Bedingung: f″-Kriterium: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Zweimal ableitenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5\). Bilde zuerst \(f'\), dann \(f^{\prime\prime}\), und gib die zweite Ableitung an.

Schreibweise: 6x-12. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-12x\) und daraus \(f^{\prime\prime}(x)=6x-12\). Der konstante Summand \(+5\) fällt schon beim ersten Ableiten weg, der lineare Anteil beim zweiten.

A2f, f′ und f″ an drei StellenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+4\). Berechne die neun Werte.

Alle Felder ausfüllen, dann prüfen. Negative Zahlen mit Minuszeichen.

Stelle \(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(f^{\prime\prime}(x)\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)

\(f'(x)=3x^{2}-6x\), \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\). An den Stellen \(0\) und \(2\) ist \(f'\) null — das sind die Kandidaten. Dort ist \(f^{\prime\prime}(0)=-6<0\) (Hochpunkt) und \(f^{\prime\prime}(2)=6>0\) (Tiefpunkt). Bei \(x=1\) ist zwar \(f^{\prime\prime}=0\), aber \(f'\ne 0\) — das ist kein Kandidat, sondern die Wendestelle.

A3Der Merksatz zum f″-KriteriumAFB I

Setze die Begriffe so ein, dass das Kriterium korrekt formuliert ist.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken.

Sei \(x_E\) eine Stelle mit \(f'(x_E)=0\). Ist dort \(f^{\prime\prime}(x_E)>0\), so ist der Graph gekrümmt und es liegt ein vor. Ist \(f^{\prime\prime}(x_E)<0\), so ist der Graph gekrümmt und es liegt ein vor. Ergibt sich dagegen \(f^{\prime\prime}(x_E)=0\), so liefert das Kriterium — dann muss man auf das ausweichen.

Eselsbrücke: Ein positives \(f^{\prime\prime}\) lässt den Graphen wie ein Plus-Zeichen nach oben aufgehen — Wanne, also Tiefpunkt. Negatives \(f^{\prime\prime}\): Berg, also Hochpunkt.

A4Das Verfahren in drei SchrittenAFB II

Untersuche \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5\) mit dem \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium auf Extrempunkte.

Bei den Wortfeldern genügt Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-6x-9\). Kleinere Kandidatenstelle:
Größere Kandidatenstelle:
Wie lautet \(f^{\prime\prime}(x)\) an der Stelle \(-1\)? \(f^{\prime\prime}(-1)=\)
Welche Punktart folgt daraus?
\(f^{\prime\prime}(3)=\)
Welche Punktart folgt daraus?
y-Wert des Hochpunkts: \(f(-1)=\)
y-Wert des Tiefpunkts: \(f(3)=\)

\(f'(x)=3(x-3)(x+1)\), also \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). Mit \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\) folgt \(f^{\prime\prime}(-1)=-12<0\) und \(f^{\prime\prime}(3)=12>0\). Ergebnis: \(H(-1\mid 10)\) und \(T(3\mid -22)\). Nur ein eingesetzter Wert pro Kandidat — das ist der Zeitvorteil gegenüber dem VZW-Kriterium.

A5Die EntscheidungstabelleAFB I

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Drei Fälle, jeweils Krümmung und Folgerung.

Wert von \(f^{\prime\prime}(x_E)\)	Krümmung dort	Folgerung
\(f^{\prime\prime}(x_E)>0\)
\(f^{\prime\prime}(x_E)<0\)
\(f^{\prime\prime}(x_E)=0\)

Die dritte Zeile ist die wichtigste: \(f^{\prime\prime}(x_E)=0\) heißt nicht, dass kein Extrempunkt vorliegt — es heißt nur, dass dieses Kriterium schweigt.

A6Beide Extrempunkte vollständigAFB II

Bestimme die Extrempunkte von \(f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+1\).

Sechs Felder, ein Klick prüft alles.

kleinere Kandidatenstellegrößere Kandidatenstelle\(f^{\prime\prime}\) an der kleineren Stelle\(f^{\prime\prime}\) an der größeren Stelley-Wert an der kleineren Stelley-Wert an der größeren Stelle

\(f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x-2)(x+1)\) liefert \(x=-1\) und \(x=2\). Mit \(f^{\prime\prime}(x)=12x-6\) ist \(f^{\prime\prime}(-1)=-18<0\) und \(f^{\prime\prime}(2)=18>0\). Ergebnis: \(H(-1\mid 8)\) und \(T(2\mid -19)\).

A7Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zum \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium.

Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Aussage 1 von 5

Aussage 4 ist der gefährlichste Fehler: Ohne \(f'(x_E)=0\) beschreibt \(f^{\prime\prime}\) nur die Krümmung, nicht die Punktart.

