Linearfaktoren: Übungen

1Faktoren nach ihrer Nullstelle sortierenAFB I

Ordnen Sie jeden Faktor der Nullstelle zu, die er liefert. Bei einigen Faktoren steht noch ein Zahlfaktor davor — klammern Sie ihn im Kopf aus.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Nullstelle x = 2

2Nullstelle x = −2

3Nullstelle x = 0,5

Der Zahlfaktor entscheidet nie mit: \(5x-10=5\cdot(x-2)\) und \(0{,}5x-1=0{,}5\cdot(x-2)\) haben dieselbe Nullstelle wie \(x-2\), weil 5 und 0,5 niemals null werden. Aus \(2x-1=2\cdot(x-0{,}5)\) wird die Nullstelle 0,5 — setzen Sie zur Kontrolle einfach ein: \(2\cdot 0{,}5-1=0\).

2Aussagen zur Produktdarstellung prüfenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Fallen wiederholen sich in Klassenarbeiten ständig: das Vorzeichen im Linearfaktor und die Rolle des Leitkoeffizienten. Merksatz: \((x-x_{i})\) wird null bei \(x_{i}\), und \(a\) ändert die Höhe, nicht die Lage der Nullstellen.

3Fachbegriffe in den Text einsetzenAFB I

Füllen Sie die Lücken mit den passenden Fachbegriffen. Jeder Begriff wird genau einmal gebraucht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Faktor der Bauart \((x-x_{i})\) heißt . Steht eine Funktion vollständig als Produkt solcher Faktoren da, spricht man von ihrer . Dass man daraus die Nullstellen sofort ablesen darf, garantiert der Satz vom . Die Zahl, die vor dem Produkt stehen bleibt, ist der ; er verschiebt keine einzige . Die Anzahl der Linearfaktoren ist zugleich der der Funktion. Multipliziert man alles aus, erhält man wieder die .

Diese sieben Begriffe gehören zusammen: Der Linearfaktor ist der Baustein, die Produktdarstellung das fertige Bauwerk, der Satz vom Nullprodukt die Begründung, warum man daraus die Nullstellen ablesen darf. Leitkoeffizient und Grad beschreiben das Ganze, die Standardform ist dieselbe Funktion in anderer Schreibweise.

4Produktform und Nullstellenmenge verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Produktform mit der Menge ihrer Nullstellen. Achten Sie auf Zahlfaktoren und auf mehrfach auftretende Faktoren.

Klicke links einen Term an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Drei Stellen lohnen einen zweiten Blick. Bei \((x-6)(x+6)\) sind es zwei Nullstellen mit entgegengesetztem Vorzeichen — die dritte binomische Formel rückwärts. Bei \((x+1)^{2}(x-3)\) zählt der Faktor \((x+1)\) doppelt, es bleiben aber nur zwei verschiedene Nullstellen. Und der Zahlfaktor 2 in \(2(x+0{,}5)(x-4)\) liefert keine eigene Nullstelle.

5Alle zutreffenden Aussagen markierenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x+7)\cdot(x-2)\cdot(3x-9)\). Markieren Sie alle Aussagen, die auf diese Funktion zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der dritte Faktor ist noch kein Linearfaktor: \(3x-9=3\cdot(x-3)\). Ausgeklammert lautet die vollständige Produktdarstellung \(f(x)=3\cdot(x+7)(x-2)(x-3)\) — Grad 3, Leitkoeffizient 3, Nullstellen \(-7\), 2 und 3. Die Probe: \(f(0)=7\cdot(-2)\cdot(-9)=126\).

6Eigenschaften in der Tabelle ankreuzenAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Eigenschaften an. Pro Zeile können es keine, eine oder mehrere sein.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.

Funktion	x = 0 ist Nullstelle	x = −3 ist Nullstelle	Grad 3
f(x) = x(x − 4)(x + 3)
f(x) = (x + 3)(x − 1)
f(x) = 5x(x − 1)
f(x) = (x − 5)(x + 1)(x − 2)

Alle drei Spalten lassen sich ohne Rechnung beantworten. Ein bloßes \(x\) im Produkt bedeutet die Nullstelle 0, ein Faktor \((x+3)\) die Nullstelle \(-3\), und der Grad ist einfach die Anzahl der Linearfaktoren. Der Zahlfaktor 5 in \(5x(x-1)\) zählt dabei nicht mit: Der Grad bleibt 2.

