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5.3.3 · Interaktive Übungen

Übungen: Sattelpunkte

Zwanzig interaktive Aufgaben zum dritten Fall: waagerechte Tangente ohne Extrempunkt — mit VZW-Kriterium, \(f'''\)-Kriterium und vielen Rechnungen, in denen \(f'\) ein Quadrat ist.

ZurückZur ErklärungDie Definition, das VZW-Kriterium und der komplett durchgerechnete Sattelpunkt noch einmal zum Nachlesen
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Übungsaufgaben

Diese Seite dreht sich um eine einzige Unterscheidung: Wann ist eine waagerechte Tangente ein Extrempunkt und wann nur eine Pause? Nach den Begriffen und einer Zuordnung folgen Rechnungen — stationäre Stellen, Werte von \(f''\) und \(f'''\), eine Fehlersuche und eine Funktion mit zwei ganz verschiedenen Fällen. Dazwischen liegen die beiden Gegenbeispiele \(x^{4}\) und \(x^{5}\), an denen sichtbar wird, warum „keine Aussage“ etwas anderes ist als „nein“. Zum Schluss wird rückwärts gerechnet. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Sattelpunkt in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Wörtern aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Eine Stelle mit \(f'(x_0)=0\) heißt . Dort kann ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein liegen. Ein Sattelpunkt ist ein mit der Steigung : Der Graph läuft davor und danach in Richtung, deshalb ist er Extrempunkt. Weil das ebene Stück wie eine Terrasse im Hang aussieht, sagt man auch . Entschieden wird der Fall mit dem -Kriterium — bleibt das Vorzeichen von \(f'\) gleich, liegt ein Sattelpunkt vor.

Übrig bleiben „Extrempunkt“ und „die entgegengesetzte“. Beides beschreibt genau das Gegenteil: An einem Extrempunkt dreht der Graph die Richtung um, an einem Sattelpunkt behält er sie bei.
2Bedingung und FallAFB I

Verbinden Sie jede Bedingung mit dem Fall, den sie beschreibt.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
Die vierte Zeile ist der Normalfall eines Wendepunkts: Die Krümmung kippt, der Graph läuft aber schräg hindurch. Nur wenn zusätzlich \(f'(x_0)=0\) gilt, wird daraus ein Sattelpunkt. Und die fünfte Zeile ist der Fall, in dem beide schnellen Kriterien versagen — dann hilft nur das VZW-Kriterium.
3Ein Sattelpunkt Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-5\).

Untersuchen Sie die Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte. Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f'(1)\)?
  2. Wie groß ist \(f'(3)\)?
  3. An welcher Stelle \(x_0\) gilt \(f'(x)=0\)?
  4. Welchen Wert hat \(f''(2)\)?
  5. Wie groß ist \(f(2)\)?
\(f'(x)=3x^{2}-12x+12=3(x-2)^{2}\) ist ein Quadrat und deshalb nie negativ: Die beiden Proben \(f'(1)=3\) und \(f'(3)=3\) liefern denselben positiven Wert — kein Vorzeichenwechsel. Wegen \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=6\neq0\) ist \(x=2\) eine Wendestelle, zusammen mit \(f'(2)=0\) also ein Sattelpunkt \(S(2\mid3)\).
4Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ noch einmal.
Aussage 1 von 6

Die dritte Aussage ist der wichtigste Merkposten dieser Seite: Das schnelle \(f''\)-Kriterium ist bei Sattelpunkten grundsätzlich nutzlos.
5Hoch, tief oder Sattel?AFB II

Ordnen Sie jede Karte dem richtigen Korb zu. In allen neun Fällen liegt eine stationäre Stelle vor — gefragt ist, welche Art.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Hochpunkt
2Tiefpunkt
3Sattelpunkt
Bei \(f'(x)=(x-4)(x-6)\) ist \(f'\) zwischen \(4\) und \(6\) negativ und rechts von \(6\) positiv — also \(-\to+\) und damit ein Tiefpunkt. Steht ein Minus davor, dreht sich alles um. Die beiden Quadrate \(3(x-1)^{2}\) und \(-2(x+3)^{2}\) wechseln das Vorzeichen dagegen nie: zwei Sattelpunkte — einer in einem steigenden, einer in einem fallenden Graphen.
6Vier Funktionen mit SattelpunktAFB II

Jede der vier Funktionen hat genau eine stationäre Stelle \(x_0\).

