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Textaufgaben: Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Fünf Sachaufgaben vom Tidebecken bis zum Start-up — Ausklammern, Substitution, Polynomdivision und Vielfachheit, jeweils mit Deutung im Sachzusammenhang.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben endet die Rechnung bei einer Gleichung der Form \(f(x)=0\). Entscheidend ist die Wahl des Verfahrens — und die Frage, welche der gefundenen Lösungen im Sachzusammenhang überhaupt zulässig ist. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Das Tidebecken

AFB I

In einem Hafenbecken wird die Abweichung \(w\) des Wasserstands vom Mittelwasser (in Dezimetern) über zwölf Stunden beobachtet:

\[w(t)=0{,}1t^{3}-1{,}8t^{2}+8t\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 12\]

Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn (Material M1).

M1Abweichung vom Mittelwasser über zwölf Stunden
t in hw in dm24681012-2246810Nulldurchgänge

Genau dort, wo der Graph die \(t\)-Achse trifft, steht das Wasser exakt auf Mittelwasser.

  1. Bestimme alle Nullstellen von \(w\) durch Ausklammern.
  2. Gib an, zu welchen Zeitpunkten das Wasser genau auf Mittelwasser steht.
  3. Bestimme die Zeiträume, in denen das Wasser über bzw. unter Mittelwasser steht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammere zuerst \(0{,}1t\) aus; in der Klammer bleibt ein quadratischer Term.Der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(w(t)=0{,}1t\,(t^{2}-18t+80)=0{,}1t\,(t-8)(t-10)\). Nullstellen: \(t_1=0\), \(t_2=8\) und \(t_3=10\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe für jede rechnerische Nullstelle, ob sie im Beobachtungszeitraum \([0;12]\) liegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Alle drei Werte liegen in \([0;12]\). Das Wasser steht zu Beobachtungsbeginn sowie nach 8 und nach 10 Stunden genau auf Mittelwasser.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze je eine Probestelle aus jedem Teilintervall ein und notiere nur das Vorzeichen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Probestellen: \(w(4)=6{,}4-28{,}8+32=9{,}6>0\), \(w(9)=72{,}9-145{,}8+72=-0{,}9<0\), \(w(11)=133{,}1-217{,}8+88=3{,}3>0\). Antwortsatz: In den ersten acht Stunden und ab der zehnten Stunde liegt der Wasserstand über Mittelwasser, zwischen der achten und der zehnten Stunde darunter.

2

Das Wellblech

AFB II

Der Querschnitt eines gewellten Blechs wird über der Breite \(x\) (in Dezimetern) durch

\[f(x)=0{,}01\,\bigl(x^{4}-13x^{2}+36\bigr)\qquad\text{mit}\quad -4\le x\le 4\]

beschrieben; \(f(x)\) ist der Abstand zur Mittellinie in Dezimetern.

  1. Bestimme alle Nullstellen von \(f\) mithilfe der Substitution \(u=x^{2}\).
  2. Gib an, wie oft der Querschnitt die Mittellinie schneidet.
  3. Begründe allein anhand des Funktionsterms, dass der Querschnitt achsensymmetrisch ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Vorfaktor \(0{,}01\) ist nie null — die Nullstellen stecken vollständig in der Klammer.Mit \(u=x^{2}\) wird aus der Gleichung vierten Grades eine quadratische Gleichung in \(u\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Substitution \(u=x^{2}\): \(u^{2}-13u+36=0\) liefert \(u_{1,2}=6{,}5\pm\sqrt{42{,}25-36}=6{,}5\pm 2{,}5\), also \(u_1=9\) und \(u_2=4\). Rücksubstitution: \(x=\pm 3\) und \(x=\pm 2\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Zu jeder positiven Lösung \(u\) gehören zwei Werte von \(x\): \(x=\pm\sqrt{u}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Alle vier Nullstellen \(-3\), \(-2\), \(2\) und \(3\) liegen im Definitionsbereich \([-4;4]\), und alle sind einfach. Der Querschnitt schneidet die Mittellinie also viermal.

Hinweis zu Aufgabe c)
Schau dir die Exponenten an: Es kommen nur gerade Potenzen von \(x\) vor.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Im Term treten nur die geraden Potenzen \(x^{4}\), \(x^{2}\) und \(x^{0}\) auf. Daher gilt \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(f(x)\)-Achse. Das bestätigen auch die paarweise entgegengesetzten Nullstellen.

3

Der Roboterarm

AFB II

Ein Roboterarm führt eine Prüfbewegung aus. Seine Auslenkung \(u\) aus der Ruhelage (in Millimetern) beträgt

\[u(t)=t^{3}-4t^{2}+4t\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 3\]

mit der Zeit \(t\) in Sekunden.

  1. Bestimme die vollständig faktorisierte Form von \(u\).
  2. Gib alle Nullstellen mit ihrer Vielfachheit an.
  3. Erkläre im Sachzusammenhang, warum der Arm die Ruhelage bei \(t=2\) nur berührt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammere \(t\) aus. In der Klammer steckt eine binomische Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(u(t)=t\,(t^{2}-4t+4)=t\,(t-2)^{2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Exponent des zugehörigen Linearfaktors.Gerade Vielfachheit heißt Berühren, ungerade Vielfachheit heißt Schneiden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t_1=0\) ist eine einfache Nullstelle, \(t_2=2\) eine doppelte Nullstelle.