A8Was liefert das Kriterium?AFB II

Zu jeder Funktion ist eine Kandidatenstelle \(x_E\) angegeben. Kreuze an, was am Wert von \(f^{\prime\prime}(x_E)\) zutrifft.

Es können mehrere Kreuze pro Zeile sein.

Funktion und Stelle	\(f^{\prime\prime}(x_E)>0\)	\(f^{\prime\prime}(x_E)<0\)	\(f^{\prime\prime}(x_E)=0\)	Kriterium entscheidet nicht
\(f(x)=x^{2}-4x\), \(x_E=2\)
\(f(x)=-x^{2}+6x\), \(x_E=3\)
\(f(x)=x^{4}\), \(x_E=0\)
\(f(x)=x^{3}\), \(x_E=0\)
\(f(x)=x^{3}-12x\), \(x_E=2\)

Die Zeilen 3 und 4 sind das Kernbeispiel des Kapitels: gleiche Ausgangslage \(f'=f^{\prime\prime}=0\), aber \(x^{4}\) hat dort einen Tiefpunkt und \(x^{3}\) einen Sattelpunkt. Genau deshalb darf man aus \(f^{\prime\prime}(x_E)=0\) nichts folgern.

A9Falsche zweite AbleitungenAFB III

Zwei der sechs Zeilen enthalten eine falsche zweite Ableitung. Markiere sie und trage die richtige ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst. Schreibweise: 20x^3.

Zeile 3: Der lineare Summand \(5x\) wird beim ersten Ableiten zur Konstanten \(5\) und fällt beim zweiten weg. Zeile 6: \(x^{5}\rightarrow 5x^{4}\rightarrow 20x^{3}\) — beim zweiten Schritt wird mit \(4\) multipliziert, nicht der Exponent stehen gelassen.

A10Ein Wert entscheidetAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac14x^{4}-2x^{2}\) mit den Kandidatenstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Berechne \(f^{\prime\prime}(-2)\).

Erst \(f^{\prime\prime}\) bilden, dann einsetzen. Enter prüft.

\(f'(x)=x^{3}-4x\) und \(f^{\prime\prime}(x)=3x^{2}-4\). Damit ist \(f^{\prime\prime}(-2)=3\cdot4-4=8>0\) — bei \(x=-2\) liegt ein Tiefpunkt. Zum Vergleich: \(f^{\prime\prime}(0)=-4<0\), dort liegt ein Hochpunkt.

A11Minimum, Maximum oder keine Aussage?AFB II

Bei allen Karten gilt \(f'(x_E)=0\). Ordne nach dem, was das \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium liefert.

Karte anklicken, dann Korb anklicken — oder Enter und die Ziffer des Korbs.

1Minimum (Tiefpunkt)

2Maximum (Hochpunkt)

3keine Aussage

Auf den Betrag kommt es nie an: \(f^{\prime\prime}=0{,}5\) entscheidet genauso eindeutig wie \(f^{\prime\prime}=6\). Bei \(f(x)=x^{4}\) ist \(f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}\), also \(f^{\prime\prime}(0)=0\) — das Kriterium schweigt, obwohl dort tatsächlich ein Tiefpunkt liegt.

A12Zweite Ableitung eines Grades vierAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}+2\). Gib \(f^{\prime\prime}(x)\) an.

Zweimal die Potenzregel. Schreibweise: 12x^2-24x.

\(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}\), also \(f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)\). An den Kandidatenstellen \(x=0\) und \(x=3\) (aus \(4x^{2}(x-3)=0\)) gilt \(f^{\prime\prime}(0)=0\) — keine Aussage — und \(f^{\prime\prime}(3)=108-72=36>0\), also ein Tiefpunkt.

A13Der AblaufAFB II

Ordne die Schritte einer Extrempunktbestimmung mit dem \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium.

Ziehen oder mit den Pfeil-Buttons verschieben.

1\(f'\) und \(f^{\prime\prime}\) bilden.

2Die Gleichung \(f'(x)=0\) lösen und die Kandidatenstellen notieren.

3Jede Kandidatenstelle in \(f^{\prime\prime}\) einsetzen.

4Aus dem Vorzeichen von \(f^{\prime\prime}\) die Punktart bestimmen — bei \(f^{\prime\prime}=0\) auf das VZW-Kriterium ausweichen.

5Die y-Werte mit \(f\) berechnen und die Extrempunkte angeben.

Beide Ableitungen werden gleich am Anfang gebildet — das spart später Zeit. Die Kandidatenstellen werden in \(f^{\prime\prime}\) eingesetzt, die y-Werte dagegen in \(f\); das wird oft verwechselt.

