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Textaufgaben: Monotonie und erste Ableitung

Fünf Sachaufgaben, in denen \(f′\) eine Geschwindigkeit, eine Zuflussrate oder ein Grenzgewinn ist — mit Einheiten, Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben steckt dieselbe Idee: Eine Ableitung ist hier keine abstrakte Steigung, sondern eine Rate — eine Geschwindigkeit, eine Zuflussrate, ein Grenzgewinn. Achte deshalb bei jedem Ergebnis auf zwei Dinge: auf die Einheit, die sich immer als Einheit der y-Achse geteilt durch die Einheit der x-Achse ergibt, und auf das Vorzeichen, das über Zunahme oder Abnahme entscheidet. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Radtour

AFB I

Eine Radfahrerin startet um 9 Uhr. Die zurückgelegte Strecke nach \(t\) Stunden beträgt \(s(t)=24t-2t^{2}\) (\(s\) in km, \(t\) in h) für \(0\le t\le 5\); der Verlauf ist in Material M1 dargestellt. Die Ableitung lautet \(s′(t)=24-4t\).

M1Zeit-Weg-Diagramm der Radtour
t in hs in km123452040608040 km nach 2 h

Der Graph von \(s\) steigt über den ganzen Zeitraum an, wird dabei aber immer flacher — die Steigung nimmt ab.

  1. Erkläre in einem Satz, welche Größe \(s′(t)\) beschreibt, und gib ihre Einheit an.
  2. Berechne die Geschwindigkeit nach zwei Stunden sowie die bis dahin zurückgelegte Strecke.
  3. Begründe mit dem Monotoniekriterium, dass die Radfahrerin während der gesamten Tour vorankommt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(s′(t)\) ist die Steigung des Zeit-Weg-Graphen an der Stelle \(t\).Die Einheit einer Steigung ist stets die Einheit der y-Achse geteilt durch die Einheit der x-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s′(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit der Radfahrerin. Ihre Einheit ist \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\), denn eine Steigung trägt stets die Einheit der y-Achse geteilt durch die der x-Achse.

Hinweis zu Aufgabe b)
Für die Geschwindigkeit setzt du \(t=2\) in \(s′\) ein, für die Strecke dagegen in \(s\) — zwei verschiedene Funktionen, zwei verschiedene Größen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(s′(2)=24-4\cdot2=16\), also \(16\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

\(s(2)=24\cdot2-2\cdot2^{2}=48-8=40\), also \(40\,\text{km}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuche das Vorzeichen von \(s′(t)=24-4t\) auf dem Intervall \(]0;5[\).„Begründen“ verlangt eine lückenlose Kette: Kriterium nennen, Vorzeichen bestimmen, Monotonie folgern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für alle \(t\in\,]0;5[\) gilt \(s′(t)=24-4t>0\), denn \(t<6\). Nach dem Monotoniekriterium ist \(s\) dort streng monoton wachsend. Antwortsatz: Die Radfahrerin kommt während der gesamten Tour ständig voran — allerdings immer langsamer, weil \(s′\) fällt.

2

Bakterien in der Nährlösung

AFB II

In einer Nährlösung wird die Anzahl \(N(t)\) der Bakterien in Millionen gemessen, \(t\) in Stunden. Für die Wachstumsrate gilt \(N′(t)=0{,}6\,t\,(6-t)\) mit \(0\le t\le 8\).

  1. Gib die Einheit von \(N′\) an.
  2. Berechne \(N′(2)\).
  3. Bestimme, in welchem Zeitraum die Bakterienzahl wächst und in welchem sie abnimmt, und formuliere einen Antwortsatz im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Einheit folgt wie immer aus dem Bruch: Anzahl geteilt durch Zeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\([N′]=\tfrac{\text{Mio.}}{\text{h}}\): Millionen Bakterien je Stunde.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(t=2\) in die Produktform ein — ausmultiplizieren ist nicht nötig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(N′(2)=0{,}6\cdot2\cdot(6-2)=4{,}8\), also \(4{,}8\,\tfrac{\text{Mio.}}{\text{h}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(N′\) ist bereits als Produkt geschrieben. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.Das liefert die Grenzen der Zeiträume; danach entscheidet je eine Teststelle über das Vorzeichen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nullstellen von \(N′\): \(t=0\) und \(t=6\). Teststellen: \(N′(2)=4{,}8>0\) und \(N′(7)=0{,}6\cdot7\cdot(-1)=-4{,}2<0\).

