Anzahl Nullstellen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Faktoren nach ihrer Vielfachheit sortierenAFB I

Ordnen Sie jeden Faktor dem Verhalten zu, das der Graph an der zugehörigen Nullstelle zeigt. Entscheidend ist allein der Exponent.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1einfach — Graph schneidet

2doppelt — Graph berührt

3dreifach — Sattelpunkt

Der Exponent des Linearfaktors ist die Vielfachheit, und die Vielfachheit entscheidet über das Bild: ungerade Vielfachheit heißt Vorzeichenwechsel, der Graph geht durch die Achse; gerade Vielfachheit heißt kein Vorzeichenwechsel, der Graph tippt die Achse nur an. Bei Vielfachheit 3 kommt zum Durchgang noch eine waagerechte Tangente — der typische Sattelpunkt.

2Der Satz über die Anzahl der NullstellenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Wörter tragen den ganzen Satz. „Höchstens \(n\)“ begrenzt die Anzahl nach oben — mehr Nullstellen als der Grad geht nie. Und „mindestens eine bei ungeradem Grad“ ist eine Existenzaussage, die aus dem Globalverhalten folgt, nicht aus einer Rechnung.

3Die Fachsprache der VielfachheitAFB I

Setzen Sie die Begriffe so ein, dass ein korrekter Text entsteht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der , mit dem ein Linearfaktor im Produkt steht, heißt seine . Ist sie 1, so der Graph die \(x\)-Achse. Ist sie gerade, so er die Achse, ohne das Vorzeichen zu wechseln. Ist sie 3, entsteht ein auf der \(x\)-Achse. Zählt man alle Vielfachheiten zusammen, erhält man den der Funktion — und deshalb hat eine Funktion vom Grad \(n\) \(n\) Nullstellen.

Der letzte Satz ist der eigentliche Grund für den ganzen Satz: Weil die Summe der Vielfachheiten nie größer sein kann als der Grad, kann auch die Anzahl der verschiedenen Nullstellen den Grad nicht überschreiten. Jede mehrfache Nullstelle „verbraucht“ mehrere Linearfaktoren und senkt damit die mögliche Anzahl verschiedener Nullstellen.

4Den Grad aus der Produktform ablesenAFB I

Bestimmen Sie den Grad von \(f(x)=(x-1)^{3}(x+2)^{2}\left(x^{2}+4\right)\). Achten Sie auf den letzten Faktor.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Der Grad ist die Summe der Grade aller Faktoren: \(3+2+2=7\). Der Faktor \(x^{2}+4\) hat den Grad 2, obwohl er gar keine Nullstelle liefert — für den Grad zählt die höchste Potenz, nicht die Anzahl der Nullstellen. \(f\) hat also Grad 7, aber nur zwei verschiedene Nullstellen (\(1\) und \(-2\)) mit den Vielfachheiten 3 und 2.

5Grad und Anzahl auseinanderhaltenAFB II

Bestimmen Sie für jede Funktion den Grad und die Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

Funktion	Grad	Anzahl verschiedener Nullstellen
\(f(x)=(x+3)^{2}\cdot x\cdot(x-2)^{3}\)
\(g(x)=2(x-1)(x+1)(x-4)\)
\(h(x)=x^{2}\left(x^{2}+1\right)\)
\(k(x)=(x-2)^{4}\)

Der Grad ist immer die Summe der Exponenten — bei \(f\) also \(2+1+3=6\). Die Anzahl der verschiedenen Nullstellen zählt dagegen nur die Stellen selbst: \(-3\), \(0\) und \(2\), also drei. Bei \(h\) liefert \(x^{2}+1\) keine Nullstelle, weil \(x^{2}+1\ge 1\) für alle reellen \(x\) gilt; es bleibt allein \(x=0\). Und \(k\) zeigt den Extremfall: Grad 4, aber nur eine einzige Nullstelle mit der Vielfachheit 4.

