Textaufgaben
In allen fünf Aufgaben liefert der Graph die Information — die Punkte stecken in der Sprache: Steht wirklich ein Intervall da? Ist die Klammer offen? Und ist gekennzeichnet, welche Werte nur abgelesen und damit genähert sind? Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.
Verkehrsdichte auf der Autobahn
AFB IAn einer Zählstelle wird 24 Stunden lang die Verkehrsdichte \(d\) in Fahrzeugen je Minute gemessen (Material M1). Die Zeit \(t\) wird in Stunden seit Mitternacht angegeben; die Messpunkte sind der Übersicht halber verbunden.
Zwischen den beiden Spitzen fällt die Dichte nicht auf den Nachtwert zurück — es bleibt ein Mittagsniveau.
- Lies den Tageshöchstwert und die zugehörige Uhrzeit ab.
- Gib alle Intervalle an, auf denen \(d\) streng monoton wächst bzw. fällt.
- Deute den Verlauf im Sachzusammenhang und begründe, warum der Wert bei \(t=14\) kein Tageshoch ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Tageshöchstwert beträgt \(34\,\tfrac{\text{Fz}}{\text{min}}\) und wird um 18:00 Uhr erreicht \((t=18)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Streng monoton fallend auf \(]0;2[\), \(]8;12[\) und \(]18;24[\); streng monoton wachsend auf \(]2;8[\) und \(]12;18[\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die beiden Anstiege entsprechen dem Berufsverkehr am Morgen und am Nachmittag, der Rückgang dazwischen der ruhigeren Mittagszeit; nachts ist die Dichte am geringsten. Bei \(t=14\) liegt zwar ein Anstieg vor, der Wert \(20\,\tfrac{\text{Fz}}{\text{min}}\) wird aber sowohl um 8 Uhr als auch um 18 Uhr deutlich übertroffen. Antwortsatz: \(t=14\) liegt mitten in einem wachsenden Abschnitt und ist damit nicht einmal ein lokales Maximum.
Vom Graphen zur Ableitung
AFB IIMaterial M2 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades.
Hoch- und Tiefpunkt liegen genau auf Gitterlinien — ihre Koordinaten dürfen deshalb ausnahmsweise als exakt notiert werden.
- Lies die Koordinaten von Hoch- und Tiefpunkt sowie die Anzahl der Nullstellen ab.
- Gib das Monotonieverhalten von \(f\) in Intervallschreibweise an.
- Beschreibe, wie der Graph von \(f′\) aussieht, und begründe die Lage seiner Nullstellen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Hochpunkt \(H(-1\mid 16)\), Tiefpunkt \(T(3\mid -16)\). Der Graph schneidet die \(x\)-Achse dreimal, \(f\) hat also drei Nullstellen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f\) ist auf \(]-\infty;-1[\) streng monoton wachsend, auf \(]-1;3[\) streng monoton fallend und auf \(]3;\infty[\) streng monoton wachsend.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f′\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Sie verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) steigt, und unterhalb, wo \(f\) fällt. Ihre Nullstellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\), denn genau dort hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente, also die Steigung null. Der Scheitel von \(f′\) liegt bei \(x=1\) — dort fällt \(f\) am steilsten.
Vom Text zur Skizze
AFB IIEine ganzrationale Funktion \(h\) dritten Grades erfüllt die folgenden Bedingungen:
- Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=2\).
- Es gilt \(h(1)=-4\).
- Bestimme die Funktionsgleichung von \(h\) in Produkt- und in Summenform.
- Skizziere den Graphen von \(h\) für \(-4\le x\le 3\).
- Gib das Monotonieverhalten von \(h\) näherungsweise an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(h(x)=a\,(x+3)\,x\,(x-2)\). Aus \(h(1)=a\cdot 4\cdot 1\cdot(-1)=-4a\stackrel{!}{=}-4\) folgt \(a=1\). Also \(h(x)=(x+3)\,x\,(x-2)=x^{3}+x^{2}-6x\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Graph verläuft von links unten kommend durch \((-3\mid 0)\), erreicht zwischen \(-3\) und \(0\) einen Hochpunkt, schneidet die Achse im Ursprung, erreicht zwischen \(0\) und \(2\) einen Tiefpunkt (unter anderem durch \((1\mid-4)\)) und steigt nach \((2\mid 0)\) nach rechts oben an.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(h′(x)=3x^{2}+2x-6=0\) liefert \(x_{1,2}=\tfrac{-2\pm\sqrt{4+72}}{6}\), also \(x_1\approx-1{,}79\) und \(x_2\approx 1{,}12\). \(h\) ist streng monoton wachsend auf \(]-\infty;-1{,}79[\) und auf \(]1{,}12;\infty[\), dazwischen streng monoton fallend.
