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Textaufgaben: Extremwertaufgaben — das Verfahren

Fünf Extremwertaufgaben vom Gehege am Fluss bis zum Fährbetrieb — Zielgröße und Nebenbedingung trennen, die Zielfunktion aufstellen und die Randstellen nicht vergessen.

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Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben ist die Funktion nicht vorgegeben — sie muss erst aufgestellt werden. Die Schritte 1 bis 5 verwandeln den Sachtext in eine Funktionsgleichung, Schritt 6 ist gewöhnliche Kurvendiskussion einschließlich der Ränder, Schritt 7 der Antwortsatz. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Das Gehege am Fluss

AFB I

Ein Bauer möchte mit \(60\,\text{m}\) Zaun ein rechteckiges Gehege abstecken. Eine Seite bildet das Ufer eines Flusses und muss nicht eingezäunt werden (Material M1). Gesucht ist das Gehege mit dem größten Flächeninhalt.

M1Draufsicht auf das Gehege
Fluss — hier ist kein Zaun nötigGehegexx60 − 2xZaunlänge insgesamt: 60 m

Nur drei Seiten werden eingezäunt — zweimal die Länge \(x\) und einmal die Restlänge.

  1. Gib Zielgröße und Nebenbedingung an.
  2. Stelle die Zielfunktion mit ihrem Definitionsbereich auf.
  3. Bestimme die Maße des flächengrößten Geheges und den zugehörigen Flächeninhalt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Zielgröße steht hinter dem Wort „größt“, die Nebenbedingung ist die Angabe mit der festen Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zielgröße: der Flächeninhalt \(A=x\cdot y\). Nebenbedingung: \(2x+y=60\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse die Nebenbedingung nach der zweiten Seitenlänge auf und setze sie in die Flächenformel ein.Der Definitionsbereich folgt aus dem Sachzusammenhang: Beide Seitenlängen müssen positiv sein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus \(y=60-2x\) folgt \(A(x)=x\,(60-2x)=60x-2x^{2}\). Wegen \(x>0\) und \(y=60-2x>0\) gilt \(D=\,]0;30[\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Nachweis des Maximums gehört dazu — \(A″\) genügt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A′(x)=60-4x=0\) liefert \(x=15\); wegen \(A″(x)=-4<0\) liegt dort ein Maximum. Dann ist \(y=60-30=30\) und \(A(15)=15\cdot 30=450\). Antwortsatz: Das größte Gehege ist \(15\,\text{m}\) tief und \(30\,\text{m}\) breit; es hat einen Flächeninhalt von \(450\,\text{m}^{2}\).

2

Das Rechteck unter der Parabel

AFB II

Unter dem Graphen von \(f(x)=9-x^{2}\) soll ein achsensymmetrisches Rechteck einbeschrieben werden, dessen Grundseite auf der \(x\)-Achse liegt und dessen obere Ecken auf der Parabel liegen (Material M2). Gesucht ist das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.

M2Einbeschriebenes Rechteck
xy-3-2-1123246810(x | 9 − x²)

Die rechte obere Ecke hat die Koordinaten \((x\mid 9-x^{2})\) — daraus ergeben sich beide Seitenlängen.

  1. Gib Zielgröße und Nebenbedingung an.
  2. Stelle die Zielfunktion mit Definitionsbereich auf.
  3. Bestimme den größten Flächeninhalt exakt und deute das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Breite des Rechtecks beträgt \(2x\), nicht \(x\) — das Rechteck reicht von \(-x\) bis \(x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zielgröße: der Flächeninhalt \(A=\text{Breite}\cdot\text{Höhe}=2x\cdot y\). Nebenbedingung: \(y=9-x^{2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Höhe ist der Funktionswert an der Stelle \(x\). Die Nebenbedingung steckt hier in der Parabelgleichung.Der Definitionsbereich ergibt sich aus der Forderung, dass die Höhe positiv sein muss.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A(x)=2x\,(9-x^{2})=18x-2x^{3}\). Aus \(x>0\) und \(9-x^{2}>0\) folgt \(D=\,]0;3[\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Das Ergebnis enthält eine Wurzel — gib es exakt an und runde erst im Antwortsatz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A′(x)=18-6x^{2}=0\) liefert \(x^{2}=3\), also \(x=\sqrt3\) (die negative Lösung liegt nicht in \(D\)). Wegen \(A″(x)=-12x\) und \(A″(\sqrt3)=-12\sqrt3<0\) liegt ein Maximum vor. Es folgt \(y=9-3=6\) und \(A(\sqrt3)=2\sqrt3\cdot 6=12\sqrt3\approx 20{,}78\). Antwortsatz: Das größte Rechteck ist \(2\sqrt3\approx 3{,}46\) breit und \(6\) hoch; sein Flächeninhalt beträgt \(12\sqrt3\approx 20{,}78\) Flächeneinheiten.

3

Die Dose mit quadratischer Grundfläche

AFB II

Eine oben geschlossene Dose mit quadratischer Grundfläche soll \(1000\,\text{cm}^{3}\) fassen. Gesucht sind die Maße, bei denen der Materialverbrauch — also der Oberflächeninhalt — minimal ist. Die Grundkante heiße \(a\), die Höhe \(h\) (beide in cm).

