Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben zur schnellsten Rettung — von der Zeitrechnung für eine einzelne Strategie über die Wurzelgleichung bis zu eigenen Varianten mit anderer Wassertiefe. Ein Taschenrechner gehört hier auf den Tisch.
Der Rettungsschwimmer springt bei \(x=30\;\text{m}\) ins Wasser. Er läuft mit \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Rechne die Gesamtzeit Schritt für Schritt aus.
- Wie lang ist der Laufweg \(s_1=100-x\)?m
- Wie lang ist der Schwimmweg \(s_2=\sqrt{x^{2}+2500}\)? (zwei Nachkommastellen)m
- Wie lange dauert das Laufen, \(t_1=\dfrac{s_1}{10}\)?s
- Wie lange dauert das Schwimmen, \(t_2=\dfrac{s_2}{5}\)? (zwei Nachkommastellen)s
- Wie groß ist die Gesamtzeit? (zwei Nachkommastellen)s
Wie lange bräuchte er, wenn er sofort losschwimmt und die volle Diagonale zurücklegt? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge — mit den konkreten Inhalten dieser Aufgabe.
Setze die beiden Strecken und die beiden Geschwindigkeiten in \(t=\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}\) ein und gib \(t(x)\) ein.
(100-x)/10+sqrt(x^2+2500)/5. Die Wurzel schreibst du als sqrt(...).Berechne die Gesamtzeit \(t(x)=\dfrac{100-x}{10}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\) für fünf Stellen, jeweils auf zwei Nachkommastellen.
| Einstiegsstelle \(x\) in m | Gesamtzeit \(t(x)\) in s |
|---|---|
| \(x=0\) | |
| \(x=20\) | |
| \(x=28{,}87\) | |
| \(x=50\) | |
| \(x=100\) |
Aus \(t'(x)=0\) folgt \(2x=\sqrt{x^{2}+2500}\). Löse diese Gleichung Feld für Feld.
Beide Seiten quadrieren: \(4x^{2}=x^{2}+\) .
Zusammenfassen: \(\,x^{2}=2500\).
Durch den Koeffizienten teilen: \(x^{2}=\) .
Wurzel ziehen (nur die positive Lösung): \(x\approx\) \(\;\text{m}\).
Der Laufweg beträgt damit \(100-x\approx\) \(\;\text{m}\).
Sechs Aussagen zur Rettungsaufgabe. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.
Ordne die Terme der Aufgabe dem passenden Korb zu.
Klicke jede falsche Zeile an und trage die richtige Ableitung ein. Die Kettenregel wird gebraucht.
x/sqrt(x^2+2500).Welche Aussagen treffen zu? Mehrere Antworten sind richtig.
Kreuze in jeder Zeile an, zu welcher Strategie die Angabe gehört.
| Aussage | sofort losschwimmen | ganzen Strand laufen | optimaler Weg |
|---|---|---|---|
| Gesamtzeit rund 22,4 s | |||
| Gesamtzeit genau 20 s | |||
| Gesamtzeit rund 18,7 s | |||
| Schwimmweg 50 m | |||
| Laufweg rund 71 m | |||
| Es wird gar nicht gelaufen. |
Nina rechnet mit einer Wassertiefe von 40 m statt 50 m. In ihrem Weg stecken zwei Fehler — klicke genau die falschen Zeilen an.
Die Person ist diesmal 60 m ins Wasser hinaus und weiterhin 100 m am Strand entlang entfernt. Die Geschwindigkeiten bleiben \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Berechne alles neu.
Verbinde jede Einstiegsstelle mit der zugehörigen Gesamtzeit. Rechne die Werte aus, geraten wird hier nichts.
Setze aus den Bausteinen den vollständigen Antwortsatz zusammen. Zwei Bausteine gehören nicht dazu.
Wie viele Sekunden spart der optimale Weg gegenüber dem direkten Schwimmweg? Runde auf zwei Nachkommastellen.
In der Klausur muss das Minimum begründet werden. Beantworte die Fragen des Baums nacheinander.
Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
Zielgröße ist , denn danach fragt die Aufgabe.
Der Definitionsbereich ist , weil \(x\) eine Strecke am Strand ist.
Beim Quadrieren der Gleichung \(2x=\sqrt{x^{2}+2500}\) entsteht , weil beide Seiten für \(x\ge 0\) nicht negativ sind.
Verdoppelt man die Wassertiefe, so .
Angenommen, er schwimmt genauso schnell, wie er läuft (beides \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)). Bestimme die optimale Einstiegsstelle und stelle sie auf dem Regler ein.
Ein Kabel soll von einem Verteilerkasten am Ufer zu einem Leuchtturm 30 m draußen im Wasser gelegt werden; der Kasten liegt 80 m am Ufer entfernt. An Land kostet der Meter 20 Euro, im Wasser 40 Euro. Entscheide in jeder Szene.