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Textaufgaben: Der Rettungsschwimmer und verwandte Aufgaben

Fünf Optimierungsaufgaben vom Seekabel bis zur Reisegeschwindigkeit — Zeit- und Kostenfunktionen aufstellen, mit der Wurzel ableiten und Randlösungen erkennen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben ist die Zielgröße keine Fläche, sondern eine Zeit oder ein Preis. Der Weg bleibt derselbe: Zielgröße und Nebenbedingung trennen, die Zielfunktion aufstellen, ableiten — und am Ende prüfen, ob die rechnerische Lösung im Definitionsbereich überhaupt zulässig ist. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der Rettungsschwimmer

AFB I

Ein Rettungsschwimmer läuft am Strand mit \(6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Die zu rettende Person ist \(60\,\text{m}\) am Strand entlang und \(40\,\text{m}\) vom Ufer entfernt (Material M1). Er läuft zunächst am Ufer entlang und geht dann schräg ins Wasser; \(x\) bezeichnet die waagerechte Entfernung, die er schwimmend zurücklegt.

M1Der Weg des Rettungsschwimmers
StrandWasserStartPersonlaufen: 60 − xschwimmenx40 m60 m

Der Laufweg beträgt \(60-x\), der Schwimmweg nach dem Satz des Pythagoras \(\sqrt{x^{2}+40^{2}}\).

  1. Stelle die Zielfunktion \(t(x)\) mit Definitionsbereich auf.
  2. Bestimme die Stelle \(x\), an der die Gesamtzeit minimal wird.
  3. Gib die kürzeste Gesamtzeit an und formuliere einen Antwortsatz.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit. Addiere Laufzeit und Schwimmzeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Laufweg \(60-x\), Schwimmweg \(\sqrt{x^{2}+1600}\). Damit ist \(t(x)=\dfrac{60-x}{6}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+1600}}{1{,}5}\) mit \(D=[0;60]\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Aus \(t′(x)=0\) folgt \(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1600}}=\dfrac{1{,}5}{6}=\dfrac14\). Quadriere anschließend beide Seiten.Die Wurzel verschwindet erst nach dem Quadrieren — danach ist die Gleichung quadratisch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t′(x)=-\dfrac16+\dfrac{x}{1{,}5\sqrt{x^{2}+1600}}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1600}}=\dfrac14 \Leftrightarrow 16x^{2}=x^{2}+1600 \Leftrightarrow 15x^{2}=1600\), also \(x=\sqrt{\tfrac{1600}{15}}\approx 10{,}33\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze den gefundenen Wert in \(t\) ein und runde erst am Schluss.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t(10{,}33)=\dfrac{49{,}67}{6}+\dfrac{\sqrt{106{,}7+1600}}{1{,}5}\approx 8{,}28+27{,}54=35{,}82\). Antwortsatz: Der Rettungsschwimmer läuft rund \(49{,}7\,\text{m}\) am Ufer entlang und geht dann ins Wasser. Er erreicht die Person nach etwa \(35{,}8\,\text{s}\) — das ist die kürzestmögliche Zeit.

2

Das Seekabel

AFB II

Von einer Insel, die \(6\,\text{km}\) vor der geradlinigen Küste liegt, soll ein Kabel zu einem Ort verlegt werden, der \(20\,\text{km}\) von dem küstennahen Punkt entfernt ist. Unter Wasser kostet ein Kilometer \(5000\,\text{€}\), an Land \(3000\,\text{€}\). Das Kabel wird geradlinig vom Ufer zur Insel und geradlinig am Ufer entlang geführt; \(x\) sei der Abstand des Anlandungspunkts vom küstennahen Punkt.

