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Textaufgaben: Das VZW-Kriterium anwenden

Fünf Sachaufgaben von der Algenblüte bis zur Düngermenge — Vorzeichentabelle aufstellen, über jeden Kandidaten entscheiden und eine fehlerhafte Testrechnung widerlegen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben steht dieselbe Frage: Wechselt \(f′\) an der Kandidatenstelle das Vorzeichen — und wenn ja, in welche Richtung? Der Wert von \(f′\) an der Stelle selbst hilft nicht weiter; er ist dort immer null. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Algenblüte

AFB I

In einem Teich wird die Biomasse \(B\) der Algen (in Kilogramm) über sechs Wochen beobachtet:

\[B(t)=t^{3}-9t^{2}+24t\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 6\]

Dabei ist \(t\) die Zeit in Wochen (Material M1).

M1Biomasse der Algen über sechs Wochen
t in WochenB in kg12345610203040t = 2t = 4

Zwischen den beiden markierten Stellen fällt der Graph — davor und danach steigt er.

  1. Bestimme \(B′\) und alle Kandidaten für Extremstellen.
  2. Entscheide mit dem VZW-Kriterium, welche Art von Extrempunkt jeweils vorliegt.
  3. Gib beide Extrempunkte an und deute sie im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammere nach dem Ableiten den Faktor 3 aus und faktorisiere die Klammer.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B′(t)=3t^{2}-18t+24=3\,(t^{2}-6t+8)=3\,(t-2)(t-4)\). Kandidaten: \(t_1=2\) und \(t_2=4\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Zerlege den Definitionsbereich an den Kandidaten und setze aus jedem Bereich eine Teststelle in \(B′\) ein — notiere nur das Vorzeichen.Wechsel von \(+\) nach \(-\) ergibt einen Hochpunkt, von \(-\) nach \(+\) einen Tiefpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Teststellen: \(B′(1)=3\cdot(-1)\cdot(-3)=9>0\), \(B′(3)=3\cdot 1\cdot(-1)=-3<0\), \(B′(5)=3\cdot 3\cdot 1=9>0\).

Bei \(t=2\) wechselt \(B′\) von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt. Bei \(t=4\) wechselt \(B′\) von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die \(y\)-Koordinate eines Extrempunkts liefert immer \(B\), nie \(B′\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(B(2)=8-36+48=20\) und \(B(4)=64-144+96=16\), also \(H(2\mid 20)\) und \(T(4\mid 16)\). Antwortsatz: Nach zwei Wochen erreicht die Algenblüte mit 20 kg ein erstes Zwischenhoch, geht bis zur vierten Woche auf 16 kg zurück und wächst danach ungebremst weiter.

2

Der Fischbestand

AFB II

Der Bestand \(N\) einer Fischart in einem See (in Tausend Stück) wird über sechs Jahre modelliert durch

\[N(t)=0{,}25t^{4}-2t^{3}+4t^{2}+10\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 6\]

mit der Zeit \(t\) in Jahren.

  1. Bestimme \(N′\) und faktorisiere den Term vollständig.
  2. Untersuche alle Kandidaten mit einer Vorzeichentabelle.
  3. Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang und begründe, warum \(t=0\) gesondert behandelt werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(N′(t)=t^{3}-6t^{2}+8t\). Klammere \(t\) aus und zerlege die Klammer mit der \(p\)-\(q\)-Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N′(t)=t^{3}-6t^{2}+8t=t\,(t^{2}-6t+8)=t\,(t-2)(t-4)\). Nullstellen: \(t=0\), \(t=2\) und \(t=4\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Bei drei Nullstellen entstehen vier Bereiche — im Definitionsbereich bleiben davon drei übrig.Praktisch ist die faktorweise Betrachtung: Notiere für jeden Bereich die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Auf \(]0;2[\): \(+\cdot-\cdot- = +\). Auf \(]2;4[\): \(+\cdot+\cdot- = -\). Auf \(]4;6[\): \(+\cdot+\cdot+ = +\).

Bei \(t=2\) Wechsel von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt \(H(2\mid 14)\). Bei \(t=4\) Wechsel von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt \(T(4\mid 10)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(t=0\) ist der linke Rand des Definitionsbereichs — links davon gibt es keinen Bereich zum Testen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Antwortsatz: Der Bestand wächst in den ersten beiden Jahren auf 14 000 Fische, geht bis zum vierten Jahr auf 10 000 zurück und nimmt danach wieder zu. Die Stelle \(t=0\) ist zwar Nullstelle von \(N′\), aber der linke Rand von \(D=[0;6]\). Ein Vorzeichenwechsel setzt einen Bereich auf beiden Seiten voraus; deshalb kann dort kein Extrempunkt im Sinne des VZW-Kriteriums liegen. Der Randwert \(N(0)=10\) muss stattdessen beim Vergleich der globalen Extrema berücksichtigt werden.

3

Das Straßenprofil

AFB II

Eine Passstraße steigt auf einem Abschnitt gleichmäßig an. Ihr Höhenprofil wird beschrieben durch

\[g(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-5\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 5\]

Dabei ist \(x\) die waagerechte Entfernung in Kilometern und \(g(x)\) die Höhe in Hektometern.

