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5.3.2 · Interaktive Übungen

Übungen: Wendestellen bestimmen

Zwanzig interaktive Aufgaben zum vollständigen Verfahren — \(f''(x)=0\) lösen, den Kandidaten mit \(f'''\) oder dem VZW-Kriterium bestätigen und den Wendepunkt mit beiden Koordinaten angeben.

ZurückZur ErklärungDie Definition, beide hinreichenden Kriterien und das durchgerechnete Beispiel noch einmal zum Nachlesen
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Übungsaufgaben

Der rote Faden dieser Seite ist der Unterschied zwischen notwendig und hinreichend. Los geht es mit Aussagen, dem Verfahren als Bauplan und einer kompletten Rechenkette. In der Mitte stehen Ableitungen als Terme, vier Wendestellen zum Ausrechnen, eine Fehlersuche und der Fall, in dem das \(f'''\)-Kriterium versagt. Zum Schluss wird es anspruchsvoller: eine Wendestelle als Bruch, zwei Wendestellen gleichzeitig, der Entscheidungsbaum und eine Parameteraufgabe. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Sechs Aussagen zum EinstiegAFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ noch einmal.
Aussage 1 von 6

Die vierte und die sechste Aussage sind die typischen Stolperstellen: Eine Wendestelle betrifft die Krümmung, nicht die Steigung — und „keine Aussage“ ist etwas anderes als „nein“.
2Das Verfahren in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Setzen Sie den Ablauf einer Wendestellenuntersuchung aus den Bausteinen zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Die übrig gebliebenen Bausteine gehören zur Extremstellenrechnung oder sind schlicht falsch: \(f''(x_W)\neq0\) würde eine Wendestelle gerade ausschließen, und der \(y\)-Wert kommt niemals aus einer Ableitung.
3Wendepunkt von \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x+2\)AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x+2\).

Bestimmen Sie den Wendepunkt in fünf Schritten. Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f''(0)\)?
  2. Wie groß ist \(f''(5)\)?
  3. An welcher Stelle \(x_W\) gilt \(f''(x)=0\)?
  4. Welchen Wert hat \(f'''(3)\)?
  5. Wie groß ist die zweite Koordinate \(f(3)\)?
\(f'(x)=3x^{2}-18x+15\), \(f''(x)=6x-18\), \(f'''(x)=6\). Aus \(6x-18=0\) folgt \(x_W=3\); wegen \(f'''(3)=6\neq0\) ist das eine echte Wendestelle. Und \(f(3)=27-81+45+2=-7\), also \(W(3\mid-7)\). Die beiden Probewerte \(f''(0)=-18\) und \(f''(5)=12\) sind die VZW-Kontrolle: von Rechts- auf Linkskrümmung.
4Notwendig und hinreichendAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Ist \(x_W\) eine Wendestelle, so gilt \(f''(x_W)=0\). Diese Bedingung ist — sie liefert nur eine Liste von . Ob dort wirklich die Krümmung kippt, entscheidet erst eine Bedingung. Entweder vergleicht man das von \(f''\) kurz links und kurz rechts der Stelle, oder man setzt in die Ableitung ein und prüft, ob sie dort ungleich ist. Der zugehörige Punkt auf dem Graphen heißt .

Übrig bleiben „erste“ und „Extrempunkt“. Die erste Ableitung spielt bei der Wendestellensuche keine Rolle — und ein Wendepunkt ist gerade kein Extrempunkt.
5Zweite und dritte AbleitungAFB II

Vier Funktionen sind gegeben.

Bestimmen Sie jeweils \(f''(x)\) und \(f'''(x)\). Schreibweise: Potenzen mit ^, also 12x^2-12x.

