Nullstellen ganzrat. Fkt.: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Der Satz vom Nullprodukt in WortenAFB I

Vervollständige die Beschreibung des Satzes, auf dem die gesamte Nullstellensuche beruht.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Ein ist genau dann null, wenn mindestens ein null ist. Damit man diesen Satz überhaupt anwenden kann, muss die Gleichung zuerst faktorisiert werden — am einfachsten durch . Auf der rechten Seite der Gleichung muss dabei eine stehen.

Der Satz funktioniert nur, wenn auf einer Seite wirklich eine Null steht.

A2Stimmt das so?AFB I

Fünf Aussagen zu Nullstellen und Umformungen. Entscheide jeweils, ob sie zutreffen.

Richtig oder falsch?

Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch.

A3Der Weg in fünf SchrittenAFB I

Die Lösungsschritte für x³ − 7x² = 0 sind durcheinandergeraten.

Bringe die Schritte für x³ − 7x² = 0 in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Höchste gemeinsame Potenz bestimmen: x² steckt in beiden Summanden.

2Ausklammern: x³ − 7x² = x² · (x − 7).

3Satz vom Nullprodukt anwenden: x² = 0 oder x − 7 = 0.

4Beide Faktoren einzeln lösen: x = 0 und x = 7.

5Lösungsmenge notieren: L = {0; 7}.

Faktorisieren kommt immer vor dem Nullsetzen.

A4Die größte NullstelleAFB II

Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 16x und gib die größte davon an.

Gegeben ist f(x) = x³ − 16x. Bestimme die größte Nullstelle.

Klammere x aus; im zweiten Faktor hilft die 3. binomische Formel.

A5Welcher Weg passt?AFB II

Jede der vier Gleichungen hat ein typisches Erkennungsmerkmal. Ordne die vier Fragen richtig zu.

Vier Gleichungen, vier Wege. Klicke jeweils die passende an — mit der Maus oder mit Tab und Enter.

Schau zuerst, ob in jedem Summanden ein x steht.

A6Sechs Gleichungen, drei VerfahrenAFB II

Nicht rechnen — nur entscheiden, welches Verfahren du ansetzen würdest.

Sortiere die sechs Gleichungen nach dem Weg, mit dem du sie löst. Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb.

1zuerst ausklammern

2direkt pq-Formel

3Substitution u = x²

Ein konstanter Summand ohne x schließt das Ausklammern aus.

A7Nullstellen aus der Produktform ablesenAFB II

Gegeben ist f(x) = x² · (x + 4) · (x − 1)³. Wähle alle zutreffenden Aussagen aus.

Mehrere Antworten sind richtig.

Zähle die Exponenten zusammen, um den Grad zu bestimmen.

A8Die verlorene NullstelleAFB III

In Jonas' Rechnung stecken zwei Fehler, die zusammenhängen. Finde beide Zeilen.

Jonas löst x³ − 5x = 0. Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Zwei Zeilen sind in Ordnung, zwei hängen mit demselben Fehler zusammen.

A9Schneiden oder berühren?AFB III

Alle sechs Funktionen haben eine Nullstelle bei x = 0. Entscheide jeweils, wie sich der Graph dort verhält.

Wie verhält sich der Graph an der Stelle x = 0? Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Funktion	schneidet bei x = 0	berührt bei x = 0
f(x) = x · (x − 2)
f(x) = x² · (x + 3)
f(x) = x³ · (x − 1)
f(x) = x⁴ · (x + 2)
f(x) = 5x² · (x − 4)
f(x) = x · (x² + 1)

Nur der Exponent an x entscheidet: ungerade schneidet, gerade berührt. Der Zahlenfaktor 5 ändert daran nichts.

A10Entscheidungsbaum: welches Verfahren?AFB III

Arbeite dich durch den Baum, bis du beim passenden Verfahren angekommen bist.

Entscheide mit dem Baum, wie du 2x⁴ − 18x² = 0 angehst. Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein.

2x⁴ − 18x² = 2x² · (x² − 9).

A11Gleichung und LösungsmengeAFB I

Fünf Gleichungen, fünf Lösungsmengen. Löse im Kopf und finde die Paare.

Zwei Karten anklicken — passen sie zusammen, bleiben sie offen.

Bei \(x^2+4x=0\) wird ausgeklammert: \(x(x+4)=0\) — die 0 geht dabei nie verloren. \(x^2-6x+9=(x-3)^2\) hat nur eine Nullstelle, sie zählt aber doppelt. \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\) liefert drei Nullstellen.

A12Drei Gleichungen mit der pq-FormelAFB II

Löse die drei quadratischen Gleichungen. Achtung bei der dritten: die pq-Formel setzt den Vorfaktor 1 vor \(x^2\) voraus.

Trage jeweils die kleinere und die größere Lösung ein. Enter prüft alle Felder.

\(x^2-6x+5=0\): kleinere Lösunggrößere Lösung\(x^2+2x-15=0\): kleinere Lösunggrößere Lösung\(2x^2-10x+12=0\): kleinere Lösunggrößere Lösung

\(x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2-q}\). Erste Gleichung: \(3\pm\sqrt{9-5}=3\pm2\). Zweite: \(-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4\). Dritte: zuerst durch 2 teilen, \(x^2-5x+6=0\), dann \(2{,}5\pm\sqrt{6{,}25-6}=2{,}5\pm0{,}5\).

A13Ausklammern und weiterrechnenAFB II

Bestimme alle Nullstellen von \(f(x)=x^3-7x^2+12x\) Schritt für Schritt.

Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Klammere \(x\) aus. Welche Nullstelle liefert dieser Faktor sofort?
In der Klammer steht \(x^2+px+q\). Wie groß ist \(p\)?
Wie groß ist \(q\)?
Kleinere Lösung der Klammer?
Größere Lösung der Klammer?
Wie viele verschiedene Nullstellen hat \(f\) insgesamt?

\(x^3-7x^2+12x=x(x^2-7x+12)\). Der Satz vom Nullprodukt liefert \(x=0\) oder \(x^2-7x+12=0\), und daraus \(3{,}5\pm\sqrt{12{,}25-12}=3{,}5\pm0{,}5\). Insgesamt: 0, 3 und 4.

A14Was bleibt in der Klammer?AFB II

Von \(f(x)=x^4-2x^3-8x^2\) wird die höchstmögliche Potenz von \(x\) ausgeklammert: \(f(x)=x^2\cdot(\;\ldots\;)\). Gib den Term in der Klammer an.

Gib nur den Klammerterm ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Jeder Summand enthält mindestens \(x^2\), also \(f(x)=x^2(x^2-2x-8)\). Die Klammer liefert über die pq-Formel \(1\pm\sqrt{1+8}=1\pm3\), also \(x=-2\) und \(x=4\); dazu kommt die doppelte Nullstelle \(x=0\).

A15Substitution bei einer biquadratischen GleichungAFB II

Löse \(x^4-13x^2+36=0\) mit der Substitution \(u=x^2\). Trage erst die beiden \(u\)-Werte ein, dann alle vier Nullstellen der Größe nach.

Alle sechs Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(u_1\)	\(u_2\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(x_3\)	\(x_4\)
Wert

Mit \(u=x^2\) wird daraus \(u^2-13u+36=0\), also \(u=6{,}5\pm\sqrt{42{,}25-36}=6{,}5\pm2{,}5\), demnach \(u_1=4\) und \(u_2=9\). Rücksubstitution: \(x^2=4\) gibt \(\pm2\), \(x^2=9\) gibt \(\pm3\). Ein negativer \(u\)-Wert hätte gar keine reelle Nullstelle geliefert.

A16Vielfachheit und Verhalten an der x-AchseAFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x+2)^2(x-1)^3(x-4)\) in faktorisierter Form. Lies die Vielfachheit jeder Nullstelle ab und entscheide, wie sich der Graph dort verhält.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Nullstelle	\(x=-2\)	\(x=1\)	\(x=4\)
Vielfachheit
Der Graph …

Der Exponent des Faktors ist die Vielfachheit. Gerade Vielfachheit (hier 2) heißt berühren, ungerade heißt schneiden — bei Vielfachheit 3 zusätzlich mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt). Der Grad von \(f\) ist übrigens \(2+3+1=6\).

A17Die nicht ganzzahlige NullstelleAFB III

Die Funktion \(f(x)=2x^2-5x+3\) hat zwei Nullstellen, eine davon ist ganzzahlig. Gib die andere als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.

Durch 2 teilen: \(x^2-2{,}5x+1{,}5=0\), also \(x=1{,}25\pm\sqrt{1{,}5625-1{,}5}=1{,}25\pm0{,}25\). Das ergibt \(x_1=1\) und \(x_2=1{,}5=\tfrac32\). Faktorisiert: \(f(x)=(2x-3)(x-1)\).

A18Die faktorisierte Form bauenAFB III

Schreibe \(f(x)=x^3-x^2-6x\) als Produkt von drei Faktoren — erst der ausgeklammerte Faktor, dann die Klammer mit der größeren Nullstelle, zuletzt die mit der kleineren.

Setze drei der sechs Bausteine in der beschriebenen Reihenfolge ein. Drei bleiben übrig.

\(x^3-x^2-6x=x(x^2-x-6)\), und \(x^2-x-6=0\) hat die Lösungen \(0{,}5\pm2{,}5\), also 3 und \(-2\). Zur Nullstelle 3 gehört der Faktor \((x-3)\), zur Nullstelle \(-2\) der Faktor \((x+2)\) — das Vorzeichen dreht sich.

A19Für welche Parameter gibt es zwei Nullstellen?AFB III

Die Funktion \(f(x)=x^2+4x+t\) enthält einen Parameter \(t\). Für welche Werte von \(t\) hat \(f\) genau zwei verschiedene Nullstellen? Markiere das Intervall.

Ziehe die beiden Griffe. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um; ganz außen steht der Griff für \(-\infty\) bzw. \(\infty\).

a: b:

Unter der Wurzel steht \(\left(\tfrac{p}{2}\right)^2-q=4-t\). Zwei verschiedene Nullstellen gibt es genau dann, wenn dieser Term echt positiv ist, also \(4-t>0\) bzw. \(t<4\) — als Intervall \(]-\infty\,;4[\). Für \(t=4\) berührt der Graph die x-Achse nur, für \(t>4\) liegt er ganz darüber.

A20Den Lösungsweg selbst steuernAFB III

Bestimme die Nullstellen von \(f(x)=x^4-5x^3+6x^2\). Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung — ein falscher Schritt wird rot und du versuchst es erneut.

Ein Schritt nach dem anderen.

\(f(x)=x^2(x-2)(x-3)\). Der Grad ist 4, es gibt aber nur drei verschiedene Nullstellen, weil \(x=0\) doppelt vorkommt. Dort berührt der Graph die x-Achse, bei 2 und 3 schneidet er sie.

Übungen: Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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