Graphen lesen/skizzieren: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Punkte im Graphen benennenAFB I

Der Graph gehört zu \(f(x)=0{,}15x^{3}-0{,}3x^{2}-1{,}65x+1{,}8\). Sechs Punkte sind mit Buchstaben markiert.

Graph mit den Punkten A bis F

Vier Fragen zum Graphen — klicke jeweils den passenden Buchstaben an, mit der Maus oder mit Tab und Enter.

D, E und F liegen auf der x-Achse — dort ist der Funktionswert null.

A2Die Sprache der IntervalleAFB I

Fülle den Text so, dass er die Schreibweise dieser Website korrekt beschreibt.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle — oder klicke erst einen Baustein und dann eine Lücke an.

Ein zusammenhängendes Stück der x-Achse heißt . Gehören die beiden Randwerte nicht dazu, nennt man es ; gehören sie dazu, heißt es . Auf dieser Website zeigen die Klammern eines solchen Bereichs ohne Ränder immer nach , zum Beispiel ]0; 3,5[. Alle Zahlen kleiner als 2 schreibt man als .

Die spitzen Klammern zeigen von der Zahl weg — genau das ist die Merkhilfe.

A3Von links nach rechtsAFB I

Fünf Bereiche der x-Achse. Sortiere sie so, wie sie auf der Zahlengeraden nacheinander kommen.

Bringe die fünf Bereiche in die Reihenfolge, in der sie auf der x-Achse von links nach rechts liegen — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt.

1]−∞; −5[

2]−4; −2[

3]−1; 1,5[

4]2; 3[

5]4,5; ∞[

Ganz links liegt das, was bei −∞ beginnt.

A4Stimmt das so?AFB II

Sechs Aussagen über Graphen, Intervalle und Monotonie.

Richtig oder falsch?

Aussage 1 von 6

Zwei Stolperstellen: die Klammer bei ∞ und die Monotonie an einer einzelnen Stelle.

A5Schreibweise und BedeutungAFB II

Vier Schreibweisen, vier Beschreibungen in Worten — finde die Paare.

Finde die Paare: Jede Schreibweise gehört zu genau einer Beschreibung. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.

Achte auf die Richtung der Klammern: nach außen heißt „ohne Rand“.

A6Alles aus einem Graphen herausholenAFB II

Der Graph gehört zu \(f(x)=0{,}5x^{3}-1{,}5x+1\). Welche Aussagen kannst du am Bild belegen?

Graph mit Hochpunkt H und Tiefpunkt T

Mehrere Aussagen sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Bei T(1 | 0) berührt der Graph die x-Achse nur — er geht nicht hindurch.

A7Ablesen, schätzen oder rechnen?AFB II

Ein Graph zeigt viel, aber nicht alles gleich genau. Ordne die sechs Karten den drei Körben zu.

Was verrät ein Graph wirklich? Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb — oder die Zifferntaste drücken.

1sicher ablesbar

2nur geschätzt

3nur mit dem Funktionsterm

Ablesen liefert immer nur so viel Genauigkeit, wie das Kästchenraster hergibt.

A8Monotonie links der y-AchseAFB III

Vier Graphen, eine Frage: Wie verhalten sie sich auf dem Bereich \(]{-}\infty;\,0[\)?

Vier Graphen G1 bis G4

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Gefragt ist nur der Bereich links der y-Achse.

Graph	auf ]−∞; 0[ steigend	auf ]−∞; 0[ fallend	weder noch
G1
G2
G3
G4

„Weder noch“ heißt: Der Graph wechselt innerhalb des Bereichs die Richtung.

A9Jonas beschreibt den GraphenAFB III

Der Graph hat bei \(x=-1\) einen Tiefpunkt und bei \(x=2\) einen Hochpunkt. Drei von Jonas’ fünf Zeilen sind falsch.

