Erst zerlegen, dann ablesen
AFB IGegeben sind \(f(x)=(x^{2}-9)(x^{2}+9)\), \(g(x)=x^{5}-x^{3}\) und \(h(x)=x^{3}+3x^{2}+2x\).
- Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(f\) und den Grad von \(f\).
- Klammern Sie bei \(g\) so weit wie möglich aus und geben Sie alle Nullstellen sowie den Grad an.
- Zerlegen Sie \(h\) vollständig in Linearfaktoren und geben Sie alle Nullstellen sowie den Grad an.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beide Faktoren einzeln null setzen.
\(x^{2}-9=0\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=3\) oder \(x=-3\)
\(x^{2}+9=0\Rightarrow x^{2}=-9\) — kein reelles \(x\) erfüllt das, denn ein Quadrat ist nie negativ. Dieser Faktor liefert keine Nullstelle.
Die Nullstellen sind 3 und \(-3\). Multipliziert man aus, entsteht \(x^{4}-81\); der Grad ist also 4, obwohl es nur zwei Nullstellen gibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(g(x)=x^{5}-x^{3}=x^{3}\,(x^{2}-1)=x^{3}\,(x-1)(x+1)\)
Nullstellen: \(x^{3}=0\Rightarrow x=0\); \(\;x-1=0\Rightarrow x=1\); \(\;x+1=0\Rightarrow x=-1\)
Die Nullstellen sind 0, 1 und \(-1\). Der Grad ist 5, denn \(x^{3}\) steht für drei gleiche Linearfaktoren \((x-0)\); bei \(x=0\) liegt eine dreifache Nullstelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zuerst \(x\) ausklammern: \(h(x)=x\,(x^{2}+3x+2)\).
Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 3 und Produkt 2 — das sind 1 und 2. Also \(x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)\).
\(h(x)=x\,(x+1)(x+2)\), Nullstellen 0, \(-1\) und \(-2\), Grad 3.
Vom Produkt in die Standardform
AFB IIGegeben ist \(f(x)=2\,(x+3)(x-1)(x-4)\).
- Geben Sie Nullstellen, Grad und Leitkoeffizient von \(f\) an, ohne auszumultiplizieren.
- Multiplizieren Sie den Term vollständig aus und geben Sie die Standardform an.
- Berechnen Sie \(f(0)\) auf beiden Wegen und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Absolutglied.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Jeder Linearfaktor liefert seine Nullstelle mit umgekehrtem Vorzeichen: \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\), \(x_{3}=4\).
Es stehen drei Linearfaktoren im Produkt, also ist der Grad 3. Der Leitkoeffizient ist \(a=2\); er verändert keine Nullstelle, sondern streckt den Graphen nur in \(y\)-Richtung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zuerst die ersten beiden Klammern:
\((x+3)(x-1)=x^{2}-x+3x-3=x^{2}+2x-3\)
Nun mit \((x-4)\) multiplizieren:
\((x^{2}+2x-3)(x-4)=x^{3}-4x^{2}+2x^{2}-8x-3x+12=x^{3}-2x^{2}-11x+12\)
Zuletzt der Faktor 2:
\(f(x)=2x^{3}-4x^{2}-22x+24\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Über die Produktform: \(f(0)=2\cdot 3\cdot(-1)\cdot(-4)=24\).
Über die Standardform: \(f(0)=2\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}-22\cdot 0+24=24\).
Beide Wege liefern 24, und das ist genau das Absolutglied \(a_{0}=24\). Das ist kein Zufall: Für \(x=0\) fallen alle Summanden mit \(x\) weg, übrig bleibt der konstante Summand. Die Rechnung eignet sich deshalb hervorragend als Kontrolle nach dem Ausmultiplizieren.
Der versteckte Leitkoeffizient
AFB IIGegeben ist \(f(x)=(2x-10)\,(x^{2}+3x)\). Beide Faktoren sind noch keine Linearfaktoren der Form \((x-x_{i})\).
- Bringen Sie \(f\) in die vollständige Produktdarstellung \(a\,(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\).
- Geben Sie alle Nullstellen und den Grad von \(f\) an.
- Berechnen Sie die Standardform und prüfen Sie Ihr Ergebnis mit \(f(1)\).
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Erster Faktor: \(2x-10=2\,(x-5)\).
Zweiter Faktor: \(x^{2}+3x=x\,(x+3)\).
Zusammengesetzt und den Zahlfaktor nach vorn gezogen:
\(f(x)=2\,(x-5)\cdot x\cdot(x+3)=2\,x\,(x-5)(x+3)\)
Der Leitkoeffizient ist \(a=2\). Er darf keinesfalls verschwinden — sonst beschreibt der Term eine andere Funktion, auch wenn die Nullstellen zufällig dieselben bleiben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die drei Linearfaktoren \(x\), \((x-5)\) und \((x+3)\) liefern die Nullstellen 0, 5 und \(-3\). Der Grad ist 3; der Zahlfaktor 2 zählt beim Grad nicht mit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zuerst die beiden Klammern:
\((x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15\)
Mit \(x\) multiplizieren: \(x\,(x^{2}-2x-15)=x^{3}-2x^{2}-15x\)
Mit 2 multiplizieren: \(f(x)=2x^{3}-4x^{2}-30x\)
Probe mit \(x=1\). Produktform: \(f(1)=2\cdot 1\cdot(1-5)\cdot(1+3)=2\cdot 1\cdot(-4)\cdot 4=-32\).
