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Textaufgaben: Sattelpunkte erkennen und nachweisen

Fünf Sachaufgaben vom Wanderweg bis zur Bahnprofilschar — den Nachweis in drei Zeilen führen, Sattelpunkt von Extrempunkt unterscheiden und eine beliebte Merkregel widerlegen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben steht dieselbe Frage: Waagerechte Tangente — und dann? Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung null und damit kein Extrempunkt. Genau diese Unterscheidung wird hier geprüft. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der Wanderweg

AFB I

Das Höhenprofil eines Wanderwegs wird beschrieben durch

\[h(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+1\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 3\]

Dabei ist \(x\) die zurückgelegte Strecke in Kilometern und \(h(x)\) die Höhe in Hundert Metern (Material M1).

M1Höhenprofil des Wanderwegs
x in kmh in 100 m12324681012waagerecht bei x = 1

Bei \(x=1\) verläuft der Weg waagerecht — und steigt davor wie danach an.

  1. Bestimme \(h′\), \(h″\) und \(h‴\).
  2. Weise nach, dass bei \(x=1\) ein Sattelpunkt liegt.
  3. Deute den Sattelpunkt im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Alle drei Ableitungen entstehen durch schlichtes Ableiten; \(h‴\) ist konstant.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h′(x)=3x^{2}-6x+3=3\,(x-1)^{2}\), \(h″(x)=6x-6\) und \(h‴(x)=6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Nachweis besteht aus drei Zeilen: \(h′(x_S)=0\), \(h″(x_S)=0\) und \(h‴(x_S)\neq 0\).Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung null — deshalb müssen beide ersten Ableitungen dort verschwinden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h′(1)=0\) und \(h″(1)=0\) und \(h‴(1)=6\neq 0\). Damit liegt bei \(x_S=1\) ein Sattelpunkt. Mit \(h(1)=1-3+3+1=2\) ergibt sich \(S(1\mid 2)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Höhe liefert \(h\); vergiss die Einheit nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Antwortsatz: Nach einem Kilometer verläuft der Weg auf einer Höhe von 200 m für einen Moment eben; danach geht es weiter bergauf. Es handelt sich also nicht um eine Kuppe: Der höchste Punkt der Wanderung liegt am Ende bei \(h(3)=10\), also auf 1000 m.

2

Drei Modellprofile im Vergleich

AFB II

Drei Profile besitzen jeweils an der Stelle \(x_0\) eine waagerechte Tangente:

\[f_1(x)=x^{3}-3x^{2}+3x\,,\quad f_2(x)=x^{3}-3x\,,\quad f_3(x)=x^{4}\]

Bei \(f_1\) ist \(x_0=1\), bei \(f_3\) ist \(x_0=0\).

  1. Bestimme für jede Funktion die Ableitung und alle Kandidaten für Extremstellen.
  2. Entscheide für jede Stelle, ob dort ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt liegt.
  3. Begründe, warum \(f″(x_0)=0\) allein keine Entscheidung erlaubt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Faktorisiere jede Ableitung — bei \(f_1\) und \(f_3\) entsteht dabei ein Quadrat bzw. eine höhere Potenz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_1′(x)=3x^{2}-6x+3=3\,(x-1)^{2}\) mit dem Kandidaten \(x=1\).

\(f_2′(x)=3x^{2}-3=3\,(x-1)(x+1)\) mit den Kandidaten \(x=-1\) und \(x=1\).

\(f_3′(x)=4x^{3}\) mit dem Kandidaten \(x=0\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze das VZW-Kriterium; das \(f″\)-Kriterium versagt bei \(f_1\) und \(f_3\).Ohne Vorzeichenwechsel Sattelpunkt, mit Wechsel Hoch- oder Tiefpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f_1\): \(f_1′(x)\ge 0\) für alle \(x\), kein Vorzeichenwechsel → Sattelpunkt \(S(1\mid 1)\).

\(f_2\): \(f_2′(-2)=9>0\), \(f_2′(0)=-3<0\), \(f_2′(2)=9>0\) → Hochpunkt \(H(-1\mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(1\mid-2)\).

