Verfahren in 7 Schritten: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die vier FachbegriffeAFB I

Vervollständige den Text über den Aufbau einer Extremwertaufgabe. Zwei Wörter der Wortbank bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken — mit Tab und Enter genauso.

Die Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll, heißt . Die feste Vorgabe, an die man dabei gebunden ist, heißt . Setzt man sie ein, bis nur noch eine Variable vorkommt, entsteht die . Welche Werte für \(x\) in der Situation überhaupt möglich sind, sagt der . Am Ende steht immer ein mit Einheit.

Sekante und Wendepunkt gehören zu anderen Fragestellungen. Die fünf eingesetzten Begriffe beschreiben den kompletten Weg von der Situation bis zum Satz mit Einheit.

A2Das Schema ordnenAFB I

Die sieben Schritte stehen durcheinander. Bringe sie in die Reihenfolge, in der du sie in einer Klausur abarbeitest.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1Welche Größe soll minimal bzw. maximal werden?

2Formel für diese Größe notieren — noch mit mehreren Variablen.

3Nebeninformationen sammeln und als Gleichungen schreiben.

4Einsetzen und zusammenfassen, bis nur noch \(x\) vorkommt.

5Die Größe als Funktionsgleichung \(f(x)\) notieren, mit Definitionsbereich.

6Maximum bzw. Minimum berechnen: \(f'(x)=0\), danach die hinreichende Bedingung.

7Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Die Schritte 1 bis 5 verwandeln die Sachaufgabe in eine Funktionsgleichung, Schritt 6 ist gewöhnliche Kurvendiskussion, Schritt 7 übersetzt zurück.

A3Zielgröße oder Nebenbedingung?AFB I

Neun Angaben aus vier verschiedenen Aufgaben. Entscheide bei jeder, welche Rolle sie im Schema spielt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke die Ziffer des Korbs.

1Zielgröße (Schritt 1)

2Nebenbedingung (Schritt 3)

3weder noch

Die Zielgröße steht hinter den Wörtern „minimal“ oder „maximal“, die Nebenbedingung ist die Angabe mit einer festen Zahl. Die freie Variable, der Definitionsbereich und die Formel aus Schritt 2 sind beides nicht.

A4Ein Volumen zu FußAFB II

Bei der Box aus Papier gilt \(V(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\). Berechne ohne Rechner das Volumen für einen Einschnitt von 2 cm.

Erst die Potenzen, dann die Produkte, dann die Summe. Ergebnis in cm³, Enter prüft.

\(V(2)=4\cdot 8-80\cdot 4+400\cdot 2=32-320+800=512\). Kontrolle über die Bedeutung: Boden \(16\;\text{cm}\times 16\;\text{cm}\), Höhe 2 cm, also \(16\cdot 16\cdot 2=512\;\text{cm}^{3}\) — dieselbe Zahl.

A5Vom Bauplan zur ZielfunktionAFB II

Der Boden der Schachtel misst \((20-2x)\times(20-2x)\), die Höhe beträgt \(x\). Multipliziere \(V=(20-2x)^{2}\cdot x\) aus und gib den Term nach fallenden Potenzen geordnet ein.

Schreibweise: 4x^3-80x^2+400x. Der Term muss ausmultipliziert sein — eine Klammerform wird nicht akzeptiert.

\((20-2x)^{2}=400-80x+4x^{2}\); mit \(x\) multipliziert folgt \(V(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\). Genau dafür sind die Schritte 3 und 4 da: Danach steht nur noch \(x\) im Term.

A6Die Box komplett durchrechnenAFB II

Arbeite die Aufgabe mit \(V(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\) Schritt für Schritt durch. Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei.

Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft.

Wie lautet das absolute Glied von \(V'(x)=12x^{2}-160x+\;?\)
Löse \(V'(x)=0\). Wie groß ist die kleinere Lösung? (2 Nachkommastellen)cm
Wie groß ist die größere Lösung?cm
Setze die kleinere Lösung in \(V''(x)=24x-160\) ein. Welcher Wert kommt heraus?
Wie lang ist die Bodenkante \(20-2x\) an dieser Stelle? (2 Nachkommastellen)cm
Wie groß ist das maximale Volumen \(V(3{,}33)\)? (auf eine Nachkommastelle)cm³

Die pq-Formel liefert \(x_1=\tfrac{10}{3}\approx 3{,}33\) und \(x_2=10\). Wegen \(V''(3{,}33)<0\) liegt dort das Maximum; \(x_2=10\) fällt weg, weil dann kein Boden mehr übrig bleibt.