Bestimmen Sie \(x_0\) sowie die Werte \(f''(x_0)\) und \(f'''(x_0)\). Tipp: Die erste Ableitung lässt sich jedes Mal als Quadrat schreiben.

In jedes Feld gehört eine Zahl. Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f(x)\)\(x_0\)\(f''(x_0)\)\(f'''(x_0)\)
\(x^{3}-3x^{2}+3x\)
\(-x^{3}+3x^{2}-3x\)
\(x^{3}-9x^{2}+27x\)
\(2x^{3}+12x^{2}+24x\)
Der Reihe nach ist \(f'(x)=3(x-1)^{2}\), \(-3(x-1)^{2}\), \(3(x-3)^{2}\) und \(6(x+2)^{2}\). In allen vier Fällen ist \(f''(x_0)=0\) — das \(f''\)-Kriterium versagt also jedes Mal, während \(f'''(x_0)\neq0\) den Sattelpunkt sofort bestätigt. Die zweite Funktion zeigt: Ein Sattelpunkt kann auch in einem durchgehend fallenden Graphen sitzen.
7Welche Aussagen stimmen?AFB I

Markieren Sie alle zutreffenden Aussagen. Es sind mehrere richtig.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Gegenbeispiel zur fünften Aussage ist \(f(x)=x^{4}\): Dort gilt \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\), trotzdem liegt ein Tiefpunkt vor. Und \(f(x)=x^{3}-3x\) zeigt, dass eine Funktion dritten Grades auch zwei Extrempunkte statt eines Sattelpunkts haben kann.
8Fehlersuche im NachweisAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+7\).

Klicken Sie genau die falschen Zeilen an. Die richtigen müssen stehen bleiben.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Beide Fehler sind typisch: einmal ein Kriterium überdehnt („\(f''=0\) also Sattelpunkt“), einmal in die falsche Funktion eingesetzt. Die Zeilen 4 und 5 zeigen, wie der Nachweis richtig aussieht.
9Zwei stationäre Stellen, zwei verschiedene FälleAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\).

Untersuchen Sie die Funktion vollständig. Es gibt zwei stationäre Stellen — an der einen liegt ein Sattelpunkt, an der anderen ein Extrempunkt.

Trage alle sechs Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)\) liefert \(x=0\) und \(x=3\). An der Stelle \(0\) ist \(f''(0)=0\) — das \(f''\)-Kriterium versagt, aber \(f'''(0)=-24\neq0\) beweist den Sattelpunkt \(S(0\mid0)\). An der Stelle \(3\) ist \(f''(3)=36>0\), also ein Tiefpunkt \(T(3\mid-27)\). Dieselbe Funktion, zwei völlig verschiedene Fälle.
10Vier Funktionen, vier SpaltenAFB II

Untersucht werden vier Funktionen an der angegebenen Stelle \(x_0\).

Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Die letzten beiden Spalten fragen nach dem tatsächlichen Ergebnis.

Ein Klick setzt und entfernt ein Kreuz. Enter setzt ebenfalls, Pfeiltasten wandern.
Funktion\(f'(x_0)=0\)\(f''(x_0)=0\)ExtrempunktSattelpunkt
\(f(x)=x^{3}\), \(x_0=0\)
\(f(x)=x^{4}\), \(x_0=0\)
\(f(x)=x^{2}\), \(x_0=0\)
\(f(x)=x^{3}-3x\), \(x_0=0\)
Die ersten beiden Zeilen sind der Kern: Beide erfüllen \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\), trotzdem ist die eine ein Sattelpunkt und die andere ein Tiefpunkt. Die letzte Zeile ist der Gegenpol: \(f''(0)=0\) ohne \(f'(0)=0\) — dort liegt ein ganz normaler Wendepunkt mit schräger Tangente, weder Extrem- noch Sattelpunkt.
11Wo sitzt der Sattelpunkt?AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-12x^{2}+48x-60\).