Graph mit Tiefpunkt T und Hochpunkt H

Jonas beschreibt den Graphen oben. Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Zwei Zeilen sind völlig korrekt, drei enthalten je einen typischen Fehler.

A10Ein Monotonieintervall aufschreibenAFB I

Über einen Graphen wird gesagt: „\(G_f\) fällt für alle \(x\) mit \(-1\le x<4\).“ Stelle genau dieses Intervall auf der Zahlengeraden ein — achte auf die Klammern.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Die Stelle \(-1\) gehört dazu (\(\le\)), also eckige Klammer nach innen. Die Stelle 4 gehört nicht dazu (\(<\)), also dreht sich die rechte Klammer nach außen: \([-1\,;4[\).

A11Wie viele Nullstellen hat der Graph?AFB I

Alle fünf Funktionen sind schon faktorisiert. Zähle die verschiedenen Nullstellen — eine doppelte Nullstelle ist trotzdem nur eine Stelle.

Wähle in jeder Zeile die Anzahl. Pfeiltasten wandern, Enter wählt.

1 Nullstelle5 Nullstellen

f(x) = (x − 2)²

f(x) = x(x − 2)

f(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 3)

f(x) = (x² − 1)(x² − 9)

f(x) = x(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

\((x-2)^2\) wird nur bei \(x=2\) null. \((x^2-1)(x^2-9)\) zerfällt in vier Faktoren \((x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\) — also vier Nullstellen. Der Grad ist immer eine Obergrenze für die Anzahl.

A12Punkte selbst berechnen und eintragenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^2-4\). Der Graph ist nicht gezeichnet — rechne jeden Punkt aus, bevor du ihn setzt.

Klicke ins Koordinatensystem, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Der y-Achsenabschnitt ist immer \(f(0)\), hier \(-4\). Nullstellen: \(x^2-4=0\) liefert \(x=\pm2\). Weiter \(f(1)=-3\) und \(f(\pm3)=5\). Dass \(Q\) und \(R\) dieselbe Höhe haben, liegt an der Achsensymmetrie zur y-Achse.

A13Wertetabelle als Grundlage der SkizzeAFB II

Bevor man eine Parabel zeichnet, rechnet man eine Wertetabelle. Berechne alle sieben Funktionswerte von \(f(x)=-x^2+4x\).

Trage die Funktionswerte ein. Negative Werte mit Minuszeichen. Enter prüft.

\(x=-1\)	\(x=0\)	\(x=1\)	\(x=2\)	\(x=3\)	\(x=4\)	\(x=5\)
\(f(x)\)

Erst quadrieren, dann das Vorzeichen anwenden: \(f(-1)=-1-4=-5\). Die Tabelle ist spiegelbildlich zu \(x=2\) — dort liegt der Hochpunkt \((2\mid4)\), und die Nullstellen 0 und 4 liegen symmetrisch darum.

A14Mittlere Änderungsrate zwischen zwei PunktenAFB II

Die Steigung der Verbindungsgeraden zwischen \((a\mid f(a))\) und \((b\mid f(b))\) ist \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Berechne sie für \(f(x)=x^2-4\) auf vier Abschnitten.

Trage alle vier Steigungen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

von \(x=1\) bis \(x=3\):von \(x=-2\) bis \(x=0\):von \(x=-3\) bis \(x=3\):von \(x=0\) bis \(x=4\):

\(\frac{5-(-3)}{2}=4\), \(\frac{-4-0}{2}=-2\), \(\frac{5-5}{6}=0\), \(\frac{12-(-4)}{4}=4\). Der Wert 0 im dritten Fall heißt nicht, dass der Graph waagerecht verläuft — er fällt erst und steigt dann genau so viel wieder an.

A15Alles aus der Scheitelform herausholenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-2(x-3)^2+8\). Rechne die fünf Angaben aus und wähle sie dann aus.

Erst rechnen, dann wählen.

