Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben zum größten Rechteck im rechtwinkligen Dreieck — von der Geradengleichung der Hypotenuse über die vollständige Rechnung bis zu eigenen Dreiecken. Am Ende kennst du eine Regel, mit der sich jede dieser Aufgaben in einer Zeile kontrollieren lässt.
Die Hypotenuse der Folie ist der Graph von \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\). Berechne die Höhe des Rechtecks für eine Breite von \(x=4\;\text{cm}\).
Die Hypotenuse verläuft durch \((0\,|\,15)\) und \((20\,|\,0)\). Fülle die Rechnung Feld für Feld aus.
\(y\)-Achsenabschnitt ablesen: \(b=\) .
Steigung aus dem Steigungsdreieck: \(m=\dfrac{0-15}{20-0}=\) .
Damit ist \(g(10)=\) und \(g(16)=\) .
Probe an der Nullstelle: \(g(\) \()=0\).
Die Fläche des Rechtecks ist \(A=x\cdot g(x)\). Multipliziere aus und gib \(A(x)\) ein.
-0.75x^2+15x oder -3/4x^2+15x. Der Term muss ausmultipliziert sein.Arbeite die Aufgabe mit \(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) Schritt für Schritt durch.
- Wie lautet der Koeffizient \(a\) in \(A'(x)=a\cdot x+15\)?
- Löse \(A'(x)=0\). An welcher Stelle liegt der Extrempunkt?cm
- Wie groß ist \(A''(x)\)? (die Zahl genügt)
- Wie hoch ist das beste Rechteck, also \(g(10)\)?cm
- Wie groß ist sein Flächeninhalt \(A(10)\)?cm²
- Wie groß ist der Flächeninhalt des ganzen Dreiecks?cm²
Berechne zu jeder Breite den Flächeninhalt \(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) des ausgeschnittenen Rechtecks.
| Breite \(x\) in cm | \(A(x)\) in cm² |
|---|---|
| \(x=2\) | |
| \(x=4\) | |
| \(x=10\) | |
| \(x=16\) | |
| \(x=18\) |
Ein zweiter Verschnitt ist rechtwinklig, 12 cm breit und 9 cm hoch. Berechne den besten Zuschnitt vollständig.
Gib die Steigung der Hypotenuse aus der Aufgabe (20 cm breit, 15 cm hoch) als vollständig gekürzten Bruch an. Das Minuszeichen gehört in den Zähler.
Welche Aussagen über das flächengrößte Rechteck treffen zu? Mehrere Antworten sind richtig.
Sechs Aussagen zur Goldfolie. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.
Timo bearbeitet ein Dreieck, das 16 cm breit und 12 cm hoch ist. In seiner Lösung stecken zwei Fehler — klicke genau die falschen Zeilen an.
Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge — mit den konkreten Inhalten dieser Aufgabe.
Ordne jede Größe dem passenden Bereich zu.
Verbinde jedes rechtwinklige Dreieck mit dem größten Flächeninhalt, den ein einbeschriebenes Rechteck erreichen kann.
Stelle den Definitionsbereich der Goldfolien-Aufgabe auf der Zahlengeraden ein — mit den passenden Klammern.
Kreuze in jeder Zeile an, worauf sich die Angabe bezieht.
| Aussage | gilt für das Rechteck | gilt für das Dreieck |
|---|---|---|
| Flächeninhalt \(150\;\text{cm}^{2}\) | ||
| Flächeninhalt \(75\;\text{cm}^{2}\) | ||
| Die Seitenlängen betragen 10 cm und 7,5 cm. | ||
| Eine Seite ist 20 cm lang, die andere 15 cm. | ||
| Die schräge Kante ist der Graph von \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\). |
Ein Dreieck ist 16 cm breit und 12 cm hoch. Stelle die Zielfunktion für den Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks auf.
-0.75x^2+12x. Der Term muss ausmultipliziert sein.Setze aus den Bausteinen den Antwortsatz zur Goldfolie zusammen. Zwei Bausteine passen nicht.
Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
Die Höhe des Rechtecks ist , weil die obere rechte Ecke auf der Hypotenuse liegt.
Die Zielfunktion \(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) ist eine , ihr Scheitel liegt bei \(x=\) .
Der Wert \(A''(x)=-1{,}5\) ist — deshalb genügt ein einziger Blick für die hinreichende Bedingung.
Ein guter Schnelltest ist: Das beste Rechteck füllt der Dreiecksfläche.
Ein neues Dreieck ist 30 cm breit und 20 cm hoch. Entscheide in jeder Szene, wie es weitergeht.
Ein Dreieck ist 25 cm breit und 18 cm hoch. Berechne die Einschnittstelle und stelle sie auf dem Regler ein.