Nach dem Monotoniekriterium ist \(N\) auf \(]0;6[\) streng monoton wachsend und auf \(]6;8[\) streng monoton fallend. Antwortsatz: In den ersten sechs Stunden nimmt die Bakterienzahl zu, danach nimmt sie wieder ab. Nach genau sechs Stunden ist die Population am größten, denn dort wechselt die Wachstumsrate ihr Vorzeichen von plus nach minus.

3

Grenzgewinn einer Manufaktur

AFB II

Eine Manufaktur stellt \(x\) Stück eines Produkts her; der Gewinn \(G(x)\) wird in Euro gemessen. Für den Grenzgewinn gilt \(G′(x)=-0{,}02x^{2}+2x-32\) mit \(0\le x\le 100\) (Material M1).

M1Grenzgewinn \(G′\) in Abhängigkeit von der Stückzahl
x in StückG′ in €/Stück20406080100−30−20−10102018 €/Stück

Die Parabel liegt nur zwischen ihren beiden Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse.

  1. Erläutere, was der Grenzgewinn im Sachzusammenhang bedeutet, und gib seine Einheit an.
  2. Berechne \(G′(50)\).
  3. Bestimme die Stückzahlen, für die der Gewinn streng monoton wächst, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Grenzgewinn ist eine Änderungsrate: Er gibt näherungsweise an, um wie viel Euro der Gewinn wächst, wenn ein weiteres Stück produziert wird.Positiver Grenzgewinn heißt: Weiterproduzieren lohnt sich noch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Grenzgewinn beschreibt die Änderungsrate des Gewinns pro zusätzlich produziertem Stück. Seine Einheit ist \(\tfrac{\text{€}}{\text{Stück}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Achte auf die Reihenfolge: erst \(50^{2}\), dann mit \(-0{,}02\) multiplizieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(G′(50)=-0{,}02\cdot2500+100-32=18\), also \(18\,\tfrac{\text{€}}{\text{Stück}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(G′(x)=0\) und multipliziere die Gleichung mit \(-50\); es entsteht \(x^{2}-100x+1600=0\). Jetzt hilft die \(p\)-\(q\)-Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(-0{,}02x^{2}+2x-32=0 \Leftrightarrow x^{2}-100x+1600=0\), also \(x_{1{,}2}=50\pm\sqrt{2500-1600}=50\pm30\) und damit \(x=20\) oder \(x=80\).

Zwischen den Nullstellen ist \(G′\) positiv, denn \(G′(50)=18>0\); außerhalb ist \(G′\) negativ, denn \(G′(0)=-32<0\). Nach dem Monotoniekriterium wächst \(G\) streng monoton auf \(]20;80[\) und fällt auf \(]0;20[\) und \(]80;100[\). Antwortsatz: Zwischen 20 und 80 Stück lohnt sich jede zusätzliche Einheit; ab 80 Stück sinkt der Gewinn wieder.

4

Ein Werkstück kühlt ab

AFB III

Ein glühendes Werkstück wird aus dem Ofen genommen. Seine Temperatur \(T(t)\) wird in Grad Celsius gemessen, die Zeit \(t\) in Minuten. Für die Abkühlrate gilt im Bereich \(0\le t\le 15\) näherungsweise \(T′(t)=0{,}3t-6\).