\(f_3\): \(f_3′(-1)=-4<0\), \(f_3′(1)=4>0\) → Wechsel von \(-\) nach \(+\), also Tiefpunkt \(T(0\mid 0)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(f_1\) und \(f_3\): In beiden Fällen ist \(f″(x_0)=0\) — das Ergebnis ist aber verschieden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei \(f_1\) und \(f_3\) gilt jeweils \(f′(x_0)=0\) und \(f″(x_0)=0\) — und dennoch liegt einmal ein Sattelpunkt und einmal ein Tiefpunkt vor. Das \(f″\)-Kriterium trifft in diesem Fall also keine Aussage; es ist hinreichend, aber nicht notwendig. Antwortsatz: Bei \(f″(x_0)=0\) muss stets weitergearbeitet werden — mit dem VZW-Kriterium oder über \(f‴(x_0)\neq 0\).

3

Der Ersatzteilabsatz

AFB II

Der kumulierte Absatz \(A\) eines Ersatzteils (in Tausend Stück) wird über acht Jahre modelliert durch

\[A(t)=0{,}5t^{3}-6t^{2}+24t+10\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 8\]

Der Vertrieb gibt die Funktion in den GTR ein und erhält weder ein Minimum noch ein Maximum. Daraus wird geschlossen: „Es gibt keine Stelle mit waagerechter Tangente.“

  1. Bestimme \(A′\) und alle Kandidaten für Extremstellen.
  2. Weise mit dem \(f‴\)-Kriterium nach, dass an dieser Stelle ein Sattelpunkt liegt.
  3. Widerlege die Schlussfolgerung des Vertriebs und deute den Punkt im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(A′(t)=1{,}5t^{2}-12t+24\). Klammere \(1{,}5\) aus; in der Klammer steckt eine binomische Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A′(t)=1{,}5t^{2}-12t+24=1{,}5\,(t^{2}-8t+16)=1{,}5\,(t-4)^{2}\). Einziger Kandidat: \(t=4\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der vollständige Nachweis lautet \(A′(t_S)=0\), \(A″(t_S)=0\) und \(A‴(t_S)\neq 0\).Ein Sattelpunkt ist genau der Fall, in dem der GTR unter „minimum“ und „maximum“ nichts findet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A″(t)=3t-12\) und \(A‴(t)=3\). Es gilt \(A′(4)=0\), \(A″(4)=0\) und \(A‴(4)=3\neq 0\) — bei \(t=4\) liegt ein Sattelpunkt. Mit \(A(4)=32-96+96+10=42\) ergibt sich \(S(4\mid 42)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Waagerechte Tangente bedeutet hier: Der Zuwachs kommt kurz zum Erliegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Schlussfolgerung ist falsch: Bei \(t=4\) gilt \(A′(4)=0\), es gibt dort also sehr wohl eine waagerechte Tangente. Der GTR sucht unter „minimum“ und „maximum“ nur nach Extrempunkten — und ein Sattelpunkt ist keiner. Antwortsatz: Im vierten Jahr kommt der Zuwachs des Absatzes für einen Moment zum Erliegen; da \(A′(t)=1{,}5(t-4)^{2}\ge 0\) gilt, wächst der kumulierte Absatz davor wie danach weiter — er geht zu keinem Zeitpunkt zurück.

4

Zwei Kurven, ein Kriterium

AFB III

Ein Schüler formuliert eine Merkregel: „Gilt \(f′(x_0)=0\) und \(f″(x_0)=0\), so liegt bei \(x_0\) ein Sattelpunkt.“ Material M2 zeigt die Graphen von \(y=x^{3}\) und \(y=x^{4}\).

M2Die Graphen von \(y=x^{3}\) und \(y=x^{4}\) um den Ursprung
xy-11-224y = x³y = x⁴

Beide Graphen haben im Ursprung eine waagerechte Tangente — nur einer von beiden durchquert die Achse.

