Symmetrie: Übungen – Mathe Klasse 11

1Drei Körbe für neun FunktionenAFB I

Ordnen Sie jeden Funktionsterm der Symmetrieart zu, die sein Graph besitzt. Lesen Sie dazu nur die Exponenten ab.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1achsensymmetrisch zur y-Achse

2punktsymmetrisch zum Ursprung

3keine der beiden

Der Blick auf die Exponenten genügt: nur gerade → achsensymmetrisch, nur ungerade → punktsymmetrisch, gemischt → keine der beiden. Bei \(5x^{2}-3\) und \(x^{4}+3\) zählt das Absolutglied als \(x^{0}\) und ist damit gerade; bei \(x^{3}+2\) macht genau dieses Absolutglied den Term gemischt.

2Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Merksätze tragen alle fünf Aussagen: Symmetrie hängt nur von den Exponenten ab, und das Absolutglied trägt den geraden Exponenten \(0\).

3Welcher Punkt ist der Bildpunkt?AFB I

Der Punkt \(P(2\mid 3)\) ist eingezeichnet, dazu vier weitere Punkte A bis D. Bestimmen Sie zu jeder Frage den passenden Punkt und klicken Sie ihn an.

Klicke den gesuchten Punkt an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Aus \(P(2\mid 3)\) wird bei Spiegelung an der y-Achse \(A(-2\mid 3)\), an der x-Achse \(B(2\mid -3)\) und am Ursprung \(C(-2\mid -3)\). Für Symmetrie von Funktionsgraphen sind nur A und C wichtig — \(D(3\mid 2)\) entsteht durch Vertauschen der Koordinaten und gehört zur Spiegelung an der Geraden \(y=x\).

4Was trifft auf diese Funktion zu?AFB II

Gegeben ist \(f(x)=-3x^{5}+2x^{3}-x\). Wählen Sie alle Aussagen aus, die zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Einsetzen liefert \(f(-x)=-3\cdot(-x)^{5}+2\cdot(-x)^{3}-(-x)=3x^{5}-2x^{3}+x\), und das ist genau \(-f(x)\). Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung und geht deshalb durch \((0\mid 0)\). Ein Absolutglied gibt es nicht — sonst wäre die Punktsymmetrie sofort zerstört.

5Der Nachweis in der richtigen ReihenfolgeAFB II

Für \(f(x)=4x^{3}-2x\) soll die Punktsymmetrie nachgewiesen werden. Ordnen Sie die sechs Schritte so, wie sie in einer sauberen Lösung stehen.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Exponenten ablesen: 3 und 1 sind beide ungerade — Vermutung: punktsymmetrisch.

2Überall \(-x\) einsetzen: \(f(-x)=4\cdot(-x)^{3}-2\cdot(-x)\).

3Potenzen vereinfachen: \(f(-x)=-4x^{3}+2x\).

4Minuszeichen ausklammern: \(f(-x)=-\left(4x^{3}-2x\right)\).

5Mit dem Ausgangsterm vergleichen: \(f(-x)=-f(x)\).

6Ergebnis formulieren: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der dritte und der vierte Schritt werden gern zusammengezogen. Trennt man sie, sieht man deutlich, worauf es ankommt: Erst nach dem Ausklammern des Minuszeichens steht in der Klammer wieder der Ausgangsterm — und genau das ist der Vergleich mit \(-f(x)\).

6Kreuztabelle der BedingungenAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile die Spalte an, die für die Funktion zutrifft. In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft. Enter setzt und löscht.

Funktion	\(f(-x)=f(x)\)	\(f(-x)=-f(x)\)	keine der beiden
\(f(x)=x^{4}-3x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}-x\)
\(f(x)=x^{3}+x^{2}\)
\(f(x)=-6\)
\(f(x)=x^{5}+x\)
\(f(x)=2x^{2}+x\)

Zwei Zeilen sind die Stolpersteine: \(f(x)=-6\) besteht nur aus dem Absolutglied, also aus \(-6\cdot x^{0}\) — der Exponent \(0\) ist gerade, der Graph ist die zur y-Achse achsensymmetrische Gerade \(y=-6\). Und \(f(x)=x^{3}+x^{2}\) mischt einen ungeraden mit einem geraden Exponenten.

