Bedingung: VZW-Kriterium: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die Vorzeichentabelle lesenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\) mit \(f'(x)=3x^{2}-3\). Die Kandidatenstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Die drei Zeilen sagen dasselbe in drei Sprachen — Vorzeichen, Verlauf, Punktart.

	\(x<-1\)	\(x=-1\)	\(-1	\(x=1\)	\(x>1\)
Vorzeichen von \(f'\)
Verlauf von \(G_f\)
Punktart

Der Wechsel von \(+\) nach \(-\) bei \(x=-1\) bedeutet: erst bergauf, dann bergab — Hochpunkt. Bei \(x=1\) ist es umgekehrt. Zwischen den Kandidatenstellen liegt kein besonderer Punkt, dort fällt der Graph nur.

A2Einen Testwert einsetzenAFB I

Zu \(f(x)=x^{3}-3x\) gehört \(f'(x)=3x^{2}-3\). Berechne den Testwert \(f'(-2)\).

Nur einsetzen und ausrechnen — das Vorzeichen des Ergebnisses ist das, worauf es ankommt. Enter prüft.

\(f'(-2)=3\cdot 4-3=9\). Das Ergebnis ist positiv, links von \(x=-1\) steigt der Graph also. Beim Quadrieren darf das Minus nicht verloren gehen: \((-2)^{2}=4\), nicht \(-4\).

A3Eine vollständige VZW-UntersuchungAFB II

Untersuche \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) auf Extrempunkte. Arbeite die Kette von oben nach unten ab.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste frei. Bei den Wortfeldern genügt das Wort, z. B. Hochpunkt. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-12x+9\). Kleinere Kandidatenstelle:
Größere Kandidatenstelle:
Testwert links: \(f'(0)=\)
Testwert dazwischen: \(f'(2)=\)
Testwert rechts: \(f'(4)=\)
Welche Punktart liegt bei \(x=1\) vor?
Und bei \(x=3\)?
Berechne den y-Wert des Tiefpunkts: \(f(3)=\)

\(f'(x)=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Die Testwerte ergeben das Muster \(+\,,\,-\,,\,+\): bei \(x=1\) also ein Hochpunkt, bei \(x=3\) ein Tiefpunkt. Die Punkte sind \(H(1\mid 4)\) und \(T(3\mid 0)\). Testwerte wählt man immer zwischen den Kandidatenstellen — \(x=2\) liegt genau dazwischen.

A4Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zum VZW-Kriterium.

Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Aussage 1 von 5

Aussage 2 und 4 beschreiben die beiden häufigsten Bedienfehler beim VZW-Kriterium.

A5Vorzeichenmuster deutenAFB II

Jede Karte beschreibt, was an einer Stelle mit \(f'(x_0)=0\) links und rechts davon passiert. Ordne zu.

Karte anklicken, dann Korb anklicken — oder mit Enter auswählen und die Ziffer des Korbs drücken.

1Hochpunkt

2Tiefpunkt

3Sattelpunkt

Auf den Betrag der Testwerte kommt es nie an, nur auf das Vorzeichen. Bei der letzten Karte sind beide Werte positiv — kein Wechsel, also ein Sattelpunkt, obwohl die Ableitung an der Stelle selbst null ist.

A6Testwerte und ihre VorzeichenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5\) mit \(f'(x)=3x^{2}-6x-9\). Fülle die Tabelle aus. Trage in der rechten Spalte \(1\) für positiv, \(-1\) für negativ und \(0\) für null ein.

Alle zehn Felder ausfüllen, dann prüfen.

Stelle \(x\)	\(f'(x)\)	Vorzeichen (1, −1 oder 0)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(3\)
\(4\)

Das Muster \(+\,,\,0\,,\,-\,,\,0\,,\,+\) liest sich von links nach rechts wie eine Geschichte: steigen, Hochpunkt bei \(x=-1\), fallen, Tiefpunkt bei \(x=3\), wieder steigen. Genau dafür ist die Tabelle da.

A7Ein negativer LeitkoeffizientAFB II

Untersuche \(f(x)=-x^{3}+3x\) vollständig auf Extrempunkte. Bei den Wortfeldern genügt Hochpunkt bzw. Tiefpunkt.

Sechs Felder, ein Klick prüft alles.

kleinere KandidatenstelleArt des Punktes dorty-Wert dortgrößere KandidatenstelleArt des Punktes dorty-Wert dort

\(f'(x)=-3x^{2}+3=-3(x^{2}-1)\), also \(x=\pm 1\). Testwerte: \(f'(-2)=-9\), \(f'(0)=3\), \(f'(2)=-9\). Muster \(-\,,\,+\,,\,-\): bei \(x=-1\) ein Tiefpunkt \(T(-1\mid -2)\), bei \(x=1\) ein Hochpunkt \(H(1\mid 2)\). Der negative Leitkoeffizient dreht die gewohnte Reihenfolge um.