6Vielfachheit und Verhalten zuordnenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x+2)^{2}(x-1)(x-3)^{3}\). Geben Sie zu jeder Nullstelle die Vielfachheit und das Verhalten des Graphen an.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Nullstelle	Vielfachheit	Verhalten des Graphen
\(x=-2\)
\(x=1\)
\(x=3\)

Die drei Fälle decken alles ab, was an einer Nullstelle passieren kann. Vielfachheit 1: gerader Durchgang. Gerade Vielfachheit: Umkehr, der Graph bleibt auf derselben Seite. Ungerade Vielfachheit größer als 1: Durchgang, aber mit waagerechter Tangente — der Graph legt sich kurz an die Achse an und wechselt dann doch die Seite. Der Grad von \(f\) ist übrigens \(2+1+3=6\).

7Alles über eine Funktion dritten GradesAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-0{,}5(x+1)^{2}(x-3)\). Markieren Sie alle zutreffenden Aussagen — fünf sind richtig.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Grad \(2+1=3\), Leitkoeffizient \(-0{,}5\). Der \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0)=-0{,}5\cdot 1\cdot(-3)=1{,}5\) — zwei Minuszeichen ergeben ein Plus. Bei \(x=-1\) steht der Faktor im Quadrat, also Berührung; bei \(x=3\) steht er einfach, also Schnitt. Und weil der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, läuft der Graph von links oben nach rechts unten.

8Vier Funktionen in der KreuztabelleAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Eigenschaften an. Pro Zeile können es keine, eine oder mehrere sein.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.

Funktion	Grad 4	berührt die \(x\)-Achse	genau 2 verschiedene Nullstellen
\(f(x)=(x-1)^{2}(x+2)^{2}\)
\(g(x)=x(x-1)(x+1)(x-3)\)
\(h(x)=(x+2)^{3}(x-5)\)
\(k(x)=x^{2}(x-4)\)

Alle vier Zeilen hängen an denselben zwei Fragen: Wie groß ist die Summe der Exponenten, und welche Exponenten sind gerade? \(h\) ist die interessanteste Zeile: Grad \(3+1=4\), zwei verschiedene Nullstellen — aber der Graph berührt die Achse nicht, denn Vielfachheit 3 ist ungerade und bedeutet einen Durchgang mit Sattelpunkt. Bei \(k\) ist der Grad nur \(2+1=3\).

9Term und Nullstellenbild verbindenAFB II

Verbinden Sie jeden Term mit der passenden Beschreibung seiner Nullstellen. Alle fünf Terme sehen ähnlich aus — entscheidend sind die Exponenten.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die ersten drei Terme haben alle den Grad 3, sehen im Graphen aber völlig verschieden aus: einmal Berührung links, einmal Berührung rechts, einmal drei saubere Schnitte. Die letzten beiden haben Grad 4 — einer davon mit einem Sattelpunkt bei \(-1\), der andere mit zwei Berührpunkten und deshalb ohne jeden Vorzeichenwechsel: \(x^{2}(x-2)^{2}\ge 0\) für alle \(x\).

10Welcher Graph gehört zum Term?AFB II

Bestimmen Sie zuerst rechnerisch die Nullstellen von \(f(x)=0{,}25(x+2)^{2}(x-2)\) mit ihren Vielfachheiten und den Wert \(f(0)\). Wählen Sie dann den passenden Graphen aus.

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.

\(f\) berührt die \(x\)-Achse bei \(-2\) (Vielfachheit 2) und schneidet sie bei \(2\); wegen \(f(0)=0{,}25\cdot 4\cdot(-2)=-2\) verläuft der Graph durch \((0\mid-2)\). Karte B vertauscht die Vielfachheiten — dort liegt die Berührung rechts. Karte C hat einen negativen Leitkoeffizienten und läuft deshalb spiegelverkehrt. Karte D zeigt drei einfache Nullstellen, also drei Durchgänge statt einer Berührung.

11Steckbrief mit BerührpunktAFB II

Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\), berührt sie bei \(x=1\) und geht durch \(P(0\mid-6)\). Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Welchen Grad hat \(f\) mindestens? (Ansatz: \(f(x)=a(x+3)(x-1)^{2}\))
Welchen Wert hat \((x+3)(x-1)^{2}\) an der Stelle \(x=0\)?
Aus \(3a=-6\) folgt: Wie groß ist \(a\)?
Welchen Wert hat \(f(2)\)?
Welchen Wert hat \(f(-1)\)?
Wie viele verschiedene Nullstellen hat \(f\)?

