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Textaufgaben: Wendestellen bestimmen

Fünf Sachaufgaben vom Bakterienwachstum bis zur Modellschar — Wendestellen nachweisen, sie als Stelle stärkster Änderung deuten und eine verbreitete Fehldeutung widerlegen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben läuft die Rechnung nach demselben Muster: \(f″(x)=0\) liefert die Kandidaten, \(f‴(x_W)\neq 0\) sichert das Ergebnis ab. Anspruchsvoll ist die Deutung — ein Wendepunkt bedeutet stärkste Änderung, nicht Umkehr. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Das Bakterienwachstum

AFB I

In einer Nährlösung wird der Bestand \(B\) einer Bakterienkultur (in Millionen) über acht Tage beobachtet:

\[B(t)=-t^{3}+9t^{2}+10\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 8\]

mit der Zeit \(t\) in Tagen (Material M1).

M1Bestand der Bakterienkultur
t in TagenB in Mio.12345678255075100125stärkstes Wachstum

Der Bestand wächst durchgehend — ab der markierten Stelle aber mit abnehmender Geschwindigkeit.

  1. Bestimme \(B′\), \(B″\) und \(B‴\).
  2. Bestimme die Wendestelle und weise sie mit der hinreichenden Bedingung nach.
  3. Deute den Wendepunkt im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Dreimal hintereinander ableiten; \(B‴\) ist hier eine Konstante.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B′(t)=-3t^{2}+18t\), \(B″(t)=-6t+18\) und \(B‴(t)=-6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Notwendige Bedingung: \(B″(t)=0\). Hinreichend ist anschließend \(B‴(t_W)\neq 0\).Wie bei den Extrempunkten liefert die notwendige Bedingung nur einen Kandidaten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(-6t+18=0\) liefert \(t_W=3\). Wegen \(B‴(3)=-6\neq 0\) liegt dort tatsächlich eine Wendestelle. Mit \(B(3)=-27+81+10=64\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(3\mid 64)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne zusätzlich \(B′\) an der Wendestelle — dieser Wert ist die größte Wachstumsrate.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(B′(3)=-27+54=27\). Antwortsatz: Am dritten Tag wächst die Kultur mit \(27\,\tfrac{\text{Mio.}}{\text{Tag}}\) am schnellsten. Davor nimmt die tägliche Zunahme noch zu, danach wird sie kleiner — der Bestand wächst weiter, aber immer langsamer.

2

Der Bootsrumpf

AFB II

Der Querschnitt eines Bootsrumpfs wird beschrieben durch

\[f(x)=x^{4}-6x^{2}+5\qquad\text{mit}\quad -2{,}5\le x\le 2{,}5\]

Dabei ist \(x\) der Abstand von der Mittelachse in Metern und \(f(x)\) die Höhe in Dezimetern.

  1. Bestimme \(f″\) und alle Kandidaten für Wendestellen.
  2. Weise mit \(f‴\) nach, dass an beiden Stellen tatsächlich Wendestellen vorliegen.
  3. Gib die Wendepunkte an und beschreibe den Krümmungsverlauf.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(f′(x)=4x^{3}-12x\); leite noch einmal ab und klammere aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f″(x)=12x^{2}-12=12\,(x^{2}-1)=12\,(x-1)(x+1)\). Kandidaten: \(x_1=-1\) und \(x_2=1\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(f‴(x)=24x\). Setze beide Kandidaten ein — beide Werte müssen von null verschieden sein.\(f‴(x_W)\neq 0\) sichert den Krümmungswechsel, ganz analog zum \(f″\)-Kriterium bei Extrempunkten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f‴(x)=24x\); also \(f‴(-1)=-24\neq 0\) und \(f‴(1)=24\neq 0\). An beiden Stellen liegt eine Wendestelle vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Höhe liefert \(f\), nicht \(f″\). Beschreibe anschließend die drei Krümmungsbereiche der Reihe nach.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f(\pm 1)=1-6+5=0\), also \(W_1(-1\mid 0)\) und \(W_2(1\mid 0)\). Auf \(]-2{,}5;-1[\) ist \(f″>0\): linksgekrümmt. Auf \(]-1;1[\) ist \(f″<0\): rechtsgekrümmt. Auf \(]1;2{,}5[\) wieder linksgekrümmt. Antwortsatz: Der Rumpf ist in der Mitte nach außen gewölbt und geht an den beiden Wendepunkten in die nach innen gezogenen Flanken über.

3

Der Balken unter Last

AFB II

Die Durchbiegung \(d\) eines Balkens (in Millimetern) wird durch

\[d(x)=x^{4}\qquad\text{mit}\quad -2\le x\le 2\]

beschrieben; \(x\) ist der Abstand von der Balkenmitte in Metern. Ein Praktikant vermutet bei \(x=0\) eine Wendestelle, weil dort \(d″(0)=0\) gilt.