A8Fehlerhafte ArgumentationenAFB II

Vier der sieben Zeilen sind falsch. Klicke genau die falschen an.

Die richtigen Zeilen musst du stehen lassen.

Zeile 1 und 3 verwechseln die Muster, Zeile 5 verwechselt Voraussetzung und Entscheidung. Zeile 7 ist der Grund dafür, dass ein einziger Testwert pro Intervall reicht.

A9Der EntscheidungswegAFB II

Spiele den Weg durch, den man an einer Kandidatenstelle geht. Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Merke dir die Reihenfolge: Kandidaten → Testwerte → Vorzeichen → Punktart → y-Wert. Der letzte Schritt wird am häufigsten vergessen.

A10Falsche Schlussfolgerungen korrigierenAFB III

In jeder Zeile steht ein Vorzeichenmuster und die daraus gezogene Folgerung. Markiere die falschen Zeilen und trage die richtige Punktart ein (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt).

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf.

Zeile 2 und 6 zeigen dasselbe: gleiche Vorzeichen auf beiden Seiten, also kein Wechsel und damit ein Sattelpunkt. Zeile 4 ist ein glatter Vertauschungsfehler — \(+\rightarrow-\) ist immer ein Hochpunkt.

A11Der Merksatz zum VZWAFB I

Setze die Begriffe so ein, dass der Merksatz stimmt.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken.

Ist \(x_0\) eine Stelle mit \(f'(x_0)=0\), so entscheidet das von \(f'\) links und rechts daneben. Wechselt es von \(+\) nach \(-\), liegt ein vor. Wechselt es von \(-\) nach \(+\), liegt ein vor. Bleibt das Vorzeichen , so liegt ein vor — also kein Extrempunkt. Die Werte, die man dazu einsetzt, heißen und müssen zwischen benachbarten Kandidatenstellen liegen.

Der Satz enthält alle drei Fälle. Der dritte wird am häufigsten übersehen — und ist genau der, den die notwendige Bedingung allein nicht ausschließen kann.

A12Was trifft zu?AFB II

Vier Funktionen, vier Eigenschaften. Kreuze in jeder Zeile alles Zutreffende an.

Es können mehrere Kreuze pro Zeile sein — oder auch keines.

Funktion	hat einen Hochpunkt	hat einen Tiefpunkt	hat einen Sattelpunkt	hat gar keine waagerechte Tangente
\(f(x)=x^{3}-3x\)
\(f(x)=x^{3}\)
\(f(x)=x^{2}-4x+1\)
\(f(x)=x^{3}+3x\)
\(f(x)=-x^{4}+2x^{2}\)

\(f(x)=x^{3}+3x\) hat \(f'(x)=3x^{2}+3>0\) — nie null, also nirgends eine waagerechte Tangente. Bei \(-x^{4}+2x^{2}\) ist \(f'(x)=-4x^{3}+4x=-4x(x-1)(x+1)\): zwei Hochpunkte bei \(x=\pm1\) und ein Tiefpunkt bei \(x=0\), deshalb sind beide Kreuze richtig.

A13Drei Kandidaten auf einmalAFB III

Untersuche \(f(x)=x^{4}-8x^{2}\). Die Ableitung hat drei Nullstellen — das ergibt vier Intervalle und vier Testwerte.

Der Reihe nach. Bei den Wortfeldern genügt das Wort. Enter prüft.

\(f'(x)=4x^{3}-16x=4x(x^{2}-4)\). Kleinste Kandidatenstelle:
Mittlere Kandidatenstelle:
Größte Kandidatenstelle:
Testwert \(f'(-3)=\)
Testwert \(f'(-1)=\)
Testwert \(f'(1)=\)
Testwert \(f'(3)=\)
Punktart bei \(x=0\)?
y-Wert bei \(x=2\): \(f(2)=\)

Das Muster lautet \(-\,,\,+\,,\,-\,,\,+\): Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=0\), Tiefpunkt bei \(x=2\). Die Punkte sind \(T_1(-2\mid-16)\), \(H(0\mid 0)\) und \(T_2(2\mid-16)\) — der Graph ist achsensymmetrisch, deshalb sind beide Tiefpunkte gleich hoch.

A14Welche Schlüsse sind erlaubt?AFB II

Bekannt ist: \(f'(4)=0\), \(f'(3{,}9)=-0{,}2\) und \(f'(4{,}1)=0{,}3\). Welche Aussagen folgen daraus?

Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Aus dem Wechsel \(-\rightarrow+\) folgt ein Tiefpunkt — aber nur ein lokaler. Ob der Graph woanders noch tiefer liegt, sagt das VZW-Kriterium nicht. Und über den Funktionswert \(f(4)\) macht es überhaupt keine Aussage.