Berechnen Sie die Stelle des Sattelpunkts und stellen Sie den Regler darauf ein. Der Regler muss exakt stimmen.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten.
010
\(f'(x)=3x^{2}-24x+48=3(x-4)^{2}\) wird nur bei \(x=4\) null und ist sonst positiv — kein Vorzeichenwechsel. Mit \(f''(x)=6x-24\) folgt \(f''(4)=0\), und \(f'''(x)=6\neq0\) bestätigt die Wendestelle. Der Sattelpunkt ist \(S(4\mid4)\), denn \(f(4)=64-192+192-60=4\).
12Die erste Ableitung als TermAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+27x-15\).

Geben Sie \(f'(x)\) vollständig zusammengefasst an — als Summe, nicht als Produkt.

Schreibweise: Potenzen mit ^. Höchstens drei Summanden. Enter prüft.
\(f'(x)=3x^{2}-18x+27=3(x-3)^{2}\). In der Produktform sieht man sofort, was los ist: Die Ableitung ist ein Vielfaches eines Quadrats, wird also nur bei \(x=3\) null und ist überall sonst positiv. Damit ist \(S(3\mid f(3))=S(3\mid12)\) ein Sattelpunkt.
13Immer, nie oder manchmal?AFB II

Ordnen Sie jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Gemeint ist jeweils: Gilt das an jedem Sattelpunkt \(x_S\)?

Karte anklicken, dann einen Bereich anklicken. Mit der Tastatur: Enter, dann 1–3.
1 gilt immer
2 gilt nie
3 kann, muss aber nicht
Interessant ist \(f'''(x_S)\neq0\): Das ist ein hinreichendes Kriterium, aber keine Eigenschaft jedes Sattelpunkts. Bei \(f(x)=x^{5}\) sind \(f'(0)\), \(f''(0)\) und \(f'''(0)\) alle null — und trotzdem liegt ein Sattelpunkt vor, wie das VZW-Kriterium zeigt. Und der Graph kann links und rechts auch beide Male fallen, etwa bei \(f(x)=-x^{3}\).
14Wenn alle schnellen Kriterien versagenAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{4}\) an der Stelle \(x_0=0\).

Spielen Sie den Ablauf durch. Falsch angeklickte Antworten werden gesperrt.

Wähle bei jedem Schritt die passende Fortsetzung. Der Weg wird darunter protokolliert.
    \(f(x)=x^{4}\) ist das Musterbeispiel dafür, dass „\(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=0\)“ noch lange keinen Sattelpunkt bedeutet. Hier liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid0)\) — nachgewiesen nur mit dem VZW-Kriterium.
    15Funktion und markanter PunktAFB II

    Berechnen Sie zu jeder Funktion den genannten Punkt und decken Sie die Paare auf. Sie haben 16 Versuche.

    Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen — mit Enter und den Pfeiltasten geht es auch über die Tastatur.
    Versuche: 0 von 16
    Zwei Sattelpunkte, ein gewöhnlicher Wendepunkt und zwei Extrempunkte. Bei \(x^{3}+3x^{2}+3x\) ist \(f'(x)=3(x+1)^{2}\) — wieder ein Quadrat, also wieder ein Sattelpunkt. Bei \(x^{3}-3x^{2}\) dagegen ist \(f'(1)=3-6=-3\neq0\): Der Wendepunkt liegt schräg im fallenden Ast.
    16Ein Sattelpunkt im fallenden GraphenAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=-x^{3}+3x^{2}-3x+4\).