Öffnung	\(x\)-Wert des Scheitels	\(y\)-Wert des Scheitels	Nullstellen	\(y\)-Achsenabschnitt

Der Vorfaktor \(-2\) öffnet nach unten. Die Scheitelform \(a(x-d)^2+e\) zeigt den Scheitel \((3\mid8)\) direkt an. Nullstellen: \(-2(x-3)^2+8=0\Rightarrow(x-3)^2=4\Rightarrow x=3\pm2\), also 1 und 5. y-Achsenabschnitt: \(f(0)=-2\cdot9+8=-10\).

A16Beschreibung und IntervallschreibweiseAFB II

Jede Beschreibung gehört zu genau einer Intervallschreibweise. Achte auf die Richtung der Klammern.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Eckige Klammer nach innen: die Grenze gehört dazu. Klammer nach außen: sie gehört nicht dazu. Bei \(\pm\infty\) ist die Klammer immer nach außen gedreht, denn Unendlich ist keine Zahl, die man erreichen kann.

A17Einen Parameter aus einem Punkt bestimmenAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^2+bx+3\) verläuft durch den Punkt \(P(2\mid1)\). Bestimme \(b\).

Setze die Koordinaten von P in die Funktionsgleichung ein und löse nach b auf.

Einsetzen: \(f(2)=4+2b+3=1\), also \(2b=-6\) und \(b=-3\). Probe: \(f(x)=x^2-3x+3\) liefert \(f(2)=4-6+3=1\). Ein Punkt auf dem Graphen ist immer eine Gleichung für die Unbekannten.

A18Eine Parabel in sechs Schritten skizzierenAFB III

Erarbeite alle Angaben, die du für eine saubere Skizze von \(f(x)=x^2-6x+5\) brauchst.

Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse?
Kleinere Nullstelle?
Größere Nullstelle?
\(x\)-Wert des Scheitelpunkts?
\(y\)-Wert des Scheitelpunkts?
Welchen Wert hat \(f(6)\)?

y-Achsenabschnitt \(f(0)=5\). Nullstellen: \(3\pm\sqrt{9-5}=3\pm2\), also 1 und 5. Der Scheitel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, bei \(x=3\), mit \(f(3)=9-18+5=-4\). Dass \(f(6)=f(0)=5\) ist, bestätigt die Symmetrie zur Geraden \(x=3\).

A19Jonas beschreibt eine Parabel — drei Angaben stimmen nichtAFB III

Jonas notiert sieben Aussagen über \(f(x)=x^2-6x+5\). Finde die falschen und trage jeweils den richtigen Wert ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die Auswahl und deine Korrekturen.

Zeile 3: \(3\pm2\) ergibt 1 und 5, nicht 6 — die Probe \(f(6)=36-36+5=5\ne0\) entlarvt den Fehler sofort. Zeile 5: der kleinste Wert ist der \(y\)-Wert des Scheitels, \(f(3)=-4\); den Wert 0 haben die Nullstellen. Zeile 7: \(f(4)=16-24+5=-3\) — wegen der Symmetrie zu \(x=3\) muss \(f(4)=f(2)\) sein.

A20Welcher Graph passt zur Beschreibung?AFB III

Gesucht ist ein Graph mit den Nullstellen \(-3\), \(0\) und \(2\), der für sehr große \(x\) nach unten verläuft. Nur eine der vier Skizzen erfüllt beide Bedingungen.

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.

Zuerst die Nullstellen: A, B und C / D unterscheiden sich genau dort, wo die Kurve die \(x\)-Achse trifft. A und B haben die richtigen Stellen \(-3\), \(0\) und \(2\), C hat \(-2\), \(0\), \(3\) und D hat \(-3\), \(-1\), \(2\). Von A und B verläuft nur B rechts nach unten — das passt zu einem negativen Leitkoeffizienten.

Übungen: Graphen lesen und skizzieren

Übungsaufgaben