Symmetrie anwenden

Die Behauptung ist falsch. Der Term besteht aus zwei Summanden: \(f(x)=1\cdot x^{3}+1\cdot x^{0}\). Das Absolutglied \(1\) trägt den Exponenten \(0\), und \(0\) ist gerade. Damit sind die Exponenten gemischt und keine der beiden Symmetrien ist zu erwarten.

Rechnerisch:

\(f(-x)=(-x)^{3}+1=-x^{3}+1\)

\(-f(x)=-\left(x^{3}+1\right)=-x^{3}-1\)

Die beiden Terme unterscheiden sich im Absolutglied: \(+1\) gegen \(-1\). Also ist \(f(-x)\neq -f(x)\) und der Graph ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Er ist auch nicht achsensymmetrisch, denn \(f(-x)=-x^{3}+1\neq x^{3}+1=f(x)\).

Gegenbeispiel: Für \(x=1\) ist \(f(1)=1^{3}+1=2\) und damit \(-f(1)=-2\). Andererseits ist \(f(-1)=(-1)^{3}+1=-1+1=0\). Wegen \(0\neq -2\) ist die Bedingung \(f(-x)=-f(x)\) bereits an dieser einen Stelle verletzt.

Zusatz: Ein punktsymmetrischer Graph müsste durch den Ursprung gehen. Hier ist aber \(f(0)=1\neq 0\) — schon daran scheitert die Punktsymmetrie.

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt genau dann vor, wenn alle vorkommenden Exponenten ungerade sind. Die Exponenten \(5\), \(3\) und \(1\) sind bereits ungerade und unproblematisch. Die Summanden mit \(x^{4}\) und \(x^{2}\) haben gerade Exponenten und dürfen deshalb gar nicht auftreten. Das erreicht man nur, indem ihre Koeffizienten null werden:

\(a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2\)

\(b+4=0\quad\Longrightarrow\quad b=-4\)

Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=x^{5}+3x^{3}-7x\).

Nachweis:

\(f(-x)=(-x)^{5}+3\cdot(-x)^{3}-7\cdot(-x)=-x^{5}-3x^{3}+7x\)

\(f(-x)=-\left(x^{5}+3x^{3}-7x\right)=-f(x)\)

Der Graph ist also für \(a=2\) und \(b=-4\) punktsymmetrisch zum Ursprung — und nur für dieses Wertepaar. Wäre nämlich einer der beiden Koeffizienten von null verschieden, bliebe ein Summand mit geradem Exponenten stehen und die Exponenten wären gemischt.

a) Nachweis der Achsensymmetrie

\(f(-x)=-0{,}02\cdot(-x)^{4}+0{,}6\cdot(-x)^{2}=-0{,}02x^{4}+0{,}6x^{2}=f(x)\)

Beide Exponenten sind gerade, ein Absolutglied fehlt. Also ist der Querschnitt achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch die Straßenmitte.

b) Nullstellen

\(f(x)=x^{2}\left(-0{,}02x^{2}+0{,}6\right)=0\)

Erster Faktor: \(x^{2}=0\) liefert \(x_{1}=0\) (doppelte Nullstelle).

Zweiter Faktor: \(-0{,}02x^{2}+0{,}6=0\;\Longrightarrow\;0{,}02x^{2}=0{,}6\;\Longrightarrow\;x^{2}=\frac{0{,}6}{0{,}02}=30\;\Longrightarrow\;x_{2,3}=\pm\sqrt{30}\approx\pm 5{,}48\)

Deutung: Bei \(x=0\) liegt die Straße selbst auf Bodenhöhe — dort berührt der Graph die x-Achse, ohne sie zu schneiden. Bei etwa \(5{,}48\;\mathrm{m}\) links und rechts der Straßenmitte trifft der jeweilige Wall wieder auf den gewachsenen Boden. Jeder Wall ist also rund \(5{,}48\;\mathrm{m}\) breit, zusammen nehmen beide etwa \(10{,}96\;\mathrm{m}\) ein.

c) Höhen

\(f(4)=-0{,}02\cdot 4^{4}+0{,}6\cdot 4^{2}=-0{,}02\cdot 256+0{,}6\cdot 16=-5{,}12+9{,}6=4{,}48\)

An der Stelle \(x=4\) ist der Wall \(4{,}48\;\mathrm{m}\) hoch. Wegen der Achsensymmetrie gilt derselbe Wert auf der anderen Seite: \(f(-4)=4{,}48\).