    Untersuchen Sie die Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte. Achten Sie besonders auf die Vorzeichen.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
    1. Wie groß ist \(f'(0)\)?
    2. Wie groß ist \(f'(2)\)?
    3. An welcher Stelle \(x_0\) gilt \(f'(x)=0\)?
    4. Welchen Wert hat \(f'''(1)\)?
    5. Wie groß ist \(f(1)\)?
    \(f'(x)=-3x^{2}+6x-3=-3(x-1)^{2}\) ist nie positiv: Die Funktion fällt auf ganz \(\mathbb{R}\) und legt bei \(x=1\) nur eine Pause ein. Wegen \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=-6\neq0\) ist \(S(1\mid3)\) ein Sattelpunkt — diesmal in einem fallenden Graphen. Der Fall aus Aufgabe 3 sah genauso aus, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.
    17Fünf Sattelpunkte der Größe nachAFB II

    Alle fünf Funktionen haben genau einen Sattelpunkt.

    Berechnen Sie jeweils die Stelle \(x_S\) und ordnen Sie die Funktionen aufsteigend danach.

    Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
    1\(f(x)=x^{3}+12x^{2}+48x\)
    2\(f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x\)
    3\(f(x)=x^{3}\)
    4\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x\)
    5\(f(x)=x^{3}-9x^{2}+27x\)
    Die Ableitungen lassen sich alle als Quadrat schreiben: \(3(x+4)^{2}\), \(3(x+1)^{2}\), \(3x^{2}\), \(3(x-2)^{2}\) und \(3(x-3)^{2}\). Die Sattelstellen sind also \(-4\), \(-1\), \(0\), \(2\) und \(3\). Wer die binomische Formel erkennt, spart sich hier jede Diskriminante.
    18Fünf Datenlagen einordnenAFB II

    Entscheiden Sie für jede Zeile, was aus den angegebenen Werten folgt. Eine der fünf Zeilen lässt sich mit diesen Angaben nicht entscheiden.

    Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
    Gegeben an der Stelle \(x_0\)Was folgt daraus?
    \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)=-3\)
    \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)=7\)
    \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)=0\), \(f'''(x_0)=5\)
    \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)=0\), \(f'''(x_0)=0\)
    \(f'(x_0)=4\), \(f''(x_0)=0\), \(f'''(x_0)=2\)
    Zeile 4 ist der Fall, in dem beide schnellen Kriterien schweigen — dort hilft nur noch das VZW-Kriterium; \(x^{4}\) und \(x^{5}\) zeigen, dass beide Ausgänge möglich sind. Zeile 5 beschreibt einen gewöhnlichen Wendepunkt: Die Krümmung kippt, aber die Tangente ist mit der Steigung \(4\) alles andere als waagerecht.
    19Den Nachweis aufschreibenAFB I

    Für eine Funktion wurde berechnet: \(f'(1)=0\), \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=6\).

    Setzen Sie den Antwortsatz aus den Bausteinen zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

    Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
    Der Baustein \(f''(1)\neq0\) ist die klassische Verwechslung: Er würde einen Extrempunkt begründen, nicht einen Sattelpunkt. Für den Sattelpunkt müssen beide ersten Ableitungen null sein und erst die dritte darf von null verschieden sein.
    20Rückwärts: den Parameter bestimmenAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+3x\) mit einem Parameter \(a\in\mathbb{R}\).

    Bestimmen Sie den positiven Wert von \(a\), für den der Graph einen Sattelpunkt besitzt.

    Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
    \(f'(x)=3x^{2}+2ax+3\). Ein Sattelpunkt verlangt, dass \(f'\) nur eine doppelte Nullstelle hat — sonst gäbe es einen Vorzeichenwechsel. Die Diskriminante muss also null sein: \((2a)^{2}-4\cdot3\cdot3=0\), also \(4a^{2}=36\) und \(a=\pm3\). Gefragt ist \(a=3\). Probe: \(f'(x)=3x^{2}+6x+3=3(x+1)^{2}\), \(f''(x)=6x+6\) mit \(f''(-1)=0\) und \(f'''(-1)=6\neq0\) — Sattelpunkt bei \(x=-1\). Für \(a=-3\) ergibt sich derselbe Fall gespiegelt bei \(x=1\).
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