Ein Schüler behauptet: „Weil \(T′(t)\) mit der Zeit größer wird, wird das Werkstück ab irgendeinem Zeitpunkt wieder wärmer.“

  1. Berechne \(T′(0)\) und \(T′(10)\).
  2. Untersuche das Vorzeichen von \(T′\) auf dem gesamten Intervall \([0;15]\).
  3. Nimm zu der Behauptung des Schülers begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Werte erhältst du durch schlichtes Einsetzen in \(T′(t)=0{,}3t-6\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(T′(0)=-6\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T′(10)=0{,}3\cdot10-6=-3\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse \(0{,}3t-6=0\) und prüfe, ob die Lösung überhaupt in \([0;15]\) liegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}3t-6=0\) liefert \(t=20\). Diese Stelle liegt außerhalb des betrachteten Zeitraums. Auf ganz \([0;15]\) gilt daher \(T′(t)<0\); die Werte wachsen zwar von \(-6\) auf \(T′(15)=-1{,}5\) an, bleiben dabei aber durchgehend negativ.

Hinweis zu Aufgabe c)
Trenne zwei Fragen sauber voneinander: Wird \(T′\) größer? Und: Ist \(T′\) positiv?Nur die zweite Frage entscheidet über Erwärmen oder Abkühlen — für die Richtung zählt das Vorzeichen, nicht die Veränderung des Zahlenwerts.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Nach dem Monotoniekriterium ist \(T\) wegen \(T′(t)<0\) auf \(]0;15[\) streng monoton fallend. Antwortsatz: Das Werkstück kühlt während des gesamten Zeitraums ab. Dass \(T′\) größer wird, bedeutet nur, dass die Abkühlung immer langsamer verläuft — nach zehn Minuten mit \(3\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) nur noch halb so schnell wie zu Beginn.

5

Die Halde auf dem Bauhof

AFB III

Auf einem Bauhof wird Kies gelagert. Der Bestand \(L(t)\) wird in Tonnen gemessen, die Zeit \(t\) in Tagen. Für die Zuwachsrate gilt \(L′(t)=0{,}5\,(t-6)^{2}\) mit \(0\le t\le 12\) (Material M1).

Ein Mitarbeiter notiert: „Am sechsten Tag ist der Bestand am größten, denn dort gilt \(L′(6)=0\).“

M1Zuwachsrate \(L′\) der Kieshalde
t in TagenL′ in t/Tag246810125101520L′(6) = 0

Die Parabel berührt die \(t\)-Achse bei \(t=6\), ohne sie zu durchsetzen.

  1. Berechne \(L′(2)\) und \(L′(10)\).
  2. Untersuche das Vorzeichen von \(L′\) auf \(]0;12[\).
  3. Widerlege die Aussage des Mitarbeiters und beschreibe, was am sechsten Tag tatsächlich passiert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze die beiden Zeitpunkte in \(L′(t)=0{,}5\,(t-6)^{2}\) ein und vergleiche die Ergebnisse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(L′(2)=0{,}5\cdot(-4)^{2}=8\) und \(L′(10)=0{,}5\cdot4^{2}=8\), beide in \(\tfrac{\text{t}}{\text{Tag}}\) — derselbe positive Wert.

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Quadrat ist niemals negativ. Überlege, welche Werte \(0{,}5\,(t-6)^{2}\) überhaupt annehmen kann.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle \(t\neq6\) ist \((t-6)^{2}>0\) und damit \(L′(t)>0\); nur bei \(t=6\) gilt \(L′(6)=0\). Die Rate wird also an keiner Stelle negativ. Nach dem Monotoniekriterium wächst \(L\) sowohl auf \(]0;6[\) als auch auf \(]6;12[\) streng monoton und damit auf dem ganzen Zeitraum \(]0;12[\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Für einen größten Bestand müsste \(L′\) hinter \(t=6\) negativ werden.Aus \(L′(t_0)=0\) allein folgt kein Hoch- oder Tiefpunkt — erst der Vorzeichenwechsel entscheidet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist widerlegt: Aus \(L′(6)=0\) folgt nur, dass die Halde an diesem Tag kurz nicht wächst. Für einen größten Bestand müsste \(L′\) danach negativ werden, es müsste also Kies abtransportiert werden — das geschieht nicht. Antwortsatz: Am sechsten Tag pausiert die Anlieferung für einen Moment; danach wächst die Halde weiter. Der größte Bestand wird erst am Ende des Zeitraums bei \(t=12\) erreicht; die Stelle \(t=6\) gehört zu einem Sattelpunkt.