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Übungen: Monotonie und erste Ableitung

Zwanzig Aufgaben vom Ablesen einer Tangentensteigung bis zur vollständigen Untersuchung mit ƒ′ — mit Vorzeichentabelle, Probestellen und ausformuliertem Antwortsatz.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungMonotonie und erste Ableitung — Monotoniekriterium, Tangentensteigung und das Gegenbeispiel x³ noch einmal nachlesen.
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Ü

Übungsaufgaben

A1Vier Tangenten, vier VorzeichenAFB I

Der Graph gehört zu \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+5\). An vier Punkten ist die Tangente gestrichelt eingezeichnet.

Graph mit den Tangenten in A, B, C und D
xy−11232468ABCD
Vier Fragen zu den vier Tangenten — klicke jeweils den passenden Buchstaben an, mit der Maus oder mit Tab und Enter.

ABCD
Die gestrichelten Geraden sind die Tangenten. Ihre Steigung ist der Wert von f′ an dieser Stelle.
A2Stimmt das so?AFB I

Sechs Aussagen über die Ableitung, die Tangente und die Monotonie.

Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 6

Zwei Stolperstellen: die Leserichtung des Satzes und der Unterschied zwischen Höhe und Steigung.
A3Einen Ableitungswert einsetzenAFB I

Bevor man ein Vorzeichen beurteilen kann, muss man den Wert ausrechnen.

Gegeben ist f′(x) = x² + 2x − 8. Berechne f′(−1).
Erst (−1)² = 1, dann 2 · (−1) = −2, dann −8. Das Vorzeichen des Ergebnisses verrät die Richtung.
A4Bedingung und FolgerungAFB II

Vier Bedingungen an \(f′\), vier Aussagen über \(f\) — finde die Paare.

Finde die Paare: Jede Bedingung an f′ gehört zu genau einer Aussage über f. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.
Achte darauf, ob eine Aussage für ein ganzes Intervall oder nur für eine einzelne Stelle gilt.
A5Was macht f auf \(]0;\,2[\)?AFB II

Von vier Funktionen ist jeweils nur die Ableitung angegeben. Das genügt.

Vier Ableitungsterme. Wie verhält sich f jeweils auf dem Intervall \(]0;\,2[\)? Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
Ableitungstreng monoton wachsendstreng monoton fallendweder noch
f′(x) = x + 1
f′(x) = −x² − 3
f′(x) = x − 1
f′(x) = (x − 3)(x + 1)
„Weder noch“ heißt: f′ wechselt innerhalb von \(]0;\,2[\) das Vorzeichen.
A6Drei Vorzeichen, sechs BeschreibungenAFB II

Jede Beschreibung meint dasselbe wie genau eine der drei Bedingungen an \(f′\).

Sechs Beschreibungen, drei Vorzeichen. Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb — oder die Zifferntaste drücken.
1f′(x) > 0
2f′(x) < 0
3f′(x) = 0
In jeden Korb gehören genau zwei Karten.
A7Alles aus dem Graphen von f′ herausholenAFB II

Zu sehen ist der Graph von \(f′\) mit \(f′(x)=(x+2)(x-1)\). Der Graph von \(f\) selbst ist nicht abgebildet.

Graph von \(f′\) mit den Nullstellen −2 und 1
xy−3−2−112−2−11234
Gezeigt ist der Graph von f′, nicht der von f. Markiere alle Aussagen, die sich daraus wirklich ableiten lassen.
Über die Höhe des Graphen von f — also über Funktionswerte und Nullstellen — sagt f′ gar nichts.
A8Lina schließt zu schnellAFB III

Eine Funktion hat die Ableitung \(f′(x)=(x-2)^{2}\). Drei von Linas fünf Zeilen sind falsch.

Lina untersucht eine Funktion mit f′(x) = (x − 2)². Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.
Zwei Zeilen sind völlig korrekt, drei enthalten je einen typischen Fehlschluss.
A9Die ganze Untersuchung in fünf SchrittenAFB III

Arbeite das Verfahren einmal vollständig durch: Nullstellen von \(f′\), Teststellen, Antwort.