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe das Vorzeichen von \(u\) links und rechts von \(t=2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wegen \((t-2)^{2}\ge 0\) und \(t>0\) gilt \(u(t)>0\) für alle \(t\in\,]0;3]\) außer \(t=2\). Probe: \(u(1)=1\) und \(u(3)=3\), beide positiv. Die Auslenkung wechselt bei \(t=2\) also nicht das Vorzeichen. Antwortsatz: Der Arm kehrt nach zwei Sekunden kurz in die Ruhelage zurück und schwingt danach wieder auf dieselbe Seite aus — er durchquert die Ruhelage nicht.

4

Das Start-up

AFB III

Der Jahresgewinn eines Start-ups wird für die ersten vier Jahre modelliert durch

\[G(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 4\]

Dabei ist \(x\) die Zeit in Jahren und \(G(x)\) der Gewinn in \(10\,000\) € (Material M2). Der Buchhalter vermutet, dass das Unternehmen nach genau einem Jahr erstmals die Verlustzone erreicht.

M2Gewinnverlauf der ersten vier Jahre
x in JahrenG in 10 000 €1234-448121620x = 1x = 3

Zwischen den beiden markierten Nullstellen liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse.

  1. Weise nach, dass \(x=1\) eine Nullstelle von \(G\) ist.
  2. Bestimme die übrigen Nullstellen mithilfe einer Polynomdivision.
  3. Gib die Gewinn- und die Verlustzone innerhalb des Definitionsbereichs an und deute das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(x=1\) in den Funktionsterm ein — ein Nachweis ist hier eine einzige Rechenzeile.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G(1)=1-2-5+6=0\). Also ist \(x=1\) eine Nullstelle.

Hinweis zu Aufgabe b)
Teile \(G(x)\) durch \((x-1)\). Der Rest muss null sein; auf den Quotienten wendest du die \(p\)-\(q\)-Formel an.Eine bekannte Nullstelle senkt den Grad um eins — aus dem kubischen wird ein quadratisches Problem.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\((x^{3}-2x^{2}-5x+6):(x-1)=x^{2}-x-6\). Aus \(x^{2}-x-6=0\) folgt \(x_{1,2}=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+6}=0{,}5\pm 2{,}5\), also \(x=3\) und \(x=-2\). Damit gilt \(G(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Beachte, dass \(x=-2\) außerhalb von \([0;4]\) liegt und deshalb keine Rolle spielt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Im Definitionsbereich liegen nur \(x=1\) und \(x=3\). Probestellen: \(G(0)=6>0\), \(G(2)=8-8-10+6=-4<0\), \(G(4)=64-32-20+6=18>0\). Antwortsatz: Im ersten Jahr und ab dem dritten Jahr arbeitet das Start-up mit Gewinn, zwischen dem ersten und dem dritten Jahr mit Verlust. Die Vermutung des Buchhalters trifft zu — allerdings endet die Verlustphase bereits nach dem dritten Jahr wieder.

5

Wie viele Nullstellen sind möglich?

AFB III

In einer Projektgruppe wird über Nullstellen diskutiert. Zwei Aussagen stehen an der Tafel:

Aussage 1: „Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat immer genau vier Nullstellen.“
Aussage 2: „Jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle.“

  1. Widerlege Aussage 1 durch ein Gegenbeispiel.
  2. Untersuche, wie viele Nullstellen \(f_c(x)=x^{4}+c\) in Abhängigkeit von \(c\) besitzt.
  3. Nimm zu Aussage 2 begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ein einziges Gegenbeispiel reicht. Denke an eine Funktion, deren Graph die \(x\)-Achse gar nicht erreicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{4}+1\). Für alle \(x\) gilt \(x^{4}\ge 0\) und damit \(f(x)\ge 1>0\); die Funktion hat keine einzige Nullstelle. Aussage 1 ist damit widerlegt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse \(x^{4}=-c\) und unterscheide die Fälle \(c<0\), \(c=0\) und \(c>0\).Eine vierte Potenz ist nie negativ — das entscheidet über die Lösbarkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x^{4}+c=0 \Leftrightarrow x^{4}=-c\).

Für \(c>0\) ist \(-c<0\); da \(x^{4}\ge 0\) gilt, gibt es keine Nullstelle. Für \(c=0\) gilt \(x^{4}=0\), also genau eine (vierfache) Nullstelle \(x=0\). Für \(c<0\) gilt \(x=\pm\sqrt[4]{-c}\), also genau zwei Nullstellen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte das Globalverhalten: Wohin läuft der Graph für \(x\to-\infty\) und für \(x\to+\infty\)?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aussage 2 ist richtig. Bei ungeradem Grad laufen die beiden Enden des Graphen in entgegengesetzte Richtungen: Der Graph nimmt also sowohl beliebig große positive als auch beliebig große negative Werte an. Da ganzrationale Funktionen ohne Sprung verlaufen, muss der Graph die \(x\)-Achse dazwischen mindestens einmal treffen. Antwortsatz: Jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle — bei geradem Grad kann dagegen jede fehlen.