A7Fünf VoluminaAFB II

Fülle die Wertetabelle zu \(V(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\) aus. An zwei Stellen kannst du danach ablesen, dass das Maximum dazwischen liegen muss.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Einschnitt \(x\) in cm	\(V(x)\) in cm³
\(x=1\)
\(x=2\)
\(x=4\)
\(x=5\)
\(x=8\)

\(V(1)=4-80+400=324\), \(V(4)=256-1280+1600=576\), \(V(8)=2048-5120+3200=128\). Zwischen \(x=2\) und \(x=5\) steigt der Wert erst und fällt dann — das Maximum liegt dazwischen, nämlich bei \(x\approx 3{,}33\).

A8Zaun an der MauerAFB II

Mit 60 m Zaun soll an einer langen Hauswand eine rechteckige Wiese eingezäunt werden. Die Wand bildet eine Seite, gezäunt werden also nur drei Seiten. Berechne die Maße mit dem größten Flächeninhalt.

Stelle zuerst die Zielfunktion auf, leite ab und setze null. Enter prüft.

Breite \(x\) (senkrecht zur Wand) in m =Länge parallel zur Wand in m =größte Fläche in m² =

Nebenbedingung \(2x+y=60\), also \(y=60-2x\). Zielfunktion \(A(x)=x(60-2x)=60x-2x^{2}\), Ableitung \(A'(x)=60-4x=0\) liefert \(x=15\). Dann ist \(y=30\) und \(A=450\;\text{m}^{2}\). Wegen \(A''=-4<0\) ist es wirklich ein Maximum.

A9Nebenbedingung einsetzenAFB II

Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Der Flächeninhalt soll maximal werden. Fülle die Rechnung Feld für Feld aus.

Fülle alle Felder aus und prüfe auf einmal. Enter prüft ebenfalls.

Nebenbedingung: \(2x+2y=40\), also \(y=\) \(\;-\;x\).

Zielfunktion: \(A(x)=x\cdot y=\) \(\,x-\) \(\,x^{2}\).

Ableitung null setzen: \(A'(x)=20-2x=0\;\Rightarrow\;x=\) .

Größter Flächeninhalt: \(A=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Aus \(y=20-x\) wird \(A(x)=20x-x^{2}\). Das Maximum liegt bei \(x=10\), also \(y=10\): Unter allen Rechtecken mit festem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.

A10Exakt statt gerundetAFB III

Der gerundete Wert 3,33 cm reicht für einen Antwortsatz, nicht aber für eine exakte Rechnung. Löse \(12x^{2}-160x+400=0\) exakt und gib die kleinere Lösung als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Der Bruch muss vollständig gekürzt sein.

Division durch 4 ergibt \(3x^{2}-40x+100=0\). Die Mitternachtsformel liefert \(x=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1200}}{6}=\dfrac{40\pm 20}{6}\), also \(x_1=\dfrac{10}{3}\) und \(x_2=10\).

A11Der sinnvolle BereichAFB II

Welche Aussagen über den Definitionsbereich der Box-Aufgabe treffen zu? Mehrere Antworten sind richtig.

Markiere alle zutreffenden Aussagen und prüfe dann.

Der Term selbst ist für jede reelle Zahl definiert — die Einschränkung kommt allein aus der Sachsituation. Deshalb gehört zu jeder Extremwertaufgabe ein eigener Definitionsbereich.

A12Drei Fehler im MusterwegAFB II

Marek löst die Aufgabe „Zerlege 30 in zwei Summanden, deren Produkt maximal wird“. In seiner Lösung stecken drei Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Alle drei Fehler sind typisch: falsch ausmultipliziert, beim Umstellen die Rechenart verwechselt und am Ende die Stelle \(x\) mit dem Wert \(P(x)\) verwechselt.

A13Stimmt das so?AFB I

Sechs Aussagen über Extremwertaufgaben. Entscheide jeweils, ob sie stimmen. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Aussagen nacheinander. Bei einem Fehler beginnt die Serie von vorn.

Aussage 1 von 6

Die beiden häufigsten Denkfehler stecken in Aussage 1 und 4: Die Funktion ist nicht gegeben, und f′(x) = 0 allein beweist noch nichts.