7Was gilt für welche Symmetrie?AFB II

Ordnen Sie jede Eigenschaft dem Bereich zu, in den sie gehört: nur zur Achsensymmetrie, nur zur Punktsymmetrie oder zu beiden.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur Achsensymmetrie

2 gilt für beide

3 nur Punktsymmetrie

Die Schnittmenge ist größer, als man zunächst denkt: Beide Symmetrien werden mit demselben Werkzeug \(f(-x)\) geprüft, beide Bildpunkte haben die x-Koordinate \(-x\), und beide lassen sich mit einem einzigen Gegenbeispiel kippen. Unterschiedlich sind nur die Exponenten, das Absolutglied und der \(y\)-Wert des Bildpunkts.

8Fehler in der MusterlösungAFB III

Eine Schülerlösung untersucht \(f(x)=2x^{5}-3x^{2}\) auf Symmetrie. Beurteilen Sie jede Zeile und klicken Sie genau die falschen an.

In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler hängen zusammen: Aus einem einzelnen ungeraden Exponenten wird voreilig auf Punktsymmetrie geschlossen, dann wird beim Bilden von \(-f(x)\) ein Vorzeichen vergessen — und der falsche Vergleich bestätigt scheinbar die falsche Vermutung. Deshalb lohnt es sich, \(-f(x)\) immer getrennt hinzuschreiben.

9Entscheidungsbaum anwendenAFB III

Untersucht wird \(f(x)=-x^{6}+5x^{4}-2\). Begründen Sie Ihre Antworten im Kopf und arbeiten Sie sich durch den Baum bis zum richtigen Ergebnis.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Der Weg lautet: Ja (das Absolutglied \(-2\) ist vorhanden) — Ja (die übrigen Exponenten \(6\) und \(4\) sind gerade). Ergebnis: achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Nachweis bestätigt das, denn \(f(-x)=-(-x)^{6}+5\cdot(-x)^{4}-2=-x^{6}+5x^{4}-2=f(x)\). Wichtig ist die erste Frage: Ein Absolutglied schließt Punktsymmetrie schon aus, bevor man überhaupt rechnet.

10Term und sein SpiegelbildAFB III

Berechnen Sie zu jedem Funktionsterm den vereinfachten Term \(f(-x)\) und verbinden Sie die passenden Karten.

Klicke links einen Term an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Drei der fünf Terme bleiben unverändert oder kippen vollständig: \(x^{4}-x^{2}\) und \(-2x^{2}+5\) erfüllen \(f(-x)=f(x)\), \(x^{3}-4x\) und \(x^{5}+x^{3}+x\) erfüllen \(f(-x)=-f(x)\). Nur \(x^{3}-4\) fällt heraus: Der Summand \(x^{3}\) kippt, das Absolutglied \(-4\) nicht — deshalb keine Symmetrie.

11Das Verfahren in WortenAFB I

Vervollständigen Sie die Beschreibung des Nachweisverfahrens. Jedes Wort wird genau einmal gebraucht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Blick auf den Graphen liefert zunächst nur eine . Danach liest man alle ab; das Absolutglied zählt dabei als \(x^{0}\) mit. Sind sie alle , erwartet man Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; sind sie alle , erwartet man Punktsymmetrie zum Ursprung. Der eigentliche Nachweis besteht darin, zu bilden, zu vereinfachen und mit \(f(x)\) sowie mit \(-f(x)\) zu vergleichen. Ein von null verschiedenes schließt Punktsymmetrie in jedem Fall aus.

Die Reihenfolge ist wichtig: Zeichnung und Exponenten liefern nur eine Vermutung, weil eine Zeichnung immer nur einen Ausschnitt zeigt. Gültig wird das Ergebnis erst durch die Rechnung mit \(f(-x)\). Das Absolutglied ist der klassische Stolperstein — es trägt den geraden Exponenten \(0\) und passt deshalb nur zur Achsensymmetrie.

