓ ändern \(\mu\), M wechselt den Modus, Pos1 setzt zurück.
Im ersten Modus bringt der Faktor \(-2\) aus der Mitschrift den \(x\)-Balken auf null. Der Faktor \(1{,}4\) lässt stattdessen \(y\) verschwinden und führt über \(10{,}2x = 37{,}4\) auf denselben \(x\)-Wert \(3{,}\overline{6}\). Im zweiten Modus steht das System aus Beispiel 2: Dort gelingt es nur mit zwei Faktoren, und die kleinsten davon liefert das kgV — \(\mu=5\) und \(\lambda=2\) für die \(y\)-Terme, \(\mu=4\) und \(\lambda=-3\) für die \(x\)-Terme.
Wann Addieren?
Ein Blick auf die Bauart des Systems entscheidet, ob Addieren der kürzeste Weg ist.
- Ideal:Gegenzahlen sind schon vorhanden, z. B. \(+2y\) und \(-2y\).
- Gut:ein Koeffizient ist ein Vielfaches des anderen, z. B. \(6x\) und \(3x\).
- Auch gut:vor allen Variablen stehen Zahlen ungleich \(1\) – zwei Faktoren über das kgV.
- Eher Einsetzen:vor einer Variablen steht \(1\) oder \(-1\).
- Eher Gleichsetzen:beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst.
Faustregel: sortiert als \(ax+by=c\) und kein Koeffizient \(1\) \(\Rightarrow\) Additionsverfahren
Allgemeine Hinweise
Rechte Seite mitnehmen
Aus \(3x+2y=16\) wird bei \(\cdot\,2\) die Gleichung \(6x+4y=32\). Multipliziere immer die ganze Gleichung.
Nicht blind addieren
\(6x+7y=29\) plus \(3x-5y=6\) ergibt \(9x+2y=35\). Ohne passenden Faktor bleiben beide Variablen stehen.
Addieren statt subtrahieren
Multipliziere lieber mit einer negativen Zahl und addiere dann. Beim Subtrahieren kippen leicht Vorzeichen falsch.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.