A15Der Ablauf in der richtigen ReihenfolgeAFB II

Ordne die Schritte einer vollständigen Extrempunktbestimmung mit dem VZW-Kriterium.

Ziehen oder mit den Pfeil-Buttons verschieben.

1Die Ableitung \(f'\) bilden.

2\(f'(x)=0\) lösen und alle Kandidatenstellen notieren.

3Die Kandidatenstellen der Größe nach ordnen und die Intervalle dazwischen bilden.

4In jedem Intervall einen Testwert wählen und das Vorzeichen von \(f'\) bestimmen.

5Aus dem Vorzeichenwechsel an jeder Stelle die Punktart ablesen.

6Die y-Werte berechnen und die Extrempunkte als Punkte angeben.

Der dritte Schritt wird gern übersprungen — er ist aber der Grund dafür, dass die Testwerte an der richtigen Stelle liegen. Bei drei Kandidatenstellen braucht man vier Testwerte, nicht drei.

A16Wenn ein Kandidat kein Extrempunkt istAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{5}-5x^{3}\). Wie viele Extremstellen hat der Graph?

Erst alle Kandidaten bestimmen, dann jeden einzeln mit dem VZW-Kriterium prüfen. Enter prüft.

\(f'(x)=5x^{4}-15x^{2}=5x^{2}(x^{2}-3)\). Kandidaten sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\). Bei \(x=0\) ist \(5x^{2}\) auf beiden Seiten positiv und \(x^{2}-3\) auf beiden Seiten negativ — kein Vorzeichenwechsel, also ein Sattelpunkt. Nur bei \(-\sqrt3\) und \(+\sqrt3\) wechselt das Vorzeichen. Antwort: 2 Extremstellen bei drei Kandidaten.

A17Erst ausmultiplizierenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=(x-1)^{2}\,(x+2)\). Gib \(f'(x)\) in ausmultiplizierter Form an.

Zuerst \(f\) ausmultiplizieren, dann ableiten. Schreibweise: 3x^2-3.

\((x-1)^{2}(x+2)=(x^{2}-2x+1)(x+2)=x^{3}-3x+2\), also \(f'(x)=3x^{2}-3\). Die Kandidatenstellen sind damit \(x=\pm1\). Bei \(x=1\) hat \(f\) eine doppelte Nullstelle — und genau dort liegt der Tiefpunkt \(T(1\mid 0)\).

A18Aussagen einordnenAFB II

Ordne jede Aussage dem Fall zu, den sie beschreibt.

Karte auswählen, dann Bereich anklicken. Mit der Tastatur: Enter, dann 1–3.

1 Hochpunkt

2 Tiefpunkt

3 Sattelpunkt

Jede Spalte enthält dieselbe Aussage dreimal — einmal in der Sprache der Ableitung, einmal in der Sprache des Verlaufs und einmal in der Sprache des Graphen. Wer alle drei Formulierungen ineinander übersetzen kann, hat das Kriterium verstanden.

A19Die Vorzeichentabelle selbst schreibenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac13x^{3}-\tfrac12x^{2}-6x\) mit \(f'(x)=x^{2}-x-6\). Die Kandidatenstellen sind \(x=-2\) und \(x=3\). Trage in die obere Zeile die berechneten Werte von \(f'\) ein und in die untere Zeile das Vorzeichen als +, - oder 0.

In die obere Zeile Zahlen, in die untere Zeile eines der Zeichen +, - oder 0. Enter prüft.

Stelle	\(x=-3\)	\(x=-2\)	\(x=0\)	\(x=3\)	\(x=4\)
\(f'(x)\)
Vorzeichen

\(f'(-3)=9+3-6=6\), \(f'(0)=-6\), \(f'(4)=16-4-6=6\). Das Muster \(+\,,\,0\,,\,-\,,\,0\,,\,+\) liefert: Hochpunkt bei \(x=-2\), Tiefpunkt bei \(x=3\).

A20Der EntscheidungsbaumAFB III

Zu \(f(x)=x^{3}-3x^{2}\) ist die Kandidatenstelle \(x=0\) gegeben. Beantworte die Fragen und prüfe, ob das Ergebnis am Ende stimmt.

Beantworte jede Frage mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis für diesen Fall.

\(f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\), also Kandidaten bei \(x=0\) und \(x=2\). Links von \(0\): \(f'(-0{,}1)=0{,}63>0\); rechts davon: \(f'(0{,}1)=-0{,}57<0\). Muster \(+\rightarrow-\), also ein Hochpunkt \(H(0\mid 0)\). Bei \(x=2\) würde derselbe Baum zum Tiefpunkt \(T(2\mid-4)\) führen.

Übungen: Das VZW-Kriterium

Übungsaufgaben