  1. Stelle die Kostenfunktion \(K(x)\) mit Definitionsbereich auf.
  2. Bestimme den kostenoptimalen Anlandungspunkt und die zugehörigen Kosten.
  3. Vergleiche das Ergebnis mit den beiden naheliegenden Varianten „direkt zum Ort“ und „kürzester Seeweg“.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Seeweg beträgt \(\sqrt{x^{2}+36}\), der Landweg \(20-x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K(x)=5000\sqrt{x^{2}+36}+3000\,(20-x)\) mit \(D=[0;20]\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Aus \(K′(x)=0\) folgt \(5x=3\sqrt{x^{2}+36}\); quadriere beide Seiten.Nach dem Quadrieren bleibt \(16x^{2}=324\) — eine erfreulich glatte Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K′(x)=\dfrac{5000x}{\sqrt{x^{2}+36}}-3000=0 \Leftrightarrow 5x=3\sqrt{x^{2}+36} \Leftrightarrow 25x^{2}=9x^{2}+324 \Leftrightarrow 16x^{2}=324\), also \(x=4{,}5\). Kosten: \(K(4{,}5)=5000\cdot\sqrt{20{,}25+36}+3000\cdot 15{,}5=5000\cdot 7{,}5+46\,500=84\,000\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne die Kosten für \(x=20\) (direkt) und für \(x=0\) (senkrecht an Land) und vergleiche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Direkt zum Ort \((x=20)\): \(K(20)=5000\cdot\sqrt{436}\approx 104\,400\,\text{€}\). Kürzester Seeweg \((x=0)\): \(K(0)=5000\cdot 6+3000\cdot 20=90\,000\,\text{€}\). Antwortsatz: Der optimale Anlandungspunkt liegt \(4{,}5\,\text{km}\) vom küstennahen Punkt entfernt; das Kabel kostet dann \(84\,000\,\text{€}\). Gegenüber der direkten Verlegung spart das rund \(20\,400\,\text{€}\), gegenüber dem kürzesten Seeweg noch \(6000\,\text{€}\).

3

Die günstigste Reisegeschwindigkeit

AFB II

Ein LKW legt eine Strecke von \(300\,\text{km}\) zurück. Pro Stunde fallen \(60\,\text{€}\) feste Kosten (Fahrer, Abschreibung) an sowie Kraftstoffkosten, die mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wachsen: \(0{,}02\,v^{2}\) Euro je Stunde bei \(v\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\). Gesucht ist die kostengünstigste Reisegeschwindigkeit.

  1. Stelle die Kostenfunktion \(K(v)\) auf und vereinfache sie.
  2. Bestimme die günstigste Geschwindigkeit und weise das Minimum nach.
  3. Deute das Ergebnis und erkläre, warum die Fahrzeit im Optimum genauso teuer ist wie der Kraftstoff.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Fahrzeit beträgt \(\tfrac{300}{v}\) Stunden; multipliziere sie mit den Kosten je Stunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K(v)=\dfrac{300}{v}\,\bigl(60+0{,}02v^{2}\bigr)=\dfrac{18\,000}{v}+6v\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Nach dem Ausmultiplizieren steht dort \(K(v)=\tfrac{18000}{v}+6v\) — schreibe den ersten Term als \(18000\,v^{-1}\).Der eine Term fällt mit \(v\), der andere wächst mit \(v\); dazwischen liegt das Minimum.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K′(v)=-\dfrac{18\,000}{v^{2}}+6=0 \Leftrightarrow v^{2}=3000\), also \(v=\sqrt{3000}\approx 54{,}77\). Wegen \(K″(v)=\dfrac{36\,000}{v^{3}}>0\) für \(v>0\) liegt ein Minimum vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne beide Summanden im Optimum getrennt und vergleiche sie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(K(54{,}77)=\dfrac{18\,000}{54{,}77}+6\cdot 54{,}77\approx 328{,}6+328{,}6=657{,}3\). Beide Summanden sind gleich groß — das ist kein Zufall: Aus \(\tfrac{18\,000}{v^{2}}=6\) folgt \(\tfrac{18\,000}{v}=6v\), also stimmen im Optimum genau die zeitabhängigen Kosten mit den Kraftstoffkosten überein. Antwortsatz: Bei rund \(55\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) ist die Fahrt mit etwa \(657\,\text{€}\) am günstigsten; schneller zu fahren spart Zeit, kostet aber überproportional viel Kraftstoff.

4

Wenn das Optimum außerhalb liegt

AFB III

Ein zweiter Rettungsschwimmer läuft mit \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Die Person ist diesmal nur \(20\,\text{m}\) am Strand entlang, aber \(50\,\text{m}\) vom Ufer entfernt. Wieder bezeichnet \(x\) die waagerechte Entfernung des Schwimmwegs.