7Den Weg von den Nullstellen zum Term ordnenAFB II

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Nullstellen \(-5\), 2 und 3, für die \(f(0)=60\) gilt. Bringen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Die drei Nullstellen notieren: −5, 2 und 3.

2Zu jeder Nullstelle den passenden Linearfaktor bilden: (x + 5), (x − 2) und (x − 3).

3Die Faktoren mit einem noch unbekannten a zum Produkt f(x) = a(x + 5)(x − 2)(x − 3) zusammensetzen.

4Die Bedingung f(0) = 60 einsetzen: a · 5 · (−2) · (−3) = 30a = 60.

5a = 2 einsetzen und den fertigen Term f(x) = 2(x + 5)(x − 2)(x − 3) angeben.

Entscheidend ist die Reihenfolge der letzten beiden Schritte: Erst steht das Produkt mit unbekanntem \(a\) da, dann liefert die Zusatzbedingung den Wert. Ohne eine solche Bedingung bleibt \(a\) offen — unendlich viele Funktionen hätten genau diese drei Nullstellen.

8Fehler im Lösungsweg findenAFB III

Eine Schülerin zerlegt \(f(x)=(3x+6)\cdot(x^{2}-x)\) in Linearfaktoren. Klicken Sie genau die Zeilen an, die falsch sind.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler hängen am Zahlfaktor. Er darf beim Ausklammern nicht verschwinden, er zählt beim Grad nicht mit, und er liefert keine Nullstelle. Die korrekte Zerlegung lautet \(f(x)=3\cdot x\cdot(x+2)\cdot(x-1)\) mit den Nullstellen \(-2\), 0 und 1.

9Den Funktionsterm zusammenbauenAFB III

Gesucht ist die Funktion mit den Nullstellen \(-4\), 0 und 1,5 und dem Leitkoeffizienten \(a=-2\). Setzen Sie den Term zusammen — erst der Leitkoeffizient, dann die Linearfaktoren nach aufsteigender Nullstelle, zuletzt die Standardform.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die Vorzeichen drehen sich: Zur Nullstelle \(-4\) gehört \((x+4)\), zur Nullstelle 1,5 gehört \((x-1{,}5)\), und die Nullstelle 0 steckt im nackten \(x\). Beim Ausmultiplizieren zuerst \((x+4)(x-1{,}5)=x^{2}+2{,}5x-6\), dann mit \(x\) und zuletzt mit \(-2\) multiplizieren: \(-2x^{3}-5x^{2}+12x\). Zur Kontrolle taugt \(f(1)=-2\cdot 5\cdot 1\cdot(-0{,}5)=5\).

10Steckbrief Schritt für Schritt rechnenAFB III

Eine ganzrationale Funktion hat genau die Nullstellen \(-1\), \(-3\) und \(-5\), außerdem gilt \(f(0)=30\). Berechnen Sie die Kette Schritt für Schritt. Geben Sie nur die Zahl ein.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie viele Linearfaktoren stehen in der Produktdarstellung?Faktoren
Welchen Wert hat das Produkt (x + 1)(x + 3)(x + 5) an der Stelle x = 0?
Aus f(0) = 30 folgt a · 15 = 30. Wie groß ist der Leitkoeffizient a?
Welchen Funktionswert hat f an der Stelle x = 1?
Welcher Koeffizient steht in der ausmultiplizierten Form vor x³?

Die Kette zeigt das Standardvorgehen beim Steckbrief: Produktdarstellung mit unbekanntem \(a\) aufstellen, die Zusatzbedingung einsetzen, \(a\) berechnen. Der letzte Schritt ist der Trick für die Kontrolle: Beim Ausmultiplizieren entsteht \(x^{3}\) nur, indem man aus jeder Klammer das \(x\) nimmt — vor \(x^{3}\) steht deshalb immer genau der Leitkoeffizient \(a\).