Die Berührung erzwingt den Exponenten 2 — deshalb steht \((x-1)^{2}\) im Ansatz und deshalb ist der Grad 3, nicht 2. Danach ist alles Einsetzen: \(f(0)=a\cdot 3\cdot 1=3a=-6\), also \(a=-2\); \(f(2)=-2\cdot 5\cdot 1=-10\); \(f(-1)=-2\cdot 2\cdot 4=-16\). Der fertige Term lautet \(f(x)=-2(x+3)(x-1)^{2}\).

12Vom Graphen zum Term und zurückAFB II

Ein Graph hat bei \(x=-3\) eine einfache, bei \(x=0\) eine doppelte und bei \(x=2\) eine einfache Nullstelle; außerdem geht er durch \(Q(1\mid-1)\). Bestimmen Sie die vier gefragten Größen.

Trage alle Werte ein — Minuszeichen gehören zum Wert. Enter prüft alle Felder auf einmal.

Grad von \(f\):Leitkoeffizient \(a\):\(f(-1)=\)\(f(3)=\)

Ansatz \(f(x)=a(x+3)x^{2}(x-2)\) — die doppelte Nullstelle bei 0 wird zu \(x^{2}\), der Grad ist also \(1+2+1=4\). Einsetzen von \(Q\): \(a\cdot 4\cdot 1\cdot(-1)=-4a=-1\), also \(a=0{,}25\). Damit \(f(-1)=0{,}25\cdot 2\cdot 1\cdot(-3)=-1{,}5\) und \(f(3)=0{,}25\cdot 6\cdot 9\cdot 1=13{,}5\). Ein häufiger Fehler ist der Ansatz \(a(x+3)(x)(x-2)\) ohne Quadrat — er hätte bei 0 einen Schnitt statt einer Berührung.

13Den Term selbst aufstellenAFB III

Gesucht ist die Funktion mit einer doppelten Nullstelle bei \(x=1\), einer einfachen bei \(x=-2\) und dem Leitkoeffizienten 3. Geben Sie den Term in Produktform an (Schreibweise z. B. 3(x-1)^2(x+2)).

Gib den Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Jede Nullstelle liefert ihren Linearfaktor, die Vielfachheit wird zum Exponenten, der Leitkoeffizient steht vorn: \(f(x)=3(x-1)^{2}(x+2)\). Ausmultipliziert wäre das \(3x^{3}-9x+6\) — derselbe Wert, aber die Nullstellen wären nicht mehr abzulesen. Deshalb verlangt die Aufgabe die Produktform: Sie ist die Schreibweise, in der die geforderten Eigenschaften sichtbar bleiben.

14Acht Behauptungen über eine FunktionAFB III

Ein Mitschüler beschreibt \(f(x)=2(x-1)^{2}(x+3)\). Klicken Sie genau die falschen Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler betreffen denselben Denkfehler in drei Verkleidungen: Der Grad sagt etwas über die Höchstzahl und über das Globalverhalten, die Vielfachheit dagegen über das Bild an der einzelnen Nullstelle. Korrekt ist: \(f(x)=2(x-1)^{2}(x+3)\) hat Grad 3, zwei verschiedene Nullstellen, berührt bei 1, schneidet bei \(-3\), es gilt \(f(0)=2\cdot 1\cdot 3=6\), und der Graph kommt von links unten.

15Die Skizze in der richtigen ReihenfolgeAFB III

Ordnen Sie die fünf Schritte so, wie man aus einem Term in Produktform eine Skizze gewinnt.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten aus den Exponenten ablesen.

2Die Nullstellen auf der \(x\)-Achse eintragen und an jeder notieren: schneiden, berühren oder Sattelpunkt.

3Grad und Leitkoeffizient bestimmen und daraus das Verhalten für \(x\to\pm\infty\) ableiten.

4Den \(y\)-Achsenabschnitt \(f(0)\) berechnen und als zusätzlichen Punkt eintragen.

5Die Teile zu einem durchgehenden Graphen verbinden, der zwischen zwei benachbarten Nullstellen das Vorzeichen behält.

