TextaufgabenAdditionsverfahren

Vor \(y\) stehen die Koeffizienten \(10\) und \(5\). Multipliziert man Gleichung II mit \(-2\), so wird aus \(+5y\) der Term \(-10y\) — die Gegenzahl zu \(+10y\).

Die gesuchte Umformung lautet also \(\text{II}\cdot(-2)\).

\(-2\cdot\text{II}:\ -12x-10y=-12{,}60\)

Addition mit Gleichung I:

\((4x-12x)+(10y-10y)=6{,}20-12{,}60\)

\(-8x=-6{,}40 \quad\big|\ :(-8)\)

\(x=0{,}80\)

Zurücksetzen in I: \(4\cdot 0{,}80+10y=6{,}20\), also \(10y=3{,}00\) und \(y=0{,}30\).

\(L=\{(0{,}80\,|\,0{,}30)\}\). Ein Farbdruck kostet 0,80 €, ein Schwarz-Weiß-Druck 0,30 €.

Probe in I: \(4\cdot 0{,}80+10\cdot 0{,}30=3{,}20+3{,}00=6{,}20\) — richtig.

Probe in II: \(6\cdot 0{,}80+5\cdot 0{,}30=4{,}80+1{,}50=6{,}30\) — richtig. Beide Quittungsbeträge werden getroffen.

Bestellung aus 15 Farbdrucken und 60 Schwarz-Weiß-Drucken: \(15\cdot 0{,}80\ \text{€}+60\cdot 0{,}30\ \text{€}=12{,}00\ \text{€}+18{,}00\ \text{€}=30{,}00\ \text{€}\).

Die Bestellung kostet 30,00 €.

\(\text{I: } 32x+54y=772\)

\(\text{II: } 26x+70y=784\)

Dabei ist \(x\) der Eintritt für Erwachsene und \(y\) der Eintritt für Kinder, jeweils in Euro.

Alle Koeffizienten und beide rechten Seiten sind gerade. Division jeder Gleichung durch \(2\) — ebenfalls eine Äquivalenzumformung — liefert das handlichere System:

\(\text{I}':\ 16x+27y=386 \qquad \text{II}':\ 13x+35y=392\)

Vor \(x\) stehen \(16\) und \(13\); wegen \(\operatorname{kgV}(16;13)=208\) wird I' mit \(13\) und II' mit \(-16\) multipliziert:

\(13\cdot\text{I}':\ 208x+351y=5018\)

\(-16\cdot\text{II}':\ -208x-560y=-6272\)

Addition: \(-209y=-1254 \quad\big|\ :(-209)\)

\(y=6\)

Zurücksetzen in I': \(16x+27\cdot 6=386\), also \(16x=224\) und \(x=14\).

\(L=\{(14\,|\,6)\}\). Eine Erwachsenenkarte kostet 14,00 €, eine Kinderkarte 6,00 €.

Probe: \(32\cdot 14+54\cdot 6=448+324=772\) ✓ und \(26\cdot 14+70\cdot 6=364+420=784\) ✓.

Mit \(k\) für die Anzahl der Kinder gilt \(40\cdot 14+6k=800\).

\(560+6k=800 \quad\big|\ -560\)

\(6k=240 \quad\big|\ :6\)

\(k=40\)

Es müssten 40 Kinder kommen.

Der Betrag setzt sich aus Grundpreis und Verbrauchskosten zusammen:

\(\text{I: } x+2400y=984\)

\(\text{II: } x+3500y=1380\)

Dabei ist \(x\) der Grundpreis in Euro pro Jahr und \(y\) der Arbeitspreis in Euro je Kilowattstunde.

\(-1\cdot\text{I}:\ -x-2400y=-984\)

Addition mit Gleichung II:

\((x-x)+(3500y-2400y)=1380-984\)

\(1100y=396 \quad\big|\ :1100\)

\(y=0{,}36\)

Zurücksetzen in I: \(x=984-2400\cdot 0{,}36=984-864=120\).