11Nullstelle als Bruch angebenAFB I

Bestimmen Sie die Nullstelle des Faktors \((6x-4)\) und geben Sie sie als vollständig gekürzten Bruch an — Zähler oben, Nenner unten.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(6x-4=0\;\Rightarrow\;6x=4\;\Rightarrow\;x=\tfrac46=\tfrac23\). Ausgeklammert heißt der Faktor \(6\left(x-\tfrac23\right)\) — die 6 wird nie null und liefert deshalb keine eigene Nullstelle. Wer stattdessen \(\tfrac46\) stehen lässt, hat zwar den richtigen Wert, aber nicht die gekürzte Schreibweise.

12Sechs Faktoren, sechs NullstellenAFB I

Berechnen Sie zu jedem Faktor die Nullstelle. Achten Sie auf den Zahlfaktor vor dem \(x\) — er muss erst ausgeklammert werden. Dezimalzahlen mit Komma.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

Faktor	Nullstelle \(x\)
\(x-7\)
\(x+11\)
\(2x-5\)
\(3x+12\)
\(0{,}5x-4\)
\(-x+3\)

Immer dieselbe Gleichung: Faktor gleich null setzen und nach \(x\) auflösen. Bei \(2x-5\) ist das \(x=\tfrac52=2{,}5\), bei \(0{,}5x-4\) dagegen \(x=\tfrac{4}{0{,}5}=8\) — durch eine Zahl kleiner als 1 zu teilen vergrößert. Und \(-x+3\) ist dasselbe wie \(-(x-3)\): Das Minus vor der Klammer ändert die Nullstelle nicht.

13Produktform ausmultiplizierenAFB II

Multiplizieren Sie aus und geben Sie \(f(x)=(2x-3)(x+4)\) in der Standardform an — also ohne Klammern, nach fallenden Potenzen sortiert.

Gib den Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem der zweiten multipliziert: \(2x\cdot x=2x^{2}\), \(2x\cdot 4=8x\), \(-3\cdot x=-3x\), \(-3\cdot 4=-12\). Zusammengefasst: \(2x^{2}+5x-12\). Zwei Kontrollen kosten Sekunden: Das Absolutglied ist immer das Produkt der beiden hinteren Zahlen \((-3)\cdot 4=-12\), und der Leitkoeffizient ist das Produkt der beiden vorderen \(2\cdot 1=2\).

14Alle vier Koeffizienten bestimmenAFB II

Multiplizieren Sie \(f(x)=2(x-1)(x+3)(x-2)\) vollständig aus und tragen Sie die Koeffizienten der Standardform \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) ein. Ein Koeffizient ist null — tragen Sie ihn trotzdem ein.

Trage alle Werte ein — Minuszeichen gehören zum Wert. Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(a_{3}=\)\(a_{2}=\)\(a_{1}=\)\(a_{0}=\)

Erst zwei Klammern: \((x-1)(x+3)=x^{2}+2x-3\). Dann die dritte: \((x^{2}+2x-3)(x-2)=x^{3}+2x^{2}-3x-2x^{2}-4x+6=x^{3}-7x+6\) — das \(x^{2}\)-Glied fällt hier zufällig weg. Zuletzt alles mal 2: \(f(x)=2x^{3}-14x+12\). Probe mit \(f(0)\): einmal \(2\cdot(-1)\cdot 3\cdot(-2)=12\), einmal \(a_{0}=12\). Passt.

15Fünf Funktionswerte aus der ProduktformAFB II

Berechnen Sie die Funktionswerte von \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-4)\) an den angegebenen Stellen. Setzen Sie direkt in die Produktform ein — Ausmultiplizieren wäre hier der Umweg.

Trage in jedes Feld den passenden Wert ein. Enter prüft.

\(x\)	0	1	2	3	5
\(f(x)\)

\(f(0)=0{,}5\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-4)=4\); \(f(1)=0\), weil der Faktor \((x-1)\) null wird; \(f(2)=0{,}5\cdot 4\cdot 1\cdot(-2)=-4\); \(f(3)=0{,}5\cdot 5\cdot 2\cdot(-1)=-5\); \(f(5)=0{,}5\cdot 7\cdot 4\cdot 1=14\). Genau dafür ist die Produktform gemacht: drei Zahlen multiplizieren statt drei Potenzen ausrechnen. Und das Vorzeichenmuster verrät den Verlauf — zwischen 1 und 4 ist \(f\) negativ.