  1. Gib die Nebenbedingung an und stelle die Zielfunktion \(O(a)\) auf.
  2. Bestimme die Grundkante mit dem kleinsten Oberflächeninhalt und weise das Minimum nach.
  3. Gib alle Maße und den minimalen Materialverbrauch an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Oberfläche besteht aus zwei Quadraten und vier gleichen Rechtecken: \(O=2a^{2}+4ah\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nebenbedingung: \(a^{2}h=1000\), also \(h=\tfrac{1000}{a^{2}}\). Einsetzen: \(O(a)=2a^{2}+4a\cdot\tfrac{1000}{a^{2}}=2a^{2}+\tfrac{4000}{a}\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Schreibe \(\tfrac{4000}{a}\) als \(4000\,a^{-1}\), dann greift die Potenzregel.\(\bigl(a^{-1}\bigr)′=-a^{-2}=-\tfrac{1}{a^{2}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(O′(a)=4a-\tfrac{4000}{a^{2}}=0 \Leftrightarrow 4a^{3}=4000 \Leftrightarrow a^{3}=1000 \Leftrightarrow a=10\). Wegen \(O″(a)=4+\tfrac{8000}{a^{3}}\) und \(O″(10)=4+8=12>0\) liegt ein Minimum vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche zum Schluss \(a\) und \(h\) miteinander — das Ergebnis ist bemerkenswert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h=\tfrac{1000}{100}=10\) und \(O(10)=200+400=600\). Antwortsatz: Die materialsparendste Dose ist ein Würfel mit \(10\,\text{cm}\) Kantenlänge; sie verbraucht \(600\,\text{cm}^{2}\) Blech.

4

Das geteilte Gehege

AFB III

Ein rechteckiges Gehege soll durch einen Zaun parallel zu einer Seite in zwei gleich große Teile geteilt werden. Insgesamt stehen \(300\,\text{m}\) Zaun zur Verfügung — für die vier Außenseiten und die Trennwand. Die Seiten heißen \(x\) (parallel zur Trennwand) und \(y\).

  1. Stelle die Nebenbedingung auf und erläutere, warum eine Seitenlänge dreimal auftritt.
  2. Stelle die Zielfunktion mit Definitionsbereich auf und bestimme das Maximum.
  3. Kontrolliere das Ergebnis, indem du die Fläche für zwei benachbarte Werte berechnest, und formuliere einen Antwortsatz.
Hinweis zu Aufgabe a)
Fertige zuerst eine Skizze an. Die Trennwand verläuft parallel zu den Seiten der Länge \(x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Neben den beiden Seiten der Länge \(y\) verlaufen drei Zäune der Länge \(x\): die beiden Außenseiten und die Trennwand. Damit lautet die Nebenbedingung \(3x+2y=300\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse die Nebenbedingung nach \(y\) auf und setze in \(A=x\cdot y\) ein.Beide Seitenlängen müssen positiv sein — daraus folgt der Definitionsbereich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus \(y=\tfrac{300-3x}{2}=150-1{,}5x\) folgt \(A(x)=x\,(150-1{,}5x)=150x-1{,}5x^{2}\) mit \(D=\,]0;100[\). \(A′(x)=150-3x=0\) liefert \(x=50\); wegen \(A″(x)=-3<0\) liegt ein Maximum vor. Dann ist \(y=150-75=75\) und \(A(50)=50\cdot 75=3750\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Kontrollrechnung mit zwei Nachbarwerten ist in Klausuren eine anerkannte Absicherung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kontrolle: \(A(49)=49\cdot 76{,}5=3748{,}5\) und \(A(51)=51\cdot 73{,}5=3748{,}5\) — beide Werte sind kleiner als \(3750\). Antwortsatz: Das größte geteilte Gehege misst \(50\,\text{m}\times 75\,\text{m}\) und hat einen Flächeninhalt von \(3750\,\text{m}^{2}\); jede der beiden Hälften ist \(1875\,\text{m}^{2}\) groß.

5

Reicht \(f′(x)=0\) immer aus?

AFB III

Der Tagesgewinn \(G\) eines Fährbetriebs (in Tausend Euro) hängt von der Zahl \(x\) der täglichen Fahrten ab:

\[G(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 4{,}5\]

Ein Schüler behauptet: „Bei einer Extremwertaufgabe genügt es, \(f′(x)=0\) zu lösen; die Randstellen kann man weglassen.“

  1. Bestimme alle inneren Extremstellen von \(G\) und die zugehörigen Funktionswerte.
  2. Untersuche zusätzlich die Randstellen und gib den größten Tagesgewinn an.
  3. Nimm zur Behauptung des Schülers begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(G′(x)=3x^{2}-12x+9\); klammere 3 aus und faktorisiere.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G′(x)=3\,(x^{2}-4x+3)=3\,(x-1)(x-3)\). Mit \(G″(x)=6x-12\) folgt: \(G″(1)=-6<0\) → Hochpunkt mit \(G(1)=1-6+9+1=5\); \(G″(3)=6>0\) → Tiefpunkt mit \(G(3)=27-54+27+1=1\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(x=0\) und \(x=4{,}5\) in \(G\) ein und vergleiche mit den inneren Extremwerten.Der GTR und die Bedingung \(f′(x)=0\) finden nur innere Extremstellen — Ränder prüft man von Hand.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Randwerte: \(G(0)=1\) und \(G(4{,}5)=91{,}125-121{,}5+40{,}5+1=11{,}125\). Der größte Wert des Definitionsbereichs ist damit \(11{,}125\) am rechten Rand.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um die Behauptung zu widerlegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Der Hochpunkt bei \(x=1\) liefert nur \(5\); der größte Tagesgewinn wird mit \(11\,125\,\text{€}\) bei \(x=4{,}5\) erreicht, also am Rand des Definitionsbereichs. Die Bedingung \(f′(x)=0\) findet ausschließlich innere Extremstellen — das globale Maximum einer Extremwertaufgabe kann aber am Rand liegen. Antwortsatz: Schritt 6 des Verfahrens ist erst vollständig, wenn die Randwerte mitgeprüft wurden.