Die perfekte Cola-Dose: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Zielgröße und NebenbedingungAFB I

Lies die Aufgabenstellung noch einmal und wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Öffne jedes Menü und wähle den passenden Eintrag. Am Ende alles auf einmal prüfen.

In der Aufgabe soll minimal werden — das ist die Zielgröße.

Fest vorgegeben ist dagegen ; diese Angabe liefert die Nebenbedingung.

Die Formel \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\) enthält , deshalb kann man sie so noch nicht ableiten.

In Schritt 4 stellt man die Nebenbedingung nach um, weil diese Größe dort nur einfach und ohne Potenz vorkommt.

Die Zielgröße steht hinter dem Wort „minimal“, die Nebenbedingung ist die Angabe mit der festen Zahl. Nach \(r\) umzustellen wäre erlaubt, aber unbequem — es entstünde eine Wurzel.

A2Blechbedarf einer fertigen DoseAFB II

Eine Dose hat den Radius \(r=4\;\text{cm}\) und die Höhe \(h=6{,}6\;\text{cm}\). Berechne ihren Oberflächeninhalt auf eine Nachkommastelle genau.

Zwei Kreise plus Mantel: \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\). Rechne mit \(\pi\) auf dem Rechner, nicht mit 3.

\(2\pi\cdot 16=100{,}53\) und \(2\pi\cdot 4\cdot 6{,}6=165{,}88\), zusammen \(O\approx 266{,}4\;\text{cm}^{2}\). Diese Dose fasst übrigens \(\pi\cdot 16\cdot 6{,}6\approx 332\;\text{cm}^{3}\) — also ungefähr 330 ml, ist aber noch nicht die sparsamste Form.

A3Eine Dose mit 5 cm RadiusAFB II

Für \(V=330\;\text{cm}^{3}\) und \(r=5\;\text{cm}\) sollen alle Teilgrößen berechnet werden. Runde jeweils auf zwei Nachkommastellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Höhe aus der Nebenbedingung: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}=\) \(\;\text{cm}\).

Deckel und Boden zusammen: \(2\pi r^{2}=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Mantelfläche: \(\dfrac{660}{r}=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Gesamter Blechbedarf: \(O(5)=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Diese flache, breite Dose braucht rund \(289\;\text{cm}^{2}\) Blech — etwa 25 cm² mehr als die optimale. Der Mantel ist zwar klein, aber Deckel und Boden sind teuer geworden.

A4Die Zielfunktion aufstellenAFB II

Setze \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\) in \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\) ein und kürze so weit wie möglich. Gib die Zielfunktion \(O(r)\) ein.

Schreibweise: 2pi*r^2+660/r. \(\pi\) darfst du als pi schreiben. Der Term muss vollständig gekürzt sein.

\(2\pi r\cdot\dfrac{330}{\pi r^{2}}=\dfrac{660\pi r}{\pi r^{2}}=\dfrac{660}{r}\): Das \(\pi\) und ein \(r\) kürzen sich weg. Übrig bleibt \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\) für \(r>0\).

A5Die Dose komplett durchrechnenAFB II

Rechne die Aufgabe mit \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\) Schritt für Schritt zu Ende. Runde jeweils auf zwei Nachkommastellen.

Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Enter prüft.

Wie lautet der Faktor \(a\) in \(O'(r)=a\pi r-\dfrac{660}{r^{2}}\)?
Aus \(4\pi r^{3}=660\) folgt \(r^{3}=\dfrac{165}{\pi}\). Wie groß ist dieser Wert?
Wie groß ist damit der optimale Radius \(r\)?cm
Berechne die zugehörige Höhe \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\).cm
Wie viel Blech braucht diese Dose, also \(O(3{,}74)\)? (eine Nachkommastelle)cm²
Teile die Höhe durch den Radius. Welche Zahl kommt heraus?

Bemerkenswert ist der letzte Schritt: Bei der sparsamsten Dose ist die Höhe immer genau doppelt so groß wie der Radius — die Dose ist also so hoch wie breit. Das gilt für jedes Volumen, nicht nur für 330 ml.

A6Fünf Dosen im VergleichAFB II

Alle Dosen fassen 330 ml. Berechne zu jedem Radius den Blechbedarf \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\), gerundet auf eine Nachkommastelle.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Radius \(r\) in cm	\(O(r)\) in cm²
\(r=2\)
\(r=3\)
\(r=3{,}74\)
\(r=5\)
\(r=7\)

Die schlanke Dose mit \(r=2\) braucht 355 cm², die breite mit \(r=7\) sogar 402 cm² — beide deutlich mehr als das Optimum bei 264 cm². Rund um das Minimum ist die Kurve dagegen flach: \(r=3\) und \(r=5\) kosten nur wenige Prozent mehr.

A7Die LiterdoseAFB III

Dieselbe Frage für eine Dose mit \(V=1000\;\text{cm}^{3}\). Stelle die Zielfunktion selbst auf und berechne alle drei Größen.