In jedes Feld gehört ein Term in \(x\) beziehungsweise eine Zahl. Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f(x)\)\(f''(x)\)\(f'''(x)\)
\(x^{3}-6x^{2}+4x\)
\(x^{4}-2x^{3}\)
\(-x^{4}+4x^{2}\)
\(0{,}25x^{4}+x^{3}\)
Beim dritten Ableiten verschwindet jede Konstante — deshalb ist \(f'''\) in der ersten Zeile einfach \(6\). Und der Summand \(4x\) in der ersten Funktion taucht schon in \(f''\) nicht mehr auf: Alles, was höchstens linear ist, hat auf die Krümmung keinen Einfluss.
6Vier Wendestellen berechnenAFB II

Jede der vier Funktionen hat genau eine Wendestelle.

Berechnen Sie jeweils \(x_W\). Zwei Ergebnisse sind keine ganzen Zahlen — geben Sie sie als Dezimalzahl an.

Trage alle Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft alle Felder auf einmal.
Der Reihe nach: \(f''(x)=6x-24\Rightarrow x_W=4\); \(f''(x)=12x+18\Rightarrow x_W=-1{,}5\); \(f''(x)=-6x+6\Rightarrow x_W=1\); \(f''(x)=2x-5\Rightarrow x_W=2{,}5\). Bei allen vier Funktionen ist \(f'''\) konstant und ungleich null — die notwendige Bedingung reicht hier also bereits aus.
7Was stimmt über Wendestellen?AFB I

Markieren Sie alle zutreffenden Aussagen. Es sind mehrere richtig.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei der Parabel ist \(f''(x)=2a\) konstant und ungleich null — die notwendige Bedingung ist nirgends erfüllt, es gibt also keinen Wendepunkt. Der zweite Punkt beschreibt genau den Sattelpunkt aus 5.3.3: ein Wendepunkt, bei dem zusätzlich \(f'(x_W)=0\) gilt.
8Fehlersuche: zwei KandidatenAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{4}-4x^{3}+6\) auf Wendestellen.

Klicken Sie genau die falschen Zeilen an. Die richtigen müssen stehen bleiben.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Der zweite Fehler ist der gefährlichere: Aus \(f'''(x_0)=0\) folgt nie „keine Wendestelle“, sondern immer nur „das Kriterium entscheidet nicht“. Dann muss das VZW-Kriterium ran.
9Wenn das \(f'''\)-Kriterium versagtAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{4}\) an der Stelle \(x_0=0\).

Spielen Sie den Ablauf durch. Falsch angeklickte Antworten werden gesperrt.

Wähle bei jedem Schritt die passende Fortsetzung. Der Weg wird darunter protokolliert.
    \(f(x)=x^{4}\) ist das Standardgegenbeispiel: \(f''(0)=0\) ist erfüllt, trotzdem gibt es keine Wendestelle. Der Graph ist überall linksgekrümmt und wird bei \(x=0\) nur ganz kurz flach.
    10Eine Wendestelle als BruchAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=2x^{3}-x^{2}+4x\).

    Berechnen Sie die Wendestelle und geben Sie sie als vollständig gekürzten Bruch an. Ein Minus gehört in den Zähler, eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1.

    Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.
    \(f'(x)=6x^{2}-2x+4\), daraus \(f''(x)=12x-2\). Aus \(12x-2=0\) folgt \(12x=2\) und damit \(x_W=\tfrac{2}{12}=\tfrac16\). Wegen \(f'''(x)=12\neq0\) ist das wirklich eine Wendestelle. Der Summand \(4x\) hat auf das Ergebnis keinen Einfluss — er verschwindet schon in \(f''\).
    11Fünf Wendestellen der Größe nachAFB II

    Fünf Funktionen sind gegeben, jede mit genau einer Wendestelle.

    Berechnen Sie jeweils \(x_W\) und ordnen Sie die Funktionen aufsteigend nach dieser Stelle — die kleinste nach oben.

    Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
    1\(f(x)=x^{3}+6x^{2}\)
    2\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}\)
    3\(f(x)=x^{3}\)
    4\(f(x)=x^{3}-3x^{2}\)
    5\(f(x)=x^{3}-9x^{2}\)
    Die zweiten Ableitungen lauten \(6x+12\), \(12x+6\), \(6x\), \(6x-6\) und \(6x-18\); die Wendestellen also \(-2\), \(-0{,}5\), \(0\), \(1\) und \(3\). Faustregel für \(f(x)=x^{3}+bx^{2}\): \(x_W=-\tfrac{b}{3}\) — bei \(2x^{3}+3x^{2}\) muss man den Faktor \(2\) aber mitrechnen.
    12Vier Funktionen an der Stelle \(x_0=0\)AFB II

    Vier Funktionen werden jeweils an der Stelle \(x_0=0\) untersucht.

    Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Die letzte Spalte fragt nach dem tatsächlichen Ergebnis — notfalls mit dem VZW-Kriterium.

    Ein Klick setzt und entfernt ein Kreuz. Enter setzt ebenfalls, Pfeiltasten wandern.
    Funktion\(f''(0)=0\)\(f'''(0)\neq0\)\(x_0=0\) ist Wendestelle
    \(f(x)=x^{3}\)
    \(f(x)=x^{4}\)
    \(f(x)=x^{2}\)
    \(f(x)=x^{5}\)
    Die letzte Zeile ist der interessante Fall: \(f''(x)=20x^{3}\) ist links von null negativ und rechts positiv — ein echter Vorzeichenwechsel, also eine Wendestelle. Das \(f'''\)-Kriterium versagt hier (\(f'''(0)=0\)), das VZW-Kriterium nicht. Bei \(x^{4}\) dagegen ist \(f''(x)=12x^{2}\) auf beiden Seiten positiv — keine Wendestelle. Zwei Zeilen, zwei Mal „keine Aussage“, zwei verschiedene Ergebnisse.
    13Drei markante Punkte eintragenAFB II

    Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=x^{3}-3x^{2}\).

    Berechnen Sie Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt und setzen Sie sie nacheinander in das Koordinatensystem. Alle drei haben ganzzahlige Koordinaten.

    Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

    \(f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\) liefert die Stellen \(0\) und \(2\); \(f''(x)=6x-6\) liefert \(x_W=1\). Die Funktionswerte sind \(f(0)=0\), \(f(2)=-4\) und \(f(1)=-2\). Der Wendepunkt liegt hier genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt — das ist bei jeder Funktion dritten Grades so, ein guter Kontrollblick.
    14Reicht die Information?AFB II

    Ordnen Sie jede Karte dem passenden Korb zu. Gefragt ist immer: Was folgt daraus für die Stelle \(x_0\)?

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Wendestelle
    2keine Wendestelle
    3so nicht entscheidbar
    \(f''(x)=(x-2)^{2}\) wird bei \(x=2\) zwar null, ist aber links und rechts positiv — die Parabel berührt die Achse nur. Und \(f'(x_0)=0\) sagt über die Krümmung überhaupt nichts: Das ist eine Aussage über die Steigung.
    15Zwei Wendestellen auf einmalAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\).

    Untersuchen Sie die Funktion vollständig auf Wendestellen. Die zweite Ableitung ist quadratisch — es gibt zwei Kandidaten.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
    1. Wie groß ist \(f''(1)\)?
    2. Wie lautet die kleinere Nullstelle von \(f''\)?
    3. Wie lautet die größere Nullstelle von \(f''\)?
    4. Welchen Wert hat \(f'''(0)\)?
    5. Wie groß ist \(f(2)\)?
    \(f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)\) und \(f'''(x)=24x-24\). Beide Kandidaten bestehen die hinreichende Bedingung: \(f'''(0)=-24\neq0\) und \(f'''(2)=24\neq0\). Die Wendepunkte sind \(W_1(0\mid0)\) und \(W_2(2\mid-16)\); dazwischen ist der Graph rechtsgekrümmt.
    16Der EntscheidungsbaumAFB II

    Untersucht wird \(f(x)=x^{5}\) an der Stelle \(x_0=0\). Man rechnet nach: \(f''(x)=20x^{3}\), also \(f''(0)=0\), und \(f'''(x)=60x^{2}\), also \(f'''(0)=0\).