12Symmetrieart am Term erkennenAFB I

Ordnen Sie jeder Funktion die richtige Symmetrieart zu. Denken Sie daran, dass ein Absolutglied den versteckten Exponenten \(0\) trägt.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Funktion	Symmetrie des Graphen
\(f(x)=x^{4}-3x^{2}+2\)
\(f(x)=2x^{3}-x\)
\(f(x)=x^{3}+1\)
\(f(x)=-x^{6}+x^{2}\)
\(f(x)=x^{5}+x^{3}+x\)
\(f(x)=-x^{4}+4x^{3}\)

Nur die Exponenten entscheiden, nie die Vorfaktoren. Bei \(x^{3}+1\) verführt der ungerade Exponent \(3\) zur Antwort „punktsymmetrisch“ — die \(1\) ist aber \(1\cdot x^{0}\) und damit ein Summand mit geradem Exponenten. Gemischte Exponenten wie bei \(-x^{4}+4x^{3}\) bedeuten immer: keine der beiden Symmetrien.

13\(f(-x)\) und \(-f(x)\) gegenüberstellenAFB II

Bilden Sie zu jeder Funktion die beiden Vergleichsterme \(f(-x)\) und \(-f(x)\). Genau der Vergleich dieser drei Terme entscheidet über die Symmetrie.

Schreibweise: -x^4-4x^3. Potenzen mit ^, Malzeichen dürfen fehlen. Enter prüft.

\(f(x)\)	\(f(-x)\)	\(-f(x)\)
\(x^{4}-3x^{2}\)
\(2x^{3}-x\)
\(x^{3}+1\)
\(-x^{4}+4x^{3}\)

Beim Bilden von \(f(-x)\) kippen nur die Summanden mit ungeradem Exponenten; beim Bilden von \(-f(x)\) kippen alle Summanden. Zeile 1: \(f(-x)=f(x)\) → achsensymmetrisch. Zeile 2: \(f(-x)=-f(x)\) → punktsymmetrisch. Zeile 3 und 4: keiner der beiden Terme stimmt mit \(f(-x)\) überein → keine Symmetrie.

14Nachweis Schritt für SchrittAFB II

Untersucht wird \(f(x)=-2x^{5}+6x^{3}-x\). Führen Sie den rechnerischen Nachweis in vier Schritten.

Terme mit ^ schreiben, z. B. 2x^5-6x^3+x. Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei.

Wie lautet \((-x)^{5}\)?
Setze überall \(-x\) statt \(x\) ein und vereinfache: \(f(-x)=\)
Bilde zum Vergleich \(-f(x)=\)
Beide Terme sind gleich. Trage die Kennzahl ein: 1 = achsensymmetrisch, 2 = punktsymmetrisch, 3 = keine Symmetrie.

Alle drei Exponenten \(5\), \(3\) und \(1\) sind ungerade, deshalb kippt beim Einsetzen von \(-x\) jeder einzelne Summand. Damit gilt \(f(-x)=-f(x)\), und der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Wichtig für die Klausur: Erst der Vergleich der beiden ausgerechneten Terme ist der Nachweis — die Aussage „alle Exponenten ungerade“ allein reicht als Begründung nicht.

15Symmetrie als RechenvorteilAFB II

Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und es gilt \(f(3)=-7{,}5\). Bestimmen Sie \(f(-3)\), ohne den Funktionsterm zu kennen.

Ergebnis als Dezimalzahl eintragen. Enter prüft.

Punktsymmetrie bedeutet \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\). Mit \(x=3\) folgt sofort \(f(-3)=-f(3)=-(-7{,}5)=7{,}5\). Wäre der Graph stattdessen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wäre \(f(-3)=f(3)=-7{,}5\). Genau dafür ist die Symmetrie in der Praxis nützlich: Man rechnet nur eine Hälfte aus und spiegelt den Rest.