  1. Bestimme \(g′\) und den Kandidaten für eine Extremstelle.
  2. Untersuche den Vorzeichenwechsel von \(g′\) an dieser Stelle.
  3. Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Nach dem Ausklammern von 3 steht in der Klammer eine binomische Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(g′(x)=3x^{2}-12x+12=3\,(x^{2}-4x+4)=3\,(x-2)^{2}\). Einziger Kandidat: \(x=2\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Quadrat ist nie negativ — das entscheidet die Frage nach dem Vorzeichenwechsel bereits ohne Teststellen.Bleibt das Vorzeichen gleich, liegt weder Hoch- noch Tiefpunkt vor, sondern ein Sattelpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle \(x\neq 2\) gilt \((x-2)^{2}>0\), also \(g′(x)>0\). Teststellen: \(g′(1)=3>0\) und \(g′(3)=3>0\). Es findet kein Vorzeichenwechsel statt; bei \(x=2\) liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt \(S(2\mid 3)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Waagerechte Tangente heißt hier: Die Straße verläuft für einen Moment eben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Antwortsatz: Die Straße steigt auf dem gesamten Abschnitt an. Nach zwei Kilometern verläuft sie auf einer Höhe von 300 m für einen Moment eben, danach geht es weiter bergauf — einen höchsten oder tiefsten Punkt gibt es im Inneren nicht.

4

Zu weit weg getestet

AFB III

Zur Funktion \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2\) mit \(0\le x\le 5\) rechnet ein Schüler:

„Es ist \(f′(x)=3x^{2}-12x+9\), also sind \(x=1\) und \(x=3\) die Kandidaten. Für \(x=1\) teste ich links \(f′(0)=9>0\) und rechts \(f′(5)=24>0\). Kein Vorzeichenwechsel — bei \(x=1\) liegt also ein Sattelpunkt.“

  1. Bestimme die Kandidaten und kontrolliere die Rechnung des Schülers bis dahin.
  2. Widerlege seine Schlussfolgerung durch eine korrekte Untersuchung von \(x=1\).
  3. Formuliere eine Regel dafür, wie Teststellen zu wählen sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Faktorisiere \(f′\); die Kandidaten selbst hat der Schüler richtig bestimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f′(x)=3x^{2}-12x+9=3\,(x^{2}-4x+3)=3\,(x-1)(x-3)\). Die Kandidaten \(x=1\) und \(x=3\) sind korrekt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe, welche Kandidaten zwischen seinen beiden Teststellen \(0\) und \(5\) liegen.Zwischen zwei Nullstellen von \(f′\) kann das Vorzeichen erneut wechseln — ein Test über beide hinweg verdeckt das.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Fehler steckt in der Wahl der Teststellen: \(x=5\) liegt jenseits des zweiten Kandidaten \(x=3\), sodass zwei Vorzeichenwechsel übersprungen werden. Korrekt testet man in den Bereichen \(]0;1[\) und \(]1;3[\): \(f′(0{,}5)=3\cdot(-0{,}5)\cdot(-2{,}5)=3{,}75>0\) und \(f′(2)=3\cdot 1\cdot(-1)=-3<0\). Der Wechsel von \(+\) nach \(-\) zeigt: Bei \(x=1\) liegt ein Hochpunkt \(H(1\mid 6)\), kein Sattelpunkt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Kandidaten zerlegen den Definitionsbereich. Eine Teststelle gehört immer in genau einen dieser Bereiche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Regel: Zuerst alle Kandidaten bestimmen und den Definitionsbereich an ihnen zerlegen. Anschließend aus jedem entstandenen Teilbereich genau eine Teststelle wählen — nie eine Teststelle, die einen weiteren Kandidaten überspringt. Nur so bildet die Vorzeichentabelle den Verlauf lückenlos ab.

5

Mehr Dünger, mehr Ertrag?

AFB III

Der Ertrag \(E\) eines Feldes (in dt je Hektar) hängt von der ausgebrachten Düngermenge \(x\) (in kg je Hektar) ab:

\[E(x)=-0{,}01x^{3}+1{,}2x^{2}-36x+500\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 80\]

Ein Vertreter wirbt: „Mehr Dünger bringt mehr Ertrag — düngen Sie so viel wie möglich.“ (Material M2)

M2Ertrag in Abhängigkeit von der Düngermenge
x in kg/haE in dt/ha20406080200300400500x = 20x = 60

Der Graph fällt zunächst, steigt dann bis zu einem Höchstwert und fällt danach wieder.

  1. Bestimme \(E′\) und faktorisiere den Term.
  2. Entscheide mit dem VZW-Kriterium über beide Kandidaten und gib die Extrempunkte an.
  3. Nimm zur Werbeaussage des Vertreters begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammere \(-0{,}03\) aus; in der Klammer bleibt \(x^{2}-80x+1200\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E′(x)=-0{,}03x^{2}+2{,}4x-36=-0{,}03\,(x^{2}-80x+1200)=-0{,}03\,(x-20)(x-60)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Achte auf den negativen Vorfaktor: Er dreht das Vorzeichen des Produkts der beiden Klammern um.Bequem ist die faktorweise Betrachtung \(-0{,}03\cdot(x-20)\cdot(x-60)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Teststellen: \(E′(0)=-36<0\), \(E′(40)=-0{,}03\cdot 20\cdot(-20)=12>0\), \(E′(80)=-0{,}03\cdot 60\cdot 20=-36<0\).

Bei \(x=20\) Wechsel von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt \(T(20\mid 180)\). Bei \(x=60\) Wechsel von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt \(H(60\mid 500)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche den Ertrag am Hochpunkt mit dem Ertrag am rechten Rand \(x=80\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Zwar wächst der Ertrag zwischen 20 und 60 kg je ha, doch außerhalb dieses Bereichs fällt er: Bei \(x=80\) beträgt er nur noch \(E(80)=180\,\tfrac{\text{dt}}{\text{ha}}\) — genauso viel wie am Tiefpunkt und deutlich weniger als die \(500\,\tfrac{\text{dt}}{\text{ha}}\) bei \(60\,\tfrac{\text{kg}}{\text{ha}}\). Antwortsatz: Der Ertrag ist bei 60 kg je ha am größten; jede weitere Düngergabe senkt ihn wieder. Die Werbeaussage ist damit widerlegt.