Die Reihenfolge ist kein Geschmack, sondern Logik: Erst muss feststehen, wo etwas passiert (Nullstellen), dann was dort passiert (Vielfachheit), dann wo der Graph herkommt und hinläuft (Globalverhalten). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der letzte fehlende Stützpunkt — er legt fest, wie hoch der Bogen zwischen zwei Nullstellen liegt. Erst danach lohnt sich der Stift.

16Sieben Angaben nachprüfenAFB III

Prüfen Sie jede Zeile. Markieren Sie die falschen und tragen Sie die richtige Zahl ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Die drei Fehler verwechseln jedes Mal Grad und Anzahl. \((x-1)^{2}(x+4)^{3}\) hat den Grad 5, aber nur die beiden Nullstellen 1 und \(-4\). Bei \(\left(x^{2}+9\right)(x-2)\) liefert die erste Klammer gar nichts, weil \(x^{2}+9\ge 9\) ist — es bleibt die eine Nullstelle 2. Und \((x+5)^{6}\) hat trotz Grad 6 nur die eine Nullstelle \(-5\), sechsfach.

17Punkte im Graphen identifizierenAFB III

Der abgebildete Graph gehört zu \(f(x)=0{,}05(x+3)(x+1)^{2}(x-2)^{3}\). Bestimmen Sie die gefragten Punkte rechnerisch am Term und klicken Sie sie dann an.

Klicke das gesuchte Element an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Am Term steht alles: \((x+3)\) einfach → sauberer Schnitt bei \(-3\); \((x+1)^{2}\) doppelt → Berührung bei \(-1\); \((x-2)^{3}\) dreifach → Sattelpunkt bei \(2\), also ein Durchgang mit waagerechter Tangente. Der Grad ist \(1+2+3=6\), gerade und mit positivem Leitkoeffizienten — deshalb kommt der Graph von links oben und geht nach rechts oben.

18Den Term aus dem Graphenbild zusammensetzenAFB III

Ein Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-2\), schneidet sie bei \(x=1\) und bei \(x=3\) und geht durch \((0\mid-12)\). Setzen Sie den passenden Term zusammen — rechnen Sie \(a\) vorher aus.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Ansatz \(f(x)=a(x+2)^{2}(x-1)(x-3)\); die Berührung erzwingt das Quadrat. Einsetzen von \((0\mid-12)\): \(a\cdot 4\cdot(-1)\cdot(-3)=12a=-12\), also \(a=-1\). Der Grad ist \(2+1+1=4\) — gerade, mit negativem Leitkoeffizienten, der Graph kommt also von links unten und geht nach rechts unten. Die Distraktoren drehen jeweils ein Vorzeichen um: Zur Nullstelle \(-2\) gehört \((x+2)\), nicht \((x-2)\).

19Der Leitkoeffizient als BruchAFB III

Von \(f(x)=a(x-1)(x+2)^{2}\) ist bekannt, dass \(f(0)=-3\) gilt. Berechnen Sie \(a\) und geben Sie den Wert als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(f(0)=a\cdot(-1)\cdot 2^{2}=-4a\). Aus \(-4a=-3\) folgt \(a=\tfrac34\). Positiv, obwohl \(f(0)\) negativ ist — das zweite Minus steckt im Faktor \((0-1)\). Wer die Vorzeichen zu schnell zusammenzieht, landet bei \(-\tfrac34\) und bekommt damit einen Graphen, der spiegelverkehrt verläuft.

20Der Entscheidungsbaum zur VielfachheitAFB III

Betrachtet wird \(f(x)=(x+1)^{3}(x-4)\) an der Stelle \(x_{0}=-1\). Bestimmen Sie zuerst die Vielfachheit und arbeiten Sie sich dann durch den Baum.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

\((x+1)^{3}\) heißt Vielfachheit 3: ungerade, also Vorzeichenwechsel und damit ein Durchgang — aber größer als 1, deshalb zusätzlich eine waagerechte Tangente. Das Ergebnis ist ein Sattelpunkt auf der \(x\)-Achse. An der zweiten Nullstelle \(x=4\) läuft derselbe Baum auf „schneidet“ hinaus, weil dort die Vielfachheit 1 ist.

Übungsaufgaben

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