  1. Berechne für beide Funktionen die ersten drei Ableitungen an der Stelle \(x_0=0\).
  2. Widerlege die Merkregel des Schülers.
  3. Formuliere eine korrekte Fassung der Regel.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bilde jeweils \(f′\), \(f″\) und \(f‴\) und setze \(x=0\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für \(f(x)=x^{3}\): \(f′(x)=3x^{2}\), \(f″(x)=6x\), \(f‴(x)=6\); also \(f′(0)=0\), \(f″(0)=0\) und \(f‴(0)=6\neq 0\).

Für \(g(x)=x^{4}\): \(g′(x)=4x^{3}\), \(g″(x)=12x^{2}\), \(g‴(x)=24x\); also \(g′(0)=0\), \(g″(0)=0\) und \(g‴(0)=0\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Eine der beiden Funktionen erfüllt die Voraussetzung der Regel, hat dort aber keinen Sattelpunkt.Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Allaussage zu kippen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegenbeispiel \(g(x)=x^{4}\): Die Voraussetzung der Regel ist erfüllt, doch bei \(x_0=0\) liegt kein Sattelpunkt, sondern ein Tiefpunkt. Denn \(g′(x)=4x^{3}\) wechselt dort das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\), und es gilt \(g(x)=x^{4}>0=g(0)\) für alle \(x\neq 0\). Die Merkregel ist damit widerlegt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ergänze die Regel um genau die Bedingung, die im Gegenbeispiel verletzt ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Korrekte Fassung: Gilt \(f′(x_S)=0\), \(f″(x_S)=0\) und \(f‴(x_S)\neq 0\), so liegt bei \(x_S\) ein Sattelpunkt. Ist auch \(f‴(x_S)=0\), so entscheidet erst das VZW-Kriterium: Wechselt \(f′\) das Vorzeichen, liegt ein Extrempunkt vor, sonst ein Sattelpunkt. Für \(y=x^{3}\) ist \(f‴(0)=6\neq 0\) — dort liegt tatsächlich ein Sattelpunkt.

5

Eine Schar von Bahnprofilen

AFB III

Bahnprofile werden durch die Schar

\[f_a(x)=x^{3}+a\,x\qquad\text{mit}\quad a\in\mathbb{R}\]

beschrieben. Eine Planerin behauptet: „Genau eine Kurve dieser Schar besitzt einen Sattelpunkt.“

  1. Bestimme \(f_a′\) und alle Kandidaten in Abhängigkeit von \(a\).
  2. Untersuche, für welche Werte von \(a\) ein Sattelpunkt vorliegt.
  3. Nimm zur Behauptung der Planerin begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(f_a′(x)=3x^{2}+a\). Aus \(3x^{2}=-a\) folgt eine Fallunterscheidung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=3x^{2}+a\). Für \(a>0\) gibt es keine Nullstelle; für \(a=0\) genau eine, nämlich \(x=0\); für \(a<0\) die beiden Stellen \(x=\pm\sqrt{-\tfrac{a}{3}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Sattelpunkt verlangt \(f′(x_S)=0\) und \(f″(x_S)=0\) bei \(f‴(x_S)\neq 0\).\(f_a″(x)=6x\) verschwindet nur an einer einzigen Stelle — und die muss zugleich Kandidat sein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f_a″(x)=6x\) verschwindet nur bei \(x=0\). Ein Sattelpunkt kann also höchstens dort liegen, und \(x=0\) ist nur für \(a=0\) auch Nullstelle von \(f_a′\). Für \(a=0\) gilt \(f_0′(0)=0\), \(f_0″(0)=0\) und \(f_0‴(0)=6\neq 0\) — es liegt ein Sattelpunkt \(S(0\mid 0)\) vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe die drei Fälle \(a>0\), \(a=0\) und \(a<0\) getrennt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist richtig. Für \(a>0\) hat \(f_a\) überhaupt keine waagerechte Tangente, für \(a<0\) liegen an den beiden Kandidaten wegen \(f_a″(\pm\sqrt{-a/3})\neq 0\) ein Hoch- und ein Tiefpunkt. Nur die Kurve mit \(a=0\), also \(f_0(x)=x^{3}\), besitzt einen Sattelpunkt. Antwortsatz: Genau ein Bahnprofil der Schar verläuft an einer Stelle waagerecht, ohne dort einen Höhe- oder Tiefpunkt zu haben.