\(L=\{(120\,|\,0{,}36)\}\). Der Grundpreis beträgt 120,00 € pro Jahr, der Arbeitspreis 0,36 € je Kilowattstunde.

Bei 1800 kWh: \(120+1800\cdot 0{,}36=120+648=768{,}00\ \text{€}\).

Bei 3600 kWh: \(120+3600\cdot 0{,}36=120+1296=1416{,}00\ \text{€}\).

Das Doppelte von 768,00 € wären 1536,00 € — der tatsächliche Betrag liegt mit 1416,00 € um 120,00 € darunter.

Die Aussage ist damit falsch. Der Grundpreis fällt auch bei doppeltem Verbrauch nur einmal an; verdoppelt wird ausschließlich der Arbeitspreis-Anteil. Genau diese \(120{,}00\ \text{€}\) sind die Differenz.

Gesamtwert der Mischung: \(40\cdot 13{,}80\ \text{€}=552{,}00\ \text{€}\).

\(\text{I: } x+y=40\) (Massen in kg)

\(\text{II: } 18x+11y=552\) (Werte in €)

\(-11\cdot\text{I}:\ -11x-11y=-440\)

Addition mit Gleichung II:

\((18x-11x)+(11y-11y)=552-440\)

\(7x=112 \quad\big|\ :7\)

\(x=16\)

Zurücksetzen in I: \(y=40-16=24\).

Probe in II: \(18\cdot 16+11\cdot 24=288+264=552\) ✓.

\(L=\{(16\,|\,24)\}\): In die Mischung gehören 16 kg „Hochland“ und 24 kg „Tiefland“.

Neuer Gesamtwert: \(10\cdot 18{,}00\ \text{€}+30\cdot 11{,}00\ \text{€}=180{,}00\ \text{€}+330{,}00\ \text{€}=510{,}00\ \text{€}\).

Mischpreis: \(510{,}00\ \text{€}:40\ \text{kg}=12{,}75\ \text{€}\) je Kilogramm.

Der Mischpreis sinkt von 13,80 € auf 12,75 €, weil der Anteil der teuren Sorte kleiner geworden ist.

Allgemein liegt der Mischpreis stets zwischen den beiden Einzelpreisen, also zwischen 11,00 € (nur „Tiefland“) und 18,00 € (nur „Hochland“). Ein Zielpreis außerhalb dieses Bereichs wäre mit diesen beiden Sorten nicht erreichbar — das Gleichungssystem hätte dann zwar eine Lösung, aber mit einer negativen Masse.

Geschwindigkeit über Grund beim Hinflug: \(\frac{480\ \text{km}}{2\ \text{h}}=240\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\); beim Rückflug: \(\frac{480\ \text{km}}{3\ \text{h}}=160\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).

\(\text{I: } x+y=240\)

\(\text{II: } x-y=160\)

Vor \(y\) stehen \(+1\) und \(-1\) — Gegenzahlen. Die Gleichungen werden unverändert addiert:

\((x+x)+(y-y)=240+160\)

\(2x=400 \quad\big|\ :2\)

\(x=200\)

Zurücksetzen in I: \(200+y=240\), also \(y=40\). Damit ist \(L=\{(200\,|\,40)\}\).

Das Flugzeug fliegt aus eigener Kraft 200 km/h; der Wind trägt 40 km/h bei. Mit dem Wind ergibt das 240 km/h, gegen den Wind bleiben 160 km/h.

Hinflug über 700 km: \(\frac{700\ \text{km}}{240\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{35}{12}\ \text{h}\approx 2{,}917\ \text{h}\), also etwa 2 Stunden und 55 Minuten.

Rückflug über 700 km: \(\frac{700}{160}=\frac{35}{8}\ \text{h}=4{,}375\ \text{h}\).

Zusammen: \(\frac{35}{12}+\frac{35}{8}=\frac{70}{24}+\frac{105}{24}=\frac{175}{24}\ \text{h}\approx 7{,}292\ \text{h}\).

