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Textaufgaben: Die Goldfolie und verwandte Aufgaben

Fünf Extremwertaufgaben vom Rechteck im Dreieck bis zum Rundbogenfenster — die zweite Variable über die Nebenbedingung eliminieren und Fläche von Umfang unterscheiden.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben liegt die eigentliche Arbeit in Schritt 4: Dort verschwindet die zweite Variable. Danach ist es gewöhnliche Kurvendiskussion — mit einem Definitionsbereich, der aus dem Sachzusammenhang stammt. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Goldfolie

AFB I

Aus einer dreieckigen Goldfolie — rechtwinklig, \(12\,\text{cm}\) breit und \(8\,\text{cm}\) hoch — soll ein möglichst großes Rechteck ausgeschnitten werden. Zwei Seiten des Rechtecks liegen auf den Katheten, die gegenüberliegende Ecke auf der Hypotenuse (Material M1).

M1Rechteck in der dreieckigen Folie
xg(x)Ecke auf der HypotenuseGoldfolie: 12 cm breit, 8 cm hoch812

Die Höhe \(g(x)\) ist der Funktionswert der Hypotenusengeraden an der Stelle \(x\).

  1. Stelle die Gleichung der Hypotenusengeraden \(g\) auf.
  2. Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) mit Definitionsbereich auf.
  3. Bestimme die Maße des flächengrößten Rechtecks und kontrolliere das Ergebnis mit dem Flächeninhalt des Dreiecks.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Gerade verläuft durch \((0\mid 8)\) und \((12\mid 0)\); daraus folgen \(y\)-Achsenabschnitt und Steigung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Gerade hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(8\) und die Steigung \(m=\tfrac{0-8}{12-0}=-\tfrac{2}{3}\), also \(g(x)=8-\tfrac{2}{3}x\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Flächeninhalt ist Breite mal Höhe, also \(A(x)=x\cdot g(x)\).Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Sachzusammenhang: Die Breite liegt zwischen \(0\) und \(12\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A(x)=x\,\bigl(8-\tfrac{2}{3}x\bigr)=8x-\tfrac{2}{3}x^{2}\) mit \(D=\,]0;12[\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(\tfrac12\cdot 12\cdot 8\). Vergleiche ihn mit deinem Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A′(x)=8-\tfrac{4}{3}x=0\) liefert \(x=6\); wegen \(A″(x)=-\tfrac{4}{3}<0\) liegt ein Maximum vor. Dann ist \(g(6)=8-4=4\) und \(A(6)=6\cdot 4=24\). Kontrolle: Das Dreieck hat \(\tfrac12\cdot 12\cdot 8=48\,\text{cm}^{2}\) — das Rechteck nutzt mit \(24\,\text{cm}^{2}\) genau die Hälfte, und seine Breite \(6\) ist die halbe Grundseite. Antwortsatz: Das größte Rechteck ist \(6\,\text{cm}\) breit und \(4\,\text{cm}\) hoch und hat einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^{2}\).

2

Das Rechteck unter der Parabel

AFB II

Aus einem Blech, dessen Rand durch \(f(x)=4-0{,}25x^{2}\) begrenzt wird, soll ein achsensymmetrisches Rechteck ausgeschnitten werden. Die Grundseite liegt auf der \(x\)-Achse, die beiden oberen Ecken auf der Randkurve (Material M2). Alle Längen sind in Dezimetern angegeben.

M2Rechteck unter der Randkurve
xy-4-3-2-1123412345(x | 4 − 0,25x²)

Das Rechteck reicht von \(-x\) bis \(x\) — seine Breite beträgt also \(2x\).