16Bildpunkte selbst setzenAFB II

Setzen Sie zu jedem Punkt den Bildpunkt, der wegen der angegebenen Symmetrie ebenfalls auf dem Graphen liegen muss. Die drei Ausgangspunkte sind bereits eingezeichnet.

Mit der Maus ins Koordinatensystem klicken. Mit der Tastatur: Tab ins Bild, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt den Punkt.

Beim Spiegeln an der \(y\)-Achse wechselt nur die erste Koordinate das Vorzeichen: aus \(A(2\mid 3)\) wird \(A^{\prime}(-2\mid 3)\). Beim Punktspiegeln am Ursprung wechseln beide: aus \(B(-4\mid 1)\) wird \(B^{\prime}(4\mid -1)\) und aus \(C(3\mid -2)\) wird \(C^{\prime}(-3\mid 2)\). Wer bei der Punktspiegelung nur das \(x\) kippt, landet systematisch auf der falschen Seite der \(x\)-Achse.

17\(f(-x)\) in einem SchrittAFB II

Bilden Sie \(f(-x)\) für \(f(x)=3x^{5}-2x^{3}+x\) und geben Sie den vereinfachten Term ein — ohne Klammern und vollständig zusammengefasst.

Schreibweise: -3x^5+2x^3-x. Enter prüft.

\(f(-x)=3(-x)^{5}-2(-x)^{3}+(-x)=-3x^{5}+2x^{3}-x\). Jeder Exponent ist ungerade, also kippt jeder Summand. Klammert man \(-1\) aus, steht dort \(-(3x^{5}-2x^{3}+x)=-f(x)\): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der häufigste Fehler ist \(-2(-x)^{3}=-2x^{3}\) — hier treffen zwei Minuszeichen aufeinander und ergeben \(+2x^{3}\).

18Fehler in sechs RechenschrittenAFB III

Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils den richtigen Term ein. Drei der sechs Zeilen stimmen.

Eine Zeile anklicken heißt „diese Zeile ist falsch“. Schreibweise der Korrektur: -x^3-2x.

Zeile 2 und 6 zeigen denselben Fehler: Es wurde nur der erste Summand gekippt, obwohl jeder ungerade Exponent das Vorzeichen wechselt. In Zeile 4 geht es dagegen um \(-f(x)\) — dabei kippt jeder Summand, also auch das \(-x\), das zu \(+x\) wird. Zeile 5 stimmt: Der gerade Exponent \(4\) bleibt, der ungerade \(3\) kippt.

19Parameter passend wählenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{5}+(2a-6)\,x^{4}+3x\). Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Ergebnis als Zahl eintragen. Enter prüft.

Punktsymmetrie verlangt, dass nur ungerade Exponenten vorkommen. Die Exponenten \(5\) und \(1\) sind in Ordnung, der Summand mit \(x^{4}\) stört. Er verschwindet genau dann, wenn sein Koeffizient null ist: \(2a-6=0\), also \(a=3\). Für jedes andere \(a\) sind die Exponenten gemischt und es liegt keine Symmetrie vor. Beachten Sie: Es reicht nicht, \(a\) irgendwie klein zu machen — der Koeffizient muss exakt \(0\) sein.

20Term nach Vorgabe ergänzenAFB III

Der Term \(f(x)=x^{5}-4x^{3}+\square\) soll so ergänzt werden, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und zusätzlich \(f(1)=-1\) gilt. Der fehlende Summand hat den Grad 1. Geben Sie den vollständigen Term ein.

Den ganzen Term eintragen, z. B. x^5-4x^3+2x. Enter prüft.

Der Ansatz lautet \(f(x)=x^{5}-4x^{3}+cx\) — ein Summand vom Grad 1 hat den ungeraden Exponenten \(1\) und zerstört die Symmetrie nicht (ein Absolutglied würde das sofort tun). Aus \(f(1)=1-4+c=-1\) folgt \(c=2\), also \(f(x)=x^{5}-4x^{3}+2x\). Probe: \(f(-1)=-1+4-2=1=-f(1)\) — passt.

Symmetrie üben

Übungsaufgaben