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}-6x\) mit \(f′(x)=x^{2}-x-6\). Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
  1. Wie lautet die kleinere Nullstelle von f′?
  2. Wie lautet die größere Nullstelle von f′?
  3. Berechne f′(0) als Teststelle für den mittleren Bereich.
  4. Berechne f′(4) als Teststelle für den rechten Bereich.
  5. Auf wie vielen Intervallen ist f streng monoton wachsend?
Zum Schluss lautet der Antwortsatz: f wächst streng monoton auf \(]-\infty;-2[\) und auf \(]3;\infty[\) und fällt streng monoton auf \(]-2;3[\).
A10Erst ableiten, dann urteilenAFB I

Ohne \(f′\) lässt sich das Monotoniekriterium nicht anwenden. Bilde die Ableitung von \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+4\) und gib sie ausmultipliziert ein.

Schreibweise: x^2-2x-3, Malzeichen * oder weglassen, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Faktorregel und Summenregel getrennt anwenden: \(\tfrac13\cdot 3x^{2}=x^{2}\), \(-2x\), \(-3\), und die Konstante \(+4\) fällt weg. Also \(f′(x)=x^{2}-2x-3\). Diese Ableitung begleitet dich durch die nächsten drei Aufgaben.
A11Fünf Probestellen einsetzenAFB I

Mit \(f′(x)=x^{2}-2x-3\) aus der vorigen Aufgabe: Berechne die fünf Ableitungswerte. Für die Monotoniefrage zählt am Ende nur ihr Vorzeichen.

Trage jeden Wert einzeln ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
Stelle \(x\)Ableitungswert \(f′(x)\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(3\)
\(4\)
\(f′(-2)=4+4-3=5\), \(f′(0)=-3\), \(f′(4)=16-8-3=5\). Zweimal kommt exakt 0 heraus: bei \(-1\) und bei \(3\). Das sind die Nullstellen von \(f′\) — dort hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente, und nur dort kann die Monotonie kippen.
A12Drei Bereiche, drei ZeilenAFB II

Die beiden Nullstellen \(-1\) und \(3\) von \(f′(x)=x^{2}-2x-3\) zerschneiden die x-Achse in drei Bereiche. Fülle die Tabelle — die drei Zeilen sagen dasselbe auf drei Arten.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Deine Werte aus Aufgabe A11 genügen als Probestellen.
\(]-\infty;-1[\)\(]-1;3[\)\(]3;\infty[\)
Vorzeichen von \(f′\)
Monotonie von \(f\)
Lage von \(G_{f′}\)
\(f′\) ist eine nach oben geöffnete Parabel: außerhalb ihrer Nullstellen positiv, dazwischen negativ. Also wächst \(f\) auf \(]-\infty;-1[\) und auf \(]3;\infty[\) und fällt auf \(]-1;3[\). „Konstant“ käme nur vor, wenn \(f′\) auf einem ganzen Intervall null wäre — hier ist sie das nur an zwei einzelnen Stellen.
A13Fünf Ableitungen, zwei FehlerAFB II

In dieser Liste stimmen drei Ableitungen, zwei nicht. Klicke die falschen Zeilen an und trage die richtige Ableitung ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Schreibweise: 8x^3-2x.
Zeile 2: Aus \(-x^{2}\) wird \(-2x\), nicht \(-x\) — der Exponent wandert als Faktor nach vorn. Zeile 4: \(-2x^{2}\) hat die Ableitung \(-4x\), nicht \(-2x\). Beide Fehler haben dieselbe Ursache: Der alte Exponent wurde vergessen. Und beide hätten Folgen — aus \(x^{3}-2x\) läse man die Nullstellen \(0\) und \(\pm\sqrt{2}\) ab statt \(0\) und \(\pm 2\).
A14Der Weg vom Term zur AussageAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{3}-12x\). Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

    Der Weg ist immer derselbe: ableiten – Nullstellen von \(f′\) – je eine Probestelle pro Bereich – Vorzeichen in Monotonie übersetzen. Der Zahlenwert \(15\) spielt dabei keine Rolle, nur sein Pluszeichen.
    A15Wo wächst \(f\)?AFB II

    Von einer Funktion ist nur die Ableitung bekannt: \(f′(x)=-x^{2}+2x+8\). Bestimme durch Rechnung das Intervall, auf dem \(f\) streng monoton wachsend ist, und stelle es ein.

    Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.
    a: b:
    \(-x^{2}+2x+8=0 \Leftrightarrow x^{2}-2x-8=0 \Leftrightarrow (x-4)(x+2)=0\), also \(x=-2\) und \(x=4\). Weil vor dem \(x^{2}\) ein Minus steht, ist die Parabel nach unten geöffnet: \(f′\) ist genau zwischen den Nullstellen positiv. Probe: \(f′(0)=8>0\). Also wächst \(f\) streng monoton auf \(]-2;\,4[\) — mit offenen Klammern, denn an den Randstellen ist \(f′=0\).
    A16Drei Schnittstellen, vier BereicheAFB II

    Gegeben ist \(f(x)=\tfrac14 x^{4}-\tfrac92 x^{2}\). Bilde \(f′\), faktorisiere und trage alle gefragten Zahlen ein.

    Trage alle sechs Zahlen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
    \(f′(x)=x^{3}-9x=x(x-3)(x+3)\) — erst \(x\) ausklammern, dann die dritte binomische Formel. Drei Nullstellen zerschneiden die Zahlengerade in vier Bereiche. Die Probewerte \(f′(-1)=-1+9=8>0\) und \(f′(2)=8-18=-10<0\) zeigen den Vorzeichenwechsel bei \(x=0\).
    A17Ableitung und MonotonieaussageAFB II

    Zu jeder Ableitung gehört genau eine Beschreibung des Monotonieverhaltens von \(f\). Verbinde.

    Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
    \(3x^{2}+1\) ist für jedes \(x\) mindestens 1, also nie null — kein Vorzeichenwechsel, kein Monotoniewechsel. Bei \(f′(x)=x^{2}\) ist die Ableitung zwar an einer Stelle null, wechselt dort aber nicht das Vorzeichen: Der Graph von \(f\) legt nur kurz eine Pause ein und steigt weiter.
    A18Der EntscheidungsbaumAFB III

    Betrachtet wird \(f′(x)=(x-2)^{2}\) auf dem Intervall \(]0;\,5[\). Beantworte die Fragen nacheinander und prüfe, ob das Ergebnis am Ende für diesen Fall stimmt.

    Beantworte die Fragen mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht eine Aussage — sie muss zu diesem \(f′\) passen.

      \((x-2)^{2}\) wird bei \(x=2\) null, ist aber links und rechts davon positiv — ein Quadrat kann nie negativ werden. Also kein Vorzeichenwechsel: \(f\) wächst auf \(]0;2[\) und auf \(]2;5[\), an der Stelle 2 liegt lediglich eine waagerechte Tangente. Genau das unterscheidet eine doppelte von einer einfachen Nullstelle der Ableitung.
      A19Die Nullstellen von \(f′\) markierenAFB III

      Der orangefarbene Graph ist \(G_{f′}\) mit \(f′(x)=x^{2}-2x-3\). Setze die drei gefragten Punkte — alle Koordinaten sind ganzzahlig.

      Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

      Die Nullstellen von \(f′\) sind \(-1\) und \(3\); dazwischen liegt der Graph unterhalb der x-Achse, dort fällt \(f\). Der Tiefpunkt von \(G_{f′}\) bei \((1\mid-4)\) ist kein Tiefpunkt von \(f\) — er sagt nur, an welcher Stelle \(f\) am steilsten bergab läuft.
      A20Der Antwortsatz mit BegründungAFB III

      Setze den vollständigen Antwortsatz für \(f′(x)=-x^{2}+2x+8\) aus Aufgabe A15 zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

      Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
      „\(f\) ist auf \(]-2;\,4[\) streng monoton wachsend, weil dort \(f′(x)>0\) gilt.“ Der Satz hat drei Pflichtteile: Intervall, Fachbegriff, Begründung. Für die Begründung gibt es in der Klausur einen eigenen Punkt — ein Antwortsatz ohne „weil“ ist unvollständig.