    Führen Sie den Baum für diesen Fall bis zum richtigen Ergebnis.

    Beantworte die Fragen mit „Ja“ oder „Nein“. Mit „Neu“ startest du den Baum noch einmal.
      \(f''(x)=20x^{3}\) ist links von null negativ und rechts positiv — der Vorzeichenwechsel ist da, also liegt bei \(x=0\) eine Wendestelle. Das \(f'''\)-Kriterium führt hier in die Sackgasse „keine Aussage“; nur der linke Ast des Baumes bringt die Entscheidung.
      17Die dritte Ableitung als TermAFB III

      Gegeben ist \(f(x)=x^{5}-2x^{4}\).

      Geben Sie \(f'''(x)\) vollständig zusammengefasst an.

      Schreibweise: Potenzen mit ^. Enter prüft.
      \(f'(x)=5x^{4}-8x^{3}\), \(f''(x)=20x^{3}-24x^{2}\), \(f'''(x)=60x^{2}-48x\). Zur Probe: \(f''(x)=4x^{2}(5x-6)\) wird null bei \(x=0\) und \(x=1{,}2\). Bei \(1{,}2\) ist \(f'''\neq0\), bei \(0\) dagegen \(f'''(0)=0\) — dort müsste man wieder mit dem VZW-Kriterium weiterarbeiten.
      18Vorzeichentabelle mit zwei WendestellenAFB II

      Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-6x^{2}\), also \(f''(x)=12x^{2}-12\).

      Füllen Sie die Tabelle aus. Setzen Sie in jedem Bereich eine Probestelle ein.

      Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
      \(x<-1\)\(x=-1\)\(-1\(x=1\)\(x>1\)
      Vorzeichen von \(f''\)
      Aussage über den Graphen
      Probestellen: \(f''(-2)=48-12=36>0\), \(f''(0)=-12<0\), \(f''(2)=36>0\). An beiden Rändern wechselt das Vorzeichen wirklich, also liegen dort Wendestellen — die Wendepunkte sind \(W_{1}(-1\mid-5)\) und \(W_{2}(1\mid-5)\).
      19Nur die zweite KoordinateAFB II

      Gegeben ist \(f(x)=2x^{3}-12x^{2}+5x-1\).

      Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts.

      Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
      \(f'(x)=6x^{2}-24x+5\) und \(f''(x)=12x-24\), also \(x_W=2\). Der \(y\)-Wert kommt aus \(f\), nicht aus einer Ableitung: \(f(2)=2\cdot8-12\cdot4+5\cdot2-1=16-48+10-1=-23\). Der Wendepunkt ist \(W(2\mid-23)\). Wer versehentlich in \(f''\) einsetzt, erhält \(0\) — ein untrügliches Zeichen für die Verwechslung.
      20Rückwärts: den Parameter bestimmenAFB III

      Gegeben ist \(f(x)=x^{4}+a\,x^{3}+2x\) mit einem Parameter \(a\in\mathbb{R}\).

      Bestimmen Sie \(a\) so, dass der Graph an der Stelle \(x=-1\) eine Wendestelle hat.

      Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
      \(f'(x)=4x^{3}+3a\,x^{2}+2\) und \(f''(x)=12x^{2}+6a\,x\). Die notwendige Bedingung \(f''(-1)=0\) ergibt \(12-6a=0\), also \(a=2\). Kontrolle mit der hinreichenden Bedingung: \(f'''(x)=24x+6a=24x+12\), und \(f'''(-1)=-24+12=-12\neq0\) — es ist wirklich eine Wendestelle. Der Summand \(2x\) spielt dabei keine Rolle.
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