A14Wenn f″ an der Kandidatenstelle null wirdAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\). Fülle die Tabelle aus.

Acht Felder, dann prüfen.

Stelle \(x\)	\(f'(x)\)	\(f^{\prime\prime}(x)\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)

\(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}\) und \(f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-24x\). Kandidatenstellen sind \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=3\) ist \(f^{\prime\prime}=36>0\): Tiefpunkt. Bei \(x=0\) sind beide Ableitungen null — das \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium schweigt. Das VZW-Kriterium zeigt: \(f'(-1)=-16<0\) und \(f'(1)=-8<0\), kein Wechsel, also ein Sattelpunkt. Die Zeile \(x=2\) ist ein Hinweis darauf, dass \(f^{\prime\prime}=0\) auch dort auftritt, wo \(f'\ne 0\) ist — das ist eine Wendestelle, keine Kandidatenstelle.

A15Fehlersuche im KlausurauszugAFB II

Vier der sieben Zeilen sind falsch. Klicke genau die falschen an.

Die richtigen Zeilen musst du stehen lassen.

Zeile 2 und 7 vertauschen die Vorzeichen-Zuordnung, Zeile 3 überdehnt den Grenzfall, Zeile 6 verwechselt notwendige und hinreichende Bedingung.

A16Wenn das Kriterium schweigtAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x\). Untersuche die Kandidatenstelle vollständig.

Bei den Wortfeldern genügt das Wort, z. B. Sattelpunkt. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-6x+3\). Wie viele verschiedene Kandidatenstellen gibt es?
Wie lautet diese Stelle?
Berechne \(f^{\prime\prime}(1)\) mit \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\).
Testwert links: \(f'(0)=\)
Testwert rechts: \(f'(2)=\)
Welche Punktart liegt bei \(x=1\) vor?

\(f'(x)=3(x-1)^{2}\) hat die doppelte Nullstelle \(x=1\). Dort ist \(f^{\prime\prime}(1)=0\) — das \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium entscheidet nichts. Das VZW-Kriterium hilft weiter: \(f'\) ist links und rechts positiv, kein Vorzeichenwechsel, also ein Sattelpunkt \(S(1\mid 1)\). Eine doppelte Nullstelle von \(f'\) ist immer ein Warnsignal für diesen Fall.

A17Welche Voraussetzungen braucht das Kriterium?AFB II

Welche Aussagen über das \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium sind richtig?

Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Die letzte Ablenkung ist ein häufiger Flüchtigkeitsfehler in Klausuren: Der y-Wert kommt aus \(f\), nicht aus \(f^{\prime\prime}\). Und \(f^{\prime\prime}(x_E)=0\) schließt einen Extrempunkt gerade nicht aus.

A18Nicht ganzzahlige ExtremstelleAFB II

Bestimme die Extremstelle von \(f(x)=2x^{2}-3x+1\) und gib sie als vollständig gekürzten Bruch an.

Zähler und Nenner eintragen. Enter prüft.

\(f'(x)=4x-3=0\Rightarrow x=\tfrac34\). Mit \(f^{\prime\prime}(x)=4>0\) liegt dort ein Tiefpunkt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist \(f^{\prime\prime}\) konstant positiv — deshalb ist der Scheitel immer ein Minimum.

A19Funktion und zweite Ableitung verbindenAFB II

Verbinde jede Funktion mit ihrer zweiten Ableitung.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Zweimal ableiten senkt den Grad um zwei: Aus Grad 3 wird Grad 1, aus Grad 4 wird Grad 2. Wer das im Kopf hat, erkennt falsche Zuordnungen sofort am Grad.

A20Parameter und Punktart in einem ZugAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+9x-2\) hat an der Stelle \(x=1\) eine waagerechte Tangente. Bestimme \(a\), berechne damit \(f^{\prime\prime}(1)\) und gib die Punktart an.

Drei Felder: zuerst \(a\), dann \(f^{\prime\prime}(1)\), dann das Wort (Hochpunkt oder Tiefpunkt). Enter prüft.

gesucht	\(a\)	\(f^{\prime\prime}(1)\)	Punktart bei \(x=1\)
Wert

\(f'(x)=3x^{2}+2ax+9\); aus \(f'(1)=3+2a+9=0\) folgt \(a=-6\). Damit ist \(f^{\prime\prime}(x)=6x+2a=6x-12\) und \(f^{\prime\prime}(1)=-6<0\) — ein Hochpunkt. Die zweite Kandidatenstelle ergibt sich aus \(3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)\) zu \(x=3\), dort ist \(f^{\prime\prime}(3)=6>0\), also ein Tiefpunkt.

Übungen: Das f″-Kriterium

Übungsaufgaben