  1. Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) mit Definitionsbereich auf.
  2. Bestimme die Stelle des Maximums exakt und weise das Maximum nach.
  3. Gib die Maße und den Flächeninhalt gerundet auf zwei Nachkommastellen an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Breite mal Höhe: \(A(x)=2x\cdot f(x)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A(x)=2x\,(4-0{,}25x^{2})=8x-0{,}5x^{3}\). Aus \(x>0\) und \(4-0{,}25x^{2}>0\) folgt \(D=\,]0;4[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Nach dem Ausmultiplizieren entsteht eine Funktion dritten Grades; ihre Ableitung ist eine Parabel.Nur die positive Lösung liegt im Definitionsbereich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A′(x)=8-1{,}5x^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}=\tfrac{16}{3}\), also \(x=\tfrac{4}{\sqrt3}=\tfrac{4\sqrt3}{3}\). Wegen \(A″(x)=-3x\) und \(A″\bigl(\tfrac{4\sqrt3}{3}\bigr)<0\) liegt ein Maximum vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Gib das Ergebnis zuerst exakt an und runde erst im Antwortsatz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x\approx 2{,}31\), Breite \(2x\approx 4{,}62\), Höhe \(f(x)=4-\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}\approx 2{,}67\) und \(A=\tfrac{64\sqrt3}{9}\approx 12{,}32\). Antwortsatz: Das größte Rechteck ist rund \(4{,}62\,\text{dm}\) breit und \(2{,}67\,\text{dm}\) hoch; sein Flächeninhalt beträgt etwa \(12{,}32\,\text{dm}^{2}\).

3

Die Schachtel aus dem Quadrat

AFB II

Aus einem quadratischen Karton mit \(24\,\text{cm}\) Seitenlänge werden an den vier Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten; die Ränder werden zu einer oben offenen Schachtel hochgeklappt. Gesucht ist die Schachtel mit dem größten Volumen.

  1. Stelle die Zielfunktion \(V(x)\) mit Definitionsbereich auf und multipliziere sie aus.
  2. Bestimme alle Kandidaten und entscheide, welcher davon in Frage kommt.
  3. Gib die Maße und das größte Volumen an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(24-2x\), die Höhe ist \(x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(V(x)=x\,(24-2x)^{2}=x\,(576-96x+4x^{2})=4x^{3}-96x^{2}+576x\). Aus \(x>0\) und \(24-2x>0\) folgt \(D=\,]0;12[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Multipliziere zuerst vollständig aus, dann genügt die Potenzregel.Die zweite Lösung liegt außerhalb des Definitionsbereichs — und sachlich ist sie unmöglich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V′(x)=12x^{2}-192x+576=12\,(x^{2}-16x+48)=12\,(x-4)(x-12)\). Kandidaten: \(x_1=4\) und \(x_2=12\). Nur \(x_1=4\) liegt in \(D\); bei \(x_2=12\) wäre die Grundfläche null. Wegen \(V″(x)=24x-192\) und \(V″(4)=-96<0\) liegt bei \(x=4\) ein Maximum.

Hinweis zu Aufgabe c)
Kontrolliere das Volumen zur Sicherheit direkt über \(x\cdot(24-2x)^{2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Grundkante \(24-8=16\), Höhe \(4\), Volumen \(V(4)=4\cdot 16^{2}=1024\). Antwortsatz: Werden Quadrate mit \(4\,\text{cm}\) Seitenlänge ausgeschnitten, entsteht eine Schachtel mit \(16\,\text{cm}\times 16\,\text{cm}\times 4\,\text{cm}\) und dem größten Volumen von \(1024\,\text{cm}^{3}\).

4

Das Fenster mit Rundbogen

AFB III

Ein Fenster besteht aus einem Rechteck mit der Breite \(b\) und der Höhe \(h\), auf das ein Halbkreis mit dem Durchmesser \(b\) aufgesetzt ist. Der gesamte Rahmen ist \(8\,\text{m}\) lang. Gesucht ist das Fenster, durch das am meisten Licht fällt — also das mit dem größten Flächeninhalt. Alle Längen in Metern.