  1. Stelle die Zielfunktion \(t(x)\) mit Definitionsbereich auf und bestimme die rechnerische Lösung von \(t′(x)=0\).
  2. Prüfe, ob diese Lösung im Definitionsbereich liegt, und bestimme das Minimum auf \([0;20]\).
  3. Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Aufbau ist derselbe wie in Aufgabe 1 — nur Geschwindigkeiten und Entfernungen sind andere.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(t(x)=\dfrac{20-x}{5}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+2500}}{2}\) mit \(D=[0;20]\). \(t′(x)=-\dfrac15+\dfrac{x}{2\sqrt{x^{2}+2500}}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2500}}=\dfrac25 \Leftrightarrow 25x^{2}=4x^{2}+10\,000 \Leftrightarrow 21x^{2}=10\,000\), also \(x\approx 21{,}82\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die rechnerische Lösung mit der rechten Grenze des Definitionsbereichs und prüfe das Vorzeichen von \(t′\) auf \([0;20]\).Ist \(t′\) auf dem ganzen Intervall negativ, so liegt das Minimum am rechten Rand.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Diese Stelle liegt außerhalb von \([0;20]\) und ist damit keine zulässige Lösung. Vorzeichen am rechten Rand: \(t′(20)=-0{,}2+\dfrac{20}{2\sqrt{2900}}\approx-0{,}2+0{,}186=-0{,}014<0\); da \(t′\) auf \([0;20]\) durchgehend negativ ist, fällt \(t\) dort streng monoton. Das Minimum liegt also am rechten Rand: \(t(20)=\dfrac{\sqrt{400+2500}}{2}=\dfrac{\sqrt{2900}}{2}\approx 26{,}93\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(x=20\) bedeutet: Der Rettungsschwimmer läuft überhaupt nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zum Vergleich: \(t(0)=\dfrac{20}{5}+\dfrac{50}{2}=29\). Antwortsatz: Der Rettungsschwimmer läuft in diesem Fall gar nicht am Ufer entlang, sondern geht sofort ins Wasser und schwimmt den direkten Weg; er benötigt dann rund \(26{,}9\,\text{s}\). Weil die Person fast direkt gegenüber liegt und der Geschwindigkeitsvorteil an Land nur \(2{,}5\)-fach ist, lohnt sich der Umweg über den Strand nicht mehr.

5

Ist der kürzeste Weg der schnellste?

AFB III

Wir kehren zur Situation aus Aufgabe 1 zurück: laufen \(6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\), schwimmen \(1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\), Person \(60\,\text{m}\) am Strand entlang und \(40\,\text{m}\) draußen (Material M2). Ein Badegast meint: „Der kürzeste Weg ist doch immer auch der schnellste.“

M2Gesamtzeit in Abhängigkeit von der Schwimmstrecke
x in mt in s10203040506036384042444648Minimum bei x ≈ 10,3

Am rechten Rand \((x=60)\) wird der Weg am kürzesten — die Zeit dort aber am größten.

  1. Berechne die Gesamtzeit für \(x=0\), für \(x\approx 10{,}33\) und für \(x=60\).
  2. Widerlege die Aussage des Badegasts.
  3. Erläutere, wovon die optimale Stelle \(x\) abhängt und wovon nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(x=60\) bedeutet: Der Rettungsschwimmer geht sofort ins Wasser und schwimmt den geradlinigen — und damit kürzesten — Weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x=0\): \(t=\dfrac{60}{6}+\dfrac{40}{1{,}5}=10+26{,}67=36{,}67\,\text{s}\).

\(x\approx 10{,}33\): \(t\approx 35{,}82\,\text{s}\).

\(x=60\): \(t=\dfrac{\sqrt{3600+1600}}{1{,}5}=\dfrac{72{,}11}{1{,}5}\approx 48{,}07\,\text{s}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die drei Zeiten miteinander; der kürzeste Weg schneidet dabei am schlechtesten ab.Ein einziges Gegenbeispiel genügt für die Widerlegung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der kürzeste Weg ist der geradlinige mit \(72{,}11\,\text{m}\) bei \(x=60\). Er dauert mit rund \(48{,}1\,\text{s}\) jedoch deutlich länger als der optimale Weg mit rund \(35{,}8\,\text{s}\), obwohl dieser insgesamt \(49{,}7+41{,}3\approx 91{,}0\,\text{m}\) lang ist. Die Aussage ist damit widerlegt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Sieh dir die Gleichung \(\tfrac{x}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}=\tfrac{v_{\text{schwimm}}}{v_{\text{lauf}}}\) genau an: Welche Größen kommen darin vor?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(t′(x)=0\) folgt \(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}=\dfrac{v_{\text{schwimm}}}{v_{\text{lauf}}}\). Die optimale Stelle hängt also nur vom Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten und vom Uferabstand \(d\) ab — nicht davon, wie weit die Person am Strand entlang entfernt ist. Diese Entfernung bestimmt lediglich, wie lange gelaufen wird, und ob das Optimum überhaupt im Definitionsbereich liegt. Antwortsatz: Entscheidend ist nicht die Weglänge, sondern wie viel von ihr im langsamen Medium zurückgelegt wird.