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Textaufgaben: Das f″-Kriterium anwenden

Fünf Sachaufgaben vom Schnelllader bis zur Modellschar — mit einem einzigen Wert entscheiden, Randstellen prüfen und erkennen, wann das Kriterium schweigt.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben genügt statt einer Vorzeichentabelle ein einziger Wert je Kandidat. Zwei Dinge bleiben trotzdem zu beachten: die auf den ersten Blick vertauschte Zuordnung von Vorzeichen und Punktart — und der Fall \(f″(x_E)=0\), in dem das Kriterium keine Auskunft gibt. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der Akku am Schnelllader

AFB I

Ein Akku wird geladen. Sein Ladestand \(L\) (in Prozent) beträgt

\[L(t)=-t^{3}+6t^{2}+15t\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 6\]

mit der Ladezeit \(t\) in Stunden (Material M1).

M1Ladestand des Akkus
t in hL in %123456255075100t = 5

Nach dem Höchststand fällt der Wert wieder — das Modell gilt nur für sechs Stunden.

  1. Bestimme \(L′\) und \(L″\).
  2. Bestimme alle Kandidaten für Extremstellen und entscheide mit dem \(f″\)-Kriterium.
  3. Gib den Extrempunkt an und deute ihn im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Leite zweimal hintereinander ab. \(L″\) ist die Ableitung von \(L′\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(L′(t)=-3t^{2}+12t+15\) und \(L″(t)=-6t+12\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(L′(t)=0\), klammere \(-3\) aus und prüfe, welche Lösung im Definitionsbereich liegt.Ein negativer Wert von \(L″\) gehört zum Hochpunkt, ein positiver zum Tiefpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(-3t^{2}+12t+15=-3\,(t^{2}-4t-5)=-3\,(t-5)(t+1)=0\) liefert \(t_1=5\) und \(t_2=-1\). Nur \(t_1=5\) liegt in \([0;6]\). Wegen \(L″(5)=-30+12=-18<0\) liegt dort ein Maximum.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Höhe des Punktes liefert \(L\), nicht \(L′\) oder \(L″\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(L(5)=-125+150+75=100\), also \(H(5\mid 100)\). Antwortsatz: Nach fünf Stunden ist der Akku mit 100 % vollständig geladen; das Modell beschreibt danach den Abbau der Ladung und ist für den Ladevorgang nicht mehr sinnvoll.

2

Der Gewinn einer Kleinserie

AFB II

Eine Manufaktur fertigt \(x\) Hundert Stück eines Produkts. Der Gewinn \(P\) (in Tausend Euro) beträgt

\[P(x)=x^{3}-9x^{2}+15x+50\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 8\]

(Material M2).

M2Gewinn in Abhängigkeit von der Stückzahl
x in 100 StückP in 1000 €12345678255075100x = 1x = 5Rand

Der größte Wert des Definitionsbereichs wird nicht an einem der beiden Extrempunkte angenommen.

  1. Bestimme \(P′\) und \(P″\) sowie alle Kandidaten.
  2. Entscheide mit dem \(f″\)-Kriterium über beide Kandidaten und gib die Extrempunkte an.
  3. Untersuche zusätzlich die Randstellen und entscheide, bei welcher Stückzahl der Gewinn am größten ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(P′(x)=3x^{2}-18x+15\); klammere 3 aus und faktorisiere.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P′(x)=3x^{2}-18x+15=3\,(x-1)(x-5)\) und \(P″(x)=6x-18\). Kandidaten: \(x_1=1\) und \(x_2=5\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze beide Kandidaten in \(P″\) ein und lies nur das Vorzeichen ab.Ein einziger Wert je Kandidat genügt — das ist der Vorteil gegenüber der Vorzeichentabelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P″(1)=-12<0\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt; \(P″(5)=12>0\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt. Mit \(P(1)=57\) und \(P(5)=25\) ergibt sich \(H(1\mid 57)\) und \(T(5\mid 25)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(5)\) und \(P(8)\) miteinander.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Randwerte: \(P(0)=50\) und \(P(8)=512-576+120+50=106\). Der größte Wert des Definitionsbereichs ist damit \(106\) am rechten Rand. Antwortsatz: Der Gewinn ist bei 800 Stück mit 106 000 € am größten. Der Hochpunkt bei 100 Stück ist nur ein lokales Maximum — wer nur die Extrempunkte betrachtet, übersieht das Randmaximum.

3

Wenn \(f″\) versagt

AFB II

Die Dicke \(d\) einer Folie (in Mikrometern, gemessen als Abweichung vom Sollwert) hängt von der Position \(x\) (in Metern) auf der Rolle ab:

\[d(x)=x^{4}-4x^{3}\qquad\text{mit}\quad -1\le x\le 4\]

Ein Prüfer möchte die Extremstellen mit dem \(f″\)-Kriterium bestimmen.

  1. Bestimme \(d′\) und \(d″\) sowie alle Kandidaten.
  2. Entscheide mit dem \(f″\)-Kriterium, soweit es eine Entscheidung liefert.
  3. Untersuche die verbleibende Stelle mit dem VZW-Kriterium und deute das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(d′(x)=4x^{3}-12x^{2}\). Klammere \(4x^{2}\) aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(d′(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}\,(x-3)\) und \(d″(x)=12x^{2}-24x=12x\,(x-2)\). Kandidaten: \(x_1=0\) (doppelt) und \(x_2=3\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze beide Kandidaten in \(d″\) ein. An einer Stelle ergibt sich null — dort trifft das Kriterium keine Entscheidung.\(f″(x_0)=0\) bedeutet nicht, dass kein Extrempunkt vorliegt; es bedeutet nur, dass dieses Kriterium schweigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(d″(3)=12\cdot 3\cdot 1=36>0\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(x=3\) mit \(d(3)=81-108=-27\), also \(T(3\mid-27)\). Für \(x=0\) gilt \(d″(0)=0\); hier liefert das \(f″\)-Kriterium keine Entscheidung.

Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuche das Vorzeichen von \(d′(x)=4x^{2}(x-3)\) links und rechts von \(x=0\). Der Faktor \(4x^{2}\) ist nie negativ.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Teststellen für \(d′(x)=4x^{2}(x-3)\): \(d′(-1)=4\cdot 1\cdot(-4)=-16<0\) und \(d′(1)=4\cdot 1\cdot(-2)=-8<0\). Kein Vorzeichenwechsel — bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt \(S(0\mid 0)\). Antwortsatz: Die Folie wird bis zur Position \(x=3\) durchgehend dünner und erreicht dort mit \(-27\,\mu\text{m}\) ihre größte Abweichung; bei \(x=0\) verläuft die Dicke nur kurz konstant, ohne die Richtung zu ändern.

4

Vorzeichen verwechselt

AFB III

Der Wasserstand \(w\) eines Bachs (in Dezimetern) wird für \(-2\le x\le 5\) durch \(w(x)=-x^{3}+3x^{2}+9x\) beschrieben; \(x\) ist die Zeit in Stunden nach Messbeginn. Ein Schüler rechnet:

„Die Kandidaten sind \(x=-1\) und \(x=3\). Es ist \(w″(3)=-12<0\); ein negativer Wert bedeutet einen Tiefpunkt. Der Bach führt nach drei Stunden also am wenigsten Wasser.“

  1. Berechne \(w″\) an beiden Kandidatenstellen.
  2. Widerlege die Schlussfolgerung des Schülers.
  3. Erkläre mithilfe der Krümmung, warum ein negativer Wert von \(w″\) zum Hochpunkt gehört.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(w′(x)=-3x^{2}+6x+9\) und \(w″(x)=-6x+6\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(w″(x)=-6x+6\); also \(w″(-1)=12>0\) und \(w″(3)=-12<0\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Berechne zusätzlich \(w(-1)\) und \(w(3)\) und vergleiche die beiden Werte miteinander.Ein Gegenbeispiel aus derselben Aufgabe ist die überzeugendste Widerlegung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Schüler hat die Zuordnung vertauscht. Aus \(w″(3)<0\) folgt ein Hochpunkt. Die Zahlen bestätigen das: \(w(3)=-27+27+27=27\) und \(w(-1)=1+3-9=-5\). Der Wert bei \(x=3\) ist der größere von beiden — ein Tiefpunkt kann dort nicht liegen. Richtig ist: \(H(3\mid 27)\) und \(T(-1\mid-5)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(w″<0\) bedeutet Rechtskrümmung — der Graph verläuft dort wie ein Bergrücken.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Vorzeichen von \(w″\) beschreibt die Krümmung. Ist \(w″(x_E)<0\), so ist der Graph dort rechtsgekrümmt, verläuft also wie ein Bergrücken; zusammen mit der waagerechten Tangente \(w′(x_E)=0\) ergibt das einen Hochpunkt. Ist \(w″(x_E)>0\), so ist der Graph linksgekrümmt, verläuft wie eine Wanne, und es entsteht ein Tiefpunkt. Antwortsatz: Die Zuordnung fühlt sich vertauscht an, folgt aber unmittelbar aus der Krümmung.

5

Eine Schar von Modellkurven

AFB III

Modellkurven einer Produktreihe werden durch die Schar

\[f_a(x)=x^{3}-3a\,x^{2}+5\qquad\text{mit}\quad a\in\mathbb{R}\]

beschrieben. Ein Entwickler behauptet: „Jede Kurve dieser Schar hat genau einen Hoch- und genau einen Tiefpunkt.“

  1. Bestimme \(f_a′\) und \(f_a″\).
  2. Untersuche die Kandidaten in Abhängigkeit von \(a\) mit dem \(f″\)-Kriterium.
  3. Nimm zur Behauptung des Entwicklers begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Parameter \(a\) wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=3x^{2}-6a\,x=3x\,(x-2a)\) und \(f_a″(x)=6x-6a\). Kandidaten: \(x_1=0\) und \(x_2=2a\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze beide Kandidaten in \(f_a″\) ein. Die Ergebnisse hängen nur vom Vorzeichen von \(a\) ab.Unterscheide die drei Fälle \(a>0\), \(a=0\) und \(a<0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f_a″(0)=-6a\) und \(f_a″(2a)=6a\).

Für \(a>0\): \(f_a″(0)<0\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt bei \(x=0\); \(f_a″(2a)>0\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(x=2a\). Für \(a<0\) ist es genau umgekehrt: Tiefpunkt bei \(x=0\), Hochpunkt bei \(x=2a\). Für \(a=0\) fallen beide Kandidaten zu \(x=0\) zusammen und es gilt \(f_0″(0)=0\) — das Kriterium entscheidet nicht.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Fall \(a=0\) ist der entscheidende Prüfstein für die Behauptung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Für \(a\neq 0\) trifft sie zu, für \(a=0\) jedoch nicht: Dann ist \(f_0(x)=x^{3}+5\) mit \(f_0′(x)=3x^{2}\ge 0\). Da \(f_0′\) an der Stelle \(x=0\) das Vorzeichen nicht wechselt, liegt dort ein Sattelpunkt — die Kurve hat weder Hoch- noch Tiefpunkt. Antwortsatz: Genau eine Kurve der Schar, nämlich die mit \(a=0\), widerlegt die Aussage.