Bei Windstille flöge die Maschine beide Strecken mit 200 km/h: \(2\cdot\frac{700}{200}=7\ \text{h}\).

Begründung: Die Geschwindigkeit gewinnt und verliert jeweils 40 km/h, die Zeit aber nicht symmetrisch — sie ist umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit. Der Rückflug verliert deshalb mehr Zeit \(\left(\frac{35}{8}-\frac{7}{2}=\frac{7}{8}\ \text{h}\right)\), als der Hinflug gewinnt \(\left(\frac{7}{2}-\frac{35}{12}=\frac{7}{12}\ \text{h}\right)\). Unter dem Strich bleiben rund 17,5 Minuten Mehrzeit.

\(\text{I: } x+y=84\) (Anzahl der Münzen)

\(\text{II: } x+2y=129\) (Wert in Euro)

\(-1\cdot\text{I}:\ -x-y=-84\)

Addition mit Gleichung II:

\((x-x)+(2y-y)=129-84\)

\(y=45\)

Zurücksetzen in I: \(x=84-45=39\).

Probe in II: \(39+2\cdot 45=39+90=129\) ✓.

\(L=\{(39\,|\,45)\}\): In der Kasse liegen 39 Ein-Euro-Münzen und 45 Zwei-Euro-Münzen.

Mit \(\text{II}^{*}: x+2y=170\) ergibt dieselbe Rechnung \(y=170-84=86\) und damit \(x=84-86=-2\).

Das Gleichungssystem hat also durchaus eine Lösung — sie ist im Sachzusammenhang aber unmöglich, denn eine Anzahl von \(-2\) Münzen gibt es nicht.

Anschaulich: Mit 84 Münzen sind höchstens \(84\cdot 2{,}00\ \text{€}=168{,}00\ \text{€}\) erreichbar. 170,00 € liegen darüber, ein solcher Kassenbestand ist ausgeschlossen.

\(\text{I: } 12x+5y=70\)

\(\text{II: } 7x+9y=89{,}5\)

Für \(x\) ist \(\operatorname{kgV}(12;7)=84\), für \(y\) ist \(\operatorname{kgV}(5;9)=45\). Beide Wege sind gangbar; im Folgenden wird über \(x\) addiert, weil die Faktoren \(7\) und \(-12\) unmittelbar abzulesen sind.

\(7\cdot\text{I}:\ 84x+35y=490\)

\(-12\cdot\text{II}:\ -84x-108y=-1074\)

Addition: \(-73y=-584 \quad\big|\ :(-73)\)

\(y=8\)

Zurücksetzen in I: \(12x+40=70\), also \(12x=30\) und \(x=2{,}5\).

Probe in II: \(7\cdot 2{,}5+9\cdot 8=17{,}5+72=89{,}5\) ✓.

\(L=\{(2{,}5\,|\,8)\}\): Ein kleiner Karton wiegt 2,5 kg, ein großer 8 kg.

40 kleine Kartons wiegen \(40\cdot 2{,}5\ \text{kg}=100\ \text{kg}\).

Für die großen Kartons bleiben \(500\ \text{kg}-100\ \text{kg}=400\ \text{kg}\).

\(400:8=50\)

Es passen 50 große Kartons dazu; die Zuladung ist damit exakt ausgeschöpft.

\(\text{I: } 5x+8y=796\)

\(\text{II: } 7x+6y=838\)

Für \(x\) wäre \(\operatorname{kgV}(5;7)=35\) zu bilden, für \(y\) nur \(\operatorname{kgV}(8;6)=24\). Weil \(24<35\) ist, bleiben die Zahlen kleiner, wenn über \(y\) addiert wird — Gleichung I wird mit \(3\), Gleichung II mit \(-4\) multipliziert.