A14Maximum oder Minimum?AFB II

Fünf Aufgabenstellungen. Kreuze in jeder Zeile an, ob ein Maximum oder ein Minimum der Zielgröße gesucht ist.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz und prüfe am Ende die ganze Tabelle.

Aussage	Maximum gesucht	Minimum gesucht
Welche Dose braucht bei 330 ml Inhalt am wenigsten Blech?
Wie groß muss der Einschnitt sein, damit die Schachtel am meisten fasst?
Wo muss der Rettungsschwimmer ins Wasser, um am schnellsten bei der Person zu sein?
Welches Rechteck mit 40 cm Umfang hat den größten Flächeninhalt?
Welcher Punkt der Parabel liegt am dichtesten am Ursprung?

Am Schema ändert sich nichts — nur die Deutung von Schritt 6: Beim Maximum gehört die Stelle zum Hochpunkt, beim Minimum zum Tiefpunkt.

A15Den Definitionsbereich einstellenAFB II

Stelle den Definitionsbereich der Box-Aufgabe auf der Zahlengeraden ein. Achte auch auf die Art der Klammern.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um.

a: b:

Beide Randwerte sind ausgeschlossen: Bei \(x=0\) hätte die Schachtel keine Höhe, bei \(x=10\) keinen Boden. Also \(]0;10[\) mit zwei offenen Klammern.

A16Ein anderes Blatt PapierAFB III

Diesmal misst das Blatt 30 cm × 20 cm. An den vier Ecken werden wieder Quadrate der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten und die Ränder hochgeklappt. Stelle die Zielfunktion auf und gib sie ausmultipliziert ein.

Schreibweise: 4x^3-100x^2+600x. Der Term muss ausmultipliziert und geordnet sein.

Boden: \((30-2x)\) und \((20-2x)\), Höhe \(x\). Also \(V(x)=x(30-2x)(20-2x)=x(600-100x+4x^{2})=4x^{3}-100x^{2}+600x\), sinnvoll für \(0<x<10\), weil die kürzere Kante zuerst aufgebraucht ist.

A17Zerlegen mit größtem ProduktAFB III

Die Zahl 24 soll in zwei positive Summanden zerlegt werden, deren Produkt möglichst groß ist. Berechne dieses größte Produkt.

Zielgröße ist das Produkt, Nebenbedingung die feste Summe. Gefragt ist der Produktwert, nicht die Summanden.

Mit \(y=24-x\) wird \(P(x)=24x-x^{2}\). Aus \(P'(x)=24-2x=0\) folgt \(x=12\), wegen \(P''=-2<0\) ein Maximum. Beide Summanden sind 12, das größte Produkt ist \(12\cdot 12=144\).

A18Den Antwortsatz bauenAFB II

Setze aus den Bausteinen einen vollständigen Antwortsatz zur Box-Aufgabe zusammen. Zwei Bausteine passen nicht.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Ein Antwortsatz nennt die Stelle und den zugehörigen Wert, jeweils mit Einheit. \(x=10\) ist die verworfene Lösung, und 3,3 cm ist der Einschnitt, nicht das Volumen.

A19Szene für Szene durch eine neue AufgabeAFB III

Ein 24 m langer Zaun soll eine rechteckige Fläche vollständig umschließen, die möglichst groß ist. Entscheide in jeder Szene, wie es weitergeht.

Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Fünf Szenen — genau die Schritte 3 bis 7 des Schemas an einer neuen Aufgabe.

A20Der FeinschliffAFB III

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Es geht um die Stellen, an denen in Klausuren am häufigsten Punkte verloren gehen.

Öffne jedes Menü und wähle den passenden Eintrag. Am Ende alles auf einmal prüfen.

Nach Schritt 4 darf im Term vorkommen.

Die Gleichung \(f'(x)=0\) ist die ; ob wirklich ein Maximum vorliegt, entscheidet .

Bei der Box liefert die Rechnung zwei Stellen. Die Stelle \(x=10\) wird verworfen, weil .

Zum Schluss gehört in den Antwortsatz .

Bei \(x=10\) wäre \(V''(10)=80>0\) — ein Minimum. Verworfen wird die Stelle aber schon deshalb, weil sie außerhalb von \(]0;10[\) liegt.

Übungen: Das Verfahren in sieben Schritten

Übungsaufgaben