  1. Bestimme \(d″\) und den Kandidaten für eine Wendestelle.
  2. Weise nach, dass bei \(x=0\) keine Wendestelle vorliegt.
  3. Erläutere, warum \(f″(x_0)=0\) nur eine notwendige Bedingung ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(d′(x)=4x^{3}\), also \(d″(x)=12x^{2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(d″(x)=12x^{2}\). Aus \(12x^{2}=0\) folgt der einzige Kandidat \(x=0\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(d‴(0)=0\) — das hinreichende Kriterium schweigt. Untersuche stattdessen das Vorzeichen von \(d″\) links und rechts von null.Eine Wendestelle verlangt einen Wechsel der Krümmung, nicht nur \(d″=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(d‴(x)=24x\) und \(d‴(0)=0\); das hinreichende Kriterium liefert keine Entscheidung. Vorzeichenprüfung: \(d″(-1)=12>0\) und \(d″(1)=12>0\) — und allgemein \(d″(x)=12x^{2}\ge 0\) für alle \(x\). Die Krümmung wechselt also nicht; der Balken ist auf der ganzen Länge linksgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt keine Wendestelle, sondern der Tiefpunkt der Durchbiegung.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Rolle von \(f″(x)=0\) bei Wendestellen mit der Rolle von \(f′(x)=0\) bei Extremstellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f″(x_0)=0\) folgt aus der Existenz einer Wendestelle, umgekehrt aber nicht. Die Gleichung liefert deshalb nur eine Kandidatenliste. Ob dort wirklich ein Krümmungswechsel stattfindet, entscheidet erst \(f‴(x_0)\neq 0\) oder ein Vorzeichenwechsel von \(f″\). Antwortsatz: Die Vermutung des Praktikanten verwechselt notwendige mit hinreichender Bedingung — genau wie bei \(f′(x_0)=0\) und den Extremstellen.

4

„Ab dem Wendepunkt sinkt der Verbrauch“

AFB III

Der jährliche Ölverbrauch \(V\) eines Landes (in Petajoule) wird über zwanzig Jahre modelliert durch

\[V(t)=-0{,}1t^{3}+3t^{2}+20t+500\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 20\]

In einer Zeitung steht: „Die Kurve hat nach zehn Jahren ihren Wendepunkt — ab da sinkt der Verbrauch.“ (Material M2)

M2Ölverbrauch über zwanzig Jahre
t in JahrenV in PJ4812162050070090011001300Wendepunkt

Nach dem Wendepunkt steigt der Graph weiter — nur eben flacher.

  1. Bestimme die Wendestelle und weise sie nach.
  2. Berechne \(V′(10)\) und untersuche das Vorzeichen von \(V′\) auf dem gesamten Definitionsbereich.
  3. Nimm zur Zeitungsaussage begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(V″(t)=-0{,}6t+6\); die dritte Ableitung ist konstant.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(V′(t)=-0{,}3t^{2}+6t+20\), \(V″(t)=-0{,}6t+6\) und \(V‴(t)=-0{,}6\). Aus \(-0{,}6t+6=0\) folgt \(t_W=10\); wegen \(V‴(10)=-0{,}6\neq 0\) liegt dort eine Wendestelle. Mit \(V(10)=900\) ergibt sich \(W(10\mid 900)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(V′(t)=0\) an und prüfe, ob eine Lösung im Intervall \([0;20]\) liegt.Solange \(V′>0\) gilt, wächst \(V\) — unabhängig davon, was \(V″\) tut.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V′(10)=-30+60+20=50>0\). Nullstellen von \(V′\): \(-0{,}3t^{2}+6t+20=0\) liefert \(t^{2}-20t-\tfrac{200}{3}=0\), also \(t\approx 22{,}9\) (die negative Lösung entfällt). Diese Stelle liegt außerhalb von \([0;20]\); folglich gilt \(V′(t)>0\) auf dem gesamten Definitionsbereich.

Hinweis zu Aufgabe c)
Trenne die beiden Aussagen: „Die Zunahme wird kleiner“ und „Der Verbrauch sinkt“.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Der Wendepunkt bei \(t=10\) markiert die Stelle mit der größten Zunahme: Bis dahin wächst der jährliche Zuwachs, danach wird er kleiner. Der Verbrauch selbst steigt aber weiter, denn \(V′\) bleibt auf \([0;20]\) positiv — von \(900\,\text{PJ}\) im zehnten auf \(1300\,\text{PJ}\) im zwanzigsten Jahr. Antwortsatz: Am Wendepunkt sinkt nicht der Verbrauch, sondern das Tempo seines Wachstums.

5

Eine Schar von Modellkurven

AFB III

Eine Schar von Modellkurven ist gegeben durch

\[f_a(x)=x^{3}-3a\,x^{2}+2\qquad\text{mit}\quad a\in\mathbb{R}\]

Eine Schülerin vermutet: „Für einen geeigneten Wert von \(a\) hat die Kurve keinen Wendepunkt.“

  1. Bestimme \(f_a″\) und \(f_a‴\).
  2. Bestimme die Wendestelle und den Wendepunkt in Abhängigkeit von \(a\).
  3. Nimm zur Vermutung der Schülerin begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Parameter \(a\) wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=3x^{2}-6a\,x\), \(f_a″(x)=6x-6a\) und \(f_a‴(x)=6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze die gefundene Wendestelle in \(f_a\) ein; die \(y\)-Koordinate hängt dann nur noch von \(a\) ab.Ein Ergebnis in Abhängigkeit von \(a\) ist eine vollständige Antwort — es muss keine Zahl herauskommen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(6x-6a=0\) liefert \(x_W=a\). Einsetzen: \(f_a(a)=a^{3}-3a\cdot a^{2}+2=-2a^{3}+2\). Der Wendepunkt lautet also \(W\bigl(a\mid 2-2a^{3}\bigr)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe, ob es einen Wert von \(a\) gibt, für den die hinreichende Bedingung verletzt ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Vermutung ist falsch. Es gilt \(f_a‴(x)=6\neq 0\) für jedes \(a\) und jedes \(x\); die hinreichende Bedingung ist an der Stelle \(x_W=a\) also stets erfüllt. Jede Kurve der Schar besitzt damit genau einen Wendepunkt — er wandert mit \(a\) auf der Kurve \(y=2-2x^{3}\) entlang. Antwortsatz: Es gibt keinen Wert von \(a\), für den der Wendepunkt verschwindet.