Abgelesen oder gerechnet?
AFB IIIMaterial M3 zeigt den Graphen von \(g(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8\). Drei Lernende geben den Tiefpunkt an:
Alina: \(T(3\mid-10)\) · Ben: \(T\approx(2{,}7\mid-10{,}4)\) · Clara: \(T\bigl(1+\sqrt3\mid-6\sqrt3\bigr)\)
Der Tiefpunkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt — abgelesene Werte sind hier nur Näherungen.
- Berechne die exakte Lage des Tiefpunkts.
- Beurteile die drei Angaben und begründe deine Bewertung.
- Erläutere, unter welcher Bedingung ein abgelesener Wert ohne das Zeichen \(\approx\) notiert werden darf.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(g′(x)=3x^{2}-6x-6=3\,(x^{2}-2x-2)\). Aus \(x^{2}-2x-2=0\) folgt \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{3}\). Wegen \(g″(x)=6x-6\) und \(g″(1+\sqrt3)=6\sqrt3>0\) liegt bei \(x=1+\sqrt3\) ein Tiefpunkt. Einsetzen liefert \(g(1+\sqrt3)=-6\sqrt3\approx-10{,}39\), also \(T\bigl(1+\sqrt3\mid-6\sqrt3\bigr)\approx(2{,}73\mid-10{,}39)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Claras Angabe ist als einzige exakt und damit uneingeschränkt richtig. Bens Angabe ist eine korrekt gerundete Näherung und durch das Zeichen \(\approx\) sauber gekennzeichnet — sie ist zulässig. Alinas Angabe ist doppelt zu beanstanden: Der \(x\)-Wert 3 ist falsch (dort gilt \(g(3)=-10\), aber \(g′(3)=3\neq 0\)), und sie behauptet ohne \(\approx\) eine Genauigkeit, die ein abgelesener Wert nicht liefert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ohne \(\approx\) darf ein Wert nur dann notiert werden, wenn der Punkt genau auf einem Gitterpunkt liegt und die Lage durch eine Rechnung bestätigt ist. Antwortsatz: Ablesen liefert grundsätzlich Näherungswerte; exakte Koordinaten entstehen erst durch Rechnung.
Welcher Graph gehört zu welcher Funktion?
AFB IIIIn Material M4 sind zwei Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem gezeichnet. Bekannt ist: Einer der beiden gehört zu einer Funktion \(f\), der andere zu deren Ableitung \(f′\). Ein Schüler behauptet: „Graph B gehört zu \(f\), denn er ist einfacher.“
Die Nullstellen des einen Graphen liegen genau unter den Extrempunkten des anderen.
- Entscheide, welcher Graph zu \(f\) und welcher zu \(f′\) gehört.
- Begründe deine Entscheidung mit zwei voneinander unabhängigen Argumenten.
- Nimm zur Begründung des Schülers Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Graph A gehört zu \(f\), Graph B zu \(f′\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Argument 1 (Nullstellen und Extrempunkte): Graph B schneidet die \(x\)-Achse bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\). Genau dort hat Graph A einen Hoch- bzw. einen Tiefpunkt, also die Steigung null. Das ist die Beziehung zwischen \(f\) und \(f′\).
Argument 2 (Vorzeichen und Monotonie): Links von \(-1{,}4\) verläuft Graph B oberhalb der Achse, und Graph A steigt dort; zwischen \(-1{,}4\) und \(1{,}4\) liegt Graph B unterhalb der Achse, und Graph A fällt. Das Vorzeichen von B passt also überall zur Monotonie von A.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Begründung ist nicht haltbar. „Einfacher“ ist kein mathematisches Kriterium, und das Ergebnis ist zudem falsch: Wäre Graph B der Graph von \(f\), so müsste Graph A die Ableitung einer Parabel sein — also eine Gerade. Graph A ist aber deutlich gekrümmt. Antwortsatz: Entscheidend ist nicht die Gestalt, sondern der Zusammenhang zwischen Nullstellen von \(f′\) und Extrempunkten von \(f\).