Standardform: \(f(1)=2-4-30=-32\). Beide Werte stimmen überein.
Hätte man die 2 weggelassen, so würde die Probe \(-16\) statt \(-32\) ergeben — der Fehler fällt sofort auf.
Steckbrief: Funktionsterm aus Nullstellen
AFB IIIEine ganzrationale Funktion \(f\) hat genau die Nullstellen \(-2\), 1 und 3. Außerdem schneidet ihr Graph die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0\mid 12)\).
- Stellen Sie die Produktdarstellung mit unbekanntem Leitkoeffizienten \(a\) auf und bestimmen Sie \(a\) aus der Bedingung \(f(0)=12\).
- Geben Sie den Term in Standardform an und bestätigen Sie das Ergebnis durch die Probe \(f(0)=12\).
- Begründen Sie, warum die drei Nullstellen allein den Funktionsterm noch nicht festlegen, und beschreiben Sie, was sich ändert, wenn stattdessen \(f(0)=-12\) gefordert wird.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zu jeder Nullstelle gehört ein Linearfaktor mit umgekehrtem Vorzeichen:
\(f(x)=a\,(x+2)(x-1)(x-3)\)
Einsetzen von \(x=0\):
\(f(0)=a\,(0+2)(0-1)(0-3)=a\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-3)=6a\)
Aus \(6a=12\) folgt \(a=2\). Damit lautet die Produktdarstellung
\(f(x)=2\,(x+2)(x-1)(x-3)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zuerst die ersten beiden Klammern:
\((x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2\)
Mit \((x-3)\) multiplizieren:
\((x^{2}+x-2)(x-3)=x^{3}-3x^{2}+x^{2}-3x-2x+6=x^{3}-2x^{2}-5x+6\)
Mit 2 multiplizieren:
\(f(x)=2x^{3}-4x^{2}-10x+12\)
Probe: \(f(0)=12\) — das Absolutglied stimmt mit dem geforderten \(y\)-Achsenabschnitt überein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die drei Nullstellen legen nur die Linearfaktoren fest, nicht aber den Faktor davor. Jede Funktion \(f(x)=a\,(x+2)(x-1)(x-3)\) mit \(a\neq 0\) hat genau diese drei Nullstellen — das sind unendlich viele verschiedene Funktionen. Erst eine zusätzliche Bedingung, hier der Punkt \(S_{y}(0\mid 12)\), macht die Aufgabe eindeutig.
Fordert man stattdessen \(f(0)=-12\), so ergibt \(6a=-12\) den Wert \(a=-2\). Die Nullstellen bleiben unverändert bei \(-2\), 1 und 3; der Graph wird lediglich an der \(x\)-Achse gespiegelt. In Standardform lautet der Term dann \(f(x)=-2x^{3}+4x^{2}+10x-12\).
Wenn ein Faktor keine Nullstelle liefert
AFB IIIGegeben ist \(f(x)=(x^{2}+4)\,(x^{2}-5x+6)\).
- Zeigen Sie, dass der Faktor \(x^{2}+4\) für kein reelles \(x\) null wird.
- Zerlegen Sie den zweiten Faktor in Linearfaktoren und geben Sie alle Nullstellen von \(f\) an.
- Bestimmen Sie den Grad von \(f\) und erklären Sie, warum eine Funktion vom Grad 4 hier nur zwei Nullstellen besitzt.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Für jedes reelle \(x\) gilt \(x^{2}\geq 0\), denn ein Quadrat ist nie negativ. Addiert man 4, so folgt
\(x^{2}+4\geq 0+4=4>0\).
Der Term ist also für jedes \(x\) mindestens 4 und damit niemals null. Rechnerisch führt der Ansatz \(x^{2}+4=0\) auf \(x^{2}=-4\), und diese Gleichung hat in \(\mathbb{R}\) keine Lösung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6 — das sind 2 und 3. Damit gilt
\(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\).
Insgesamt lässt sich \(f\) also so weit wie möglich zerlegen zu
\(f(x)=(x^{2}+4)\,(x-2)(x-3)\).
Nach dem Satz vom Nullprodukt liefert nur der zweite und dritte Faktor Nullstellen: \(x_{1}=2\) und \(x_{2}=3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Grade der Faktoren addieren sich: \(2+2=4\). Multipliziert man aus, steht vorn tatsächlich \(x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}\). Also hat \(f\) den Grad 4.
Trotzdem gibt es nur zwei Nullstellen, weil sich \(f\) über den reellen Zahlen nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt: Der Faktor \(x^{2}+4\) bleibt als quadratischer Block stehen. Der Grad gibt deshalb nur eine Obergrenze an — eine Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen, aber nicht notwendig genau \(n\).
Zur Kontrolle: \(f(0)=(0+4)\cdot(0-2)\cdot(0-3)=4\cdot(-2)\cdot(-3)=24\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse also bei 24 und liegt dort deutlich oberhalb der \(x\)-Achse.