16Steckbrief mit doppelter NullstelleAFB II

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit einer doppelten Nullstelle bei \(x=-1\), einer einfachen bei \(x=4\) und dem Funktionswert \(f(0)=8\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Spiele den Weg Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Die Quadratklammer verändert nichts am Vorgehen: Ansatz mit unbekanntem \(a\), Zusatzbedingung einsetzen, \(a\) berechnen. Der fertige Term lautet \(f(x)=-2(x+1)^{2}(x-4)\). Weil \((x+1)\) doppelt vorkommt, hat \(f\) den Grad 3, aber nur zwei verschiedene Nullstellen.

17Sieben Umformungen prüfenAFB III

Prüfen Sie jede Zeile durch Ausmultiplizieren oder Ausklammern. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils die richtige rechte Seite ein (Schreibweise z. B. x^2+6x+9 oder 5(x+3)).

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Zeile 2 ist der Klassiker: \((x+3)^{2}=x^{2}+6x+9\) — das gemischte Glied \(2\cdot x\cdot 3\) fehlt. In Zeile 4 dreht sich beim Ausklammern kein Vorzeichen um: \(x^{2}-5x=x(x-5)\). In Zeile 7 wird durch den Faktor 5 geteilt, nicht nur der Vorfaktor angehängt: \(15:5=3\).

18Erst \(a\), dann \(f(0)\)AFB III

Von \(f(x)=a(x-2)(x+3)(x-5)\) ist nur bekannt, dass \(f(1)=24\) gilt. Berechnen Sie daraus \(f(0)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Erst \(a\): \(f(1)=a\cdot(-1)\cdot 4\cdot(-4)=16a\), also \(16a=24\) und \(a=1{,}5\). Dann \(f(0)=1{,}5\cdot(-2)\cdot 3\cdot(-5)=1{,}5\cdot 30=45\). Wer zuerst ausmultipliziert, rechnet dieselbe Aufgabe mit dem dreifachen Aufwand — in der Produktform sind beide Werte reine Kopfrechnung.

19Grad, Leitkoeffizient, Anzahl der NullstellenAFB III

Bestimmen Sie für jede Funktion Grad, Leitkoeffizient und die Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen. Zwei Zeilen enthalten eine Falle.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Funktion	Grad	Leitkoeffizient	verschiedene Nullstellen
\(f(x)=-3(x-1)(x+2)^{2}\)
\(g(x)=4x^{2}(x-7)\)
\(h(x)=0{,}5(x^{2}+1)(x-2)\)

Der Grad ist die Summe der Exponenten, nicht die Zahl der Klammern: \((x+2)^{2}\) zählt doppelt, \(x^{2}\) ebenfalls. Der Leitkoeffizient entsteht aus allen Vorfaktoren zusammen — bei \(h\) also \(0{,}5\cdot 1\cdot 1=0{,}5\). Und die Fallen: \((x+2)^{2}\) liefert nur eine Nullstelle (die doppelt zählt), \(x^{2}+1\) überhaupt keine, denn \(x^{2}+1\ge 1\) für alle reellen \(x\).

20Produktform und Standardform als PaareAFB III

Finden Sie die Paare. Zu jeder Produktform gehört genau eine ausmultiplizierte Form — rechnen Sie im Kopf, bevor Sie aufdecken.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Zwei Kontrollen reichen fast immer: Das Absolutglied ist das Produkt der Zahlen in den Klammern (\((-1)\cdot 4=-4\), \(2\cdot(-5)=-10\)), und der Koeffizient vor \(x\) ist ihre Summe. Bei \(x(x-2)(x+2)\) greift zusätzlich die dritte binomische Formel: \(x(x^{2}-4)=x^{3}-4x\) — ohne \(x^{2}\)-Glied und ohne Absolutglied, weil 0 eine Nullstelle ist.

Übungsaufgaben