  1. Stelle die Nebenbedingung für den Rahmen auf.
  2. Stelle die Zielfunktion \(A(b)\) auf und bestimme das Maximum.
  3. Gib alle Maße gerundet an und deute das Verhältnis von Höhe und Breite.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Rahmen besteht aus der Grundseite, den beiden senkrechten Seiten und dem Halbkreisbogen der Länge \(\tfrac{\pi b}{2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Rahmenlänge: \(b+2h+\tfrac{\pi b}{2}=8\), also \(h=\dfrac{8-b-\tfrac{\pi b}{2}}{2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Gesamtfläche ist \(A=b\cdot h+\tfrac{\pi}{8}b^{2}\); setze \(h\) aus der Nebenbedingung ein.Nach dem Zusammenfassen entsteht eine nach unten geöffnete Parabel in \(b\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A(b)=b\,h+\tfrac{\pi}{8}b^{2}=\tfrac{b}{2}\Bigl(8-b-\tfrac{\pi b}{2}\Bigr)+\tfrac{\pi}{8}b^{2}=4b-\tfrac{b^{2}}{2}-\tfrac{\pi}{8}b^{2}\).

\(A′(b)=4-b-\tfrac{\pi}{4}b=0 \Leftrightarrow b\Bigl(1+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=4 \Leftrightarrow b=\dfrac{4}{1+\tfrac{\pi}{4}}=\dfrac{16}{4+\pi}\approx 2{,}24\). Wegen \(A″(b)=-1-\tfrac{\pi}{4}<0\) liegt ein Maximum vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(h\) mit \(b\) — das Ergebnis ist eine bemerkenswert einfache Beziehung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(b\approx 2{,}24\,\text{m}\), \(h=\dfrac{8-2{,}24-3{,}52}{2}\approx 1{,}12\,\text{m}\), \(A\approx 4{,}48\,\text{m}^{2}\). Es gilt \(h=\tfrac{b}{2}\): Die Rechteckhöhe ist genau der Halbkreisradius, das Fenster ist also insgesamt so hoch wie breit. Antwortsatz: Das lichtreichste Fenster ist rund \(2{,}24\,\text{m}\) breit, sein rechteckiger Teil \(1{,}12\,\text{m}\) hoch; die Glasfläche beträgt etwa \(4{,}48\,\text{m}^{2}\).

5

Größte Fläche, größter Umfang?

AFB III

Wir bleiben bei der Goldfolie aus Aufgabe 1: dem rechtwinkligen Dreieck mit \(12\,\text{cm}\) Breite und \(8\,\text{cm}\) Höhe. Ein Schüler behauptet: „Das flächengrößte Rechteck hat auch den größten Umfang.“

  1. Stelle die Umfangsfunktion \(U(x)\) mit Definitionsbereich auf.
  2. Untersuche \(U\) auf Extremstellen und beschreibe ihr Monotonieverhalten.
  3. Nimm zur Behauptung des Schülers begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Umfang ist \(U=2x+2\,g(x)\) mit \(g(x)=8-\tfrac{2}{3}x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(U(x)=2x+2\,\bigl(8-\tfrac{2}{3}x\bigr)=2x+16-\tfrac{4}{3}x=16+\tfrac{2}{3}x\) mit \(D=\,]0;12[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Fasse zusammen, bevor du ableitest — das Ergebnis ist überraschend einfach.Ist \(U′\) konstant und von null verschieden, so gibt es überhaupt keine Extremstelle im Inneren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(U′(x)=\tfrac{2}{3}>0\) für alle \(x\). \(U\) besitzt also keine Extremstelle und ist auf ganz \(D\) streng monoton wachsend: Je breiter das Rechteck gewählt wird, desto größer ist sein Umfang.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(U(6)\) mit \(U(9)\) und beziehe die Ränder des Definitionsbereichs in die Argumentation ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Das flächengrößte Rechteck gehört zu \(x=6\) mit \(U(6)=20\,\text{cm}\); für \(x=9\) ist der Umfang mit \(U(9)=22\,\text{cm}\) größer, obwohl die Fläche dann nur noch \(A(9)=9\cdot 2=18\,\text{cm}^{2}\) beträgt. Da \(U\) streng monoton wächst und \(D\) offen ist, wird der Umfang im Inneren überhaupt nicht maximal — er strebt für \(x\to 12\) gegen \(24\,\text{cm}\), bei einer Fläche, die gegen null geht. Antwortsatz: Fläche und Umfang sind verschiedene Zielgrößen; ihre Optima müssen nicht zusammenfallen und tun es hier auch nicht.