Für die höchsten Punkte setzt man \(x=\sqrt{15}\) ein, also \(x^{2}=15\) und \(x^{4}=15^{2}=225\):

\(f\!\left(\sqrt{15}\right)=-0{,}02\cdot 225+0{,}6\cdot 15=-4{,}5+9=4{,}5\)

Beide Wälle sind also genau \(4{,}5\;\mathrm{m}\) hoch; der zweite Höchstpunkt liegt bei \(x=-\sqrt{15}\approx -3{,}87\) und hat wegen \(f(-x)=f(x)\) dieselbe Höhe.

d) Vorteil der Symmetrie

Es muss nur eine Wallseite berechnet, geplant und vermessen werden — alle Werte der anderen Seite ergeben sich durch \(f(-x)=f(x)\) sofort. Beide Wälle haben dieselbe Höhe, dieselbe Breite und damit auch dasselbe Erdvolumen, was die Materialplanung und die Lärmschutzwirkung für beide Straßenseiten gleich macht.

a) Allgemeiner Beweis

Voraussetzung: Für alle \(x\) gilt \(u(-x)=-u(x)\) und \(v(-x)=-v(x)\).

Behauptung: Für alle \(x\) gilt \(p(-x)=p(x)\).

Beweis:

\(p(-x)=u(-x)\cdot v(-x)\)

\(\phantom{p(-x)}=\left(-u(x)\right)\cdot\left(-v(x)\right)\)

\(\phantom{p(-x)}=(-1)\cdot(-1)\cdot u(x)\cdot v(x)\)

\(\phantom{p(-x)}=u(x)\cdot v(x)=p(x)\)

Damit ist die Bedingung \(p(-x)=p(x)\) für alle \(x\) erfüllt: Der Graph von \(p\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. \(\square\)

b) Beispiel

Wähle \(u(x)=x^{3}-x\) und \(v(x)=2x\). Beide sind punktsymmetrisch, denn alle Exponenten sind ungerade. Dann ist

\(p(x)=\left(x^{3}-x\right)\cdot 2x=2x^{4}-2x^{2}\)

\(p(-x)=2\cdot(-x)^{4}-2\cdot(-x)^{2}=2x^{4}-2x^{2}=p(x)\)

Das Beispiel bestätigt die Behauptung.

c) Erklärung über die Exponenten

In \(u\) und in \(v\) kommen nur ungerade Exponenten vor. Beim Ausmultiplizieren entsteht aus einem Summanden \(x^{m}\) von \(u\) und einem Summanden \(x^{n}\) von \(v\) der Summand \(x^{m+n}\). Die Summe zweier ungerader Zahlen ist aber immer gerade. Im Produkt treten also ausschließlich gerade Exponenten auf — und das ist genau das Termmerkmal der Achsensymmetrie.

a) Rechnerische Untersuchung

Angenommen, beide Bedingungen gelten für alle \(x\):

\(f(-x)=f(x)\quad\text{und}\quad f(-x)=-f(x)\)

Da beide rechten Seiten denselben Term \(f(-x)\) beschreiben, folgt

\(f(x)=-f(x)\)

\(f(x)+f(x)=0\)

\(2\,f(x)=0\)

\(f(x)=0\)

Und zwar für jedes \(x\). Die einzige Funktion, die beide Symmetrien gleichzeitig besitzt, ist also die Nullfunktion \(f(x)=0\).

b) Begründung über die Exponenten

Für Achsensymmetrie müssten alle vorkommenden Exponenten gerade sein, für Punktsymmetrie alle ungerade. Keine Zahl ist zugleich gerade und ungerade. Beides ist deshalb nur möglich, wenn überhaupt kein Summand mit einem von null verschiedenen Koeffizienten auftritt — also wieder \(f(x)=0\).

c) Aussehen des Graphen

Der Graph von \(f(x)=0\) ist die x-Achse selbst. Sie geht beim Spiegeln an der y-Achse in sich über und ebenso bei einer Drehung um \(180^\circ\) um den Ursprung — beide Symmetriebedingungen sind erfüllt. Die Antwort auf die Frage lautet also: Ja, aber nur in diesem einen Sonderfall.