\(3\cdot\text{I}:\ 15x+24y=2388\)

\(-4\cdot\text{II}:\ -28x-24y=-3352\)

Addition: \(-13x=-964 \quad\big|\ :(-13)\)

\(x=\dfrac{964}{13}\)

Zurücksetzen in I — weiterhin exakt:

\(8y=796-5\cdot\dfrac{964}{13}=\dfrac{10348-4820}{13}=\dfrac{5528}{13}\)

\(y=\dfrac{691}{13}\)

Gerundet: \(x=\frac{964}{13}\approx 74{,}15\ \text{€}\) und \(y=\frac{691}{13}\approx 53{,}15\ \text{€}\).

Der Meister kostet rund 74,15 € je Stunde, der Geselle rund 53,15 € je Stunde.

Mit dem gerundeten Wert \(x=74\) liefert Gleichung I: \(8y=796-5\cdot 74=796-370=426\), also \(y=53{,}25\ \text{€}\).

Das sind 10 Cent mehr als der exakte Wert 53,15 €. Die Probe in Rechnung II zeigt den Schaden: \(7\cdot 74{,}00+6\cdot 53{,}25=518{,}00+319{,}50=837{,}50\ \text{€}\) statt 838,00 €.

Beurteilung: Das Vorgehen ist nicht tragfähig. Der Rundungsfehler von \(0{,}15\ \text{€}\) bei \(x\) wird beim Zurücksetzen mit \(5\) multipliziert und anschließend durch \(8\) geteilt — er verschwindet also nicht, sondern wandert in das zweite Ergebnis. Richtig ist die Regel: erst exakt mit Brüchen rechnen, erst das Endergebnis runden. Das Runden auf Cent ist erst sinnvoll, wenn beide Werte feststehen.

\(\text{I}+\text{II}:\ (5x+3x)+(3y+5y)=18{,}40+16{,}80\)

\(8x+8y=35{,}20 \quad\big|\ :8\)

\(x+y=4{,}40\)

Ein Kilogramm Äpfel und ein Kilogramm Birnen kosten zusammen 4,40 € — und zwar ohne dass einer der beiden Preise bekannt sein müsste.

\(\text{I}-\text{II}:\ (5x-3x)+(3y-5y)=18{,}40-16{,}80\)

\(2x-2y=1{,}60 \quad\big|\ :2\)

\(x-y=0{,}80\)

Zusammen mit \(x+y=4{,}40\) entsteht ein sehr einfaches System. Addition der beiden neuen Gleichungen:

\(2x=5{,}20 \quad\Longrightarrow\quad x=2{,}60\)

Und damit \(y=4{,}40-2{,}60=1{,}80\).

Probe in I: \(5\cdot 2{,}60+3\cdot 1{,}80=13{,}00+5{,}40=18{,}40\) ✓, in II: \(3\cdot 2{,}60+5\cdot 1{,}80=7{,}80+9{,}00=16{,}80\) ✓.

\(L=\{(2{,}60\,|\,1{,}80)\}\): Äpfel kosten 2,60 € je Kilogramm, Birnen 1,80 €.

Allgemein habe das System die Form \(\text{I: } ax+by=c\) und \(\text{II: } bx+ay=d\), die Koeffizienten seien also über Kreuz vertauscht.

Addition: \((a+b)x+(a+b)y=c+d\), also \((a+b)(x+y)=c+d\) und damit \(x+y=\dfrac{c+d}{a+b}\).

Subtraktion: \((a-b)x-(a-b)y=c-d\), also \((a-b)(x-y)=c-d\) und damit \(x-y=\dfrac{c-d}{a-b}\).

In beiden Fällen lässt sich der gemeinsame Faktor ausklammern — genau deshalb liefert eine einzige Addition sofort die Summe der beiden Unbekannten.

Der Weg gilt für jedes System mit vertauschten Koeffizienten, solange \(a+b\neq 0\) und \(a\neq b\) ist. Für \(a=b\) sind beide Gleichungen bis auf die rechte Seite identisch; das System hat dann entweder keine oder unendlich viele Lösungen.