Der Rechenweg ist derselbe wie bei 330 ml — nur die Zahl in der Nebenbedingung ändert sich.

optimaler Radius \(r\) in cm =Höhe \(h\) in cm =Blechbedarf \(O\) in cm² =

Aus \(h=\dfrac{1000}{\pi r^{2}}\) folgt \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{2000}{r}\) und \(4\pi r^{3}=2000\), also \(r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5{,}42\). Wieder gilt \(h=2r\).

A8Was gilt für die optimale Dose?AFB II

Kreuze in jeder Zeile an, ob die Aussage für die 330-ml-Dose mit minimalem Blechbedarf zutrifft oder nicht.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz und prüfe am Ende die ganze Tabelle.

Aussage	trifft zu	trifft nicht zu
Die Höhe ist doppelt so groß wie der Radius.
Der Durchmesser ist genauso groß wie die Höhe.
Deckel und Boden zusammen sind größer als der Mantel.
Das Volumen beträgt weiterhin genau 330 cm³.
Der Blechbedarf liegt unter 250 cm².

Beim Optimum ist \(2\pi r^{2}=88{,}1\;\text{cm}^{2}\) und der Mantel \(\dfrac{660}{r}=176{,}2\;\text{cm}^{2}\) — der Mantel ist also genau doppelt so groß. Zusammen sind es 264,4 cm², nicht unter 250.

A9Die sieben Schritte an der DoseAFB I

Die Schritte der Lösung stehen durcheinander — diesmal mit den konkreten Inhalten der Dosenaufgabe.

Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1Der Oberflächeninhalt der Dose soll minimal werden.

2Formel notieren: \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\).

3Nebenbedingung notieren: \(\pi r^{2}h=330\).

4Nach \(h\) umstellen und einsetzen: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\).

5Zielfunktion aufschreiben: \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\), \(r>0\).

6\(O'(r)=0\) lösen und mit \(O''(r)>0\) das Minimum sichern.

7Höhe ergänzen und Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Die Höhe wird ganz zum Schluss ergänzt — sie ist zwar gefragt, ergibt sich aber erst aus der Nebenbedingung, wenn \(r\) bekannt ist.

A10Vier Ableitungen prüfenAFB II

Damit die Rechnung übersichtlich bleibt, heißt die Variable hier \(x\). Klicke jede falsche Zeile an und trage die richtige Ableitung ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Schreibweise: -660/x^2. Geprüft wird beides: Auswahl und Korrekturen.

In Zeile 2 fehlt das Minuszeichen: \(\dfrac{660}{x}=660x^{-1}\) hat die Ableitung \(-660x^{-2}\). In Zeile 3 wurde der Faktor vergessen: \(2\pi x^{2}\) leitet sich zu \(4\pi x\) ab.

A11Fünf DosengrößenAFB III

Verbinde jedes Füllvolumen mit dem Radius der sparsamsten Dose. Nutze \(r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}\) — diese Formel folgt aus \(4\pi r^{3}=2V\).

Wähle links einen Eintrag aus und klicke dann rechts den passenden Partner an.

Verdoppelt man das Volumen, wächst der Radius nur um den Faktor \(\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26\): Aus 3,41 cm werden 4,30 cm, aus 5,42 cm werden 6,83 cm. Deshalb sind große Behälter im Verhältnis sparsamer.

A12Fehler in Lenas LösungAFB II

Lena bearbeitet eine 500-ml-Dose. In ihrem Weg stecken drei Fehler — klicke genau die falschen Zeilen an.

Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Drei klassische Stolperstellen: der verlorene Faktor beim Einsetzen, die dritte Wurzel und das falsche Vorzeichen bei der hinreichenden Bedingung.

A13Stimmt das so?AFB I

Sechs Aussagen zur Dosenaufgabe. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Aussagen nacheinander. Bei einem Fehler beginnt die Serie von vorn.

Aussage 1 von 6

Die beiden falschen Aussagen betreffen den Definitionsbereich und das Wachstum der dritten Wurzel — beides typische Klausurfallen.

A14Formeln und ihre BedeutungAFB I

Finde die fünf Paare aus Fachbegriff und passendem Term.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 16

Der Mantel ist ein Rechteck: so breit wie der Kreisumfang \(2\pi r\) und so hoch wie die Dose. Genau daher stammt der zweite Summand der Oberflächenformel.

A15Höhe der halben LiterdoseAFB III

Eine Dose soll \(500\;\text{cm}^{3}\) fassen und möglichst wenig Blech brauchen. Wie hoch ist sie? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Du kannst den vollen Weg gehen — oder die Beziehung nutzen, die du in A5 entdeckt hast.

Aus \(4\pi r^{3}=1000\) folgt \(r=\sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}}\approx 4{,}30\;\text{cm}\), und wegen \(h=2r\) ist \(h\approx 8{,}60\;\text{cm}\). Kontrolle über die Nebenbedingung: \(\pi\cdot 4{,}30^{2}\cdot 8{,}60\approx 500\) ✓

A16Was sagt die Zielfunktion?AFB II

Welche Aussagen über \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\) treffen zu? Mehrere Antworten sind richtig.

Markiere alle zutreffenden Aussagen und prüfe dann.

Bei \(r=0\) ist \(\dfrac{660}{r}\) gar nicht definiert. Und wegen des Bruchs ist \(O\) gebrochen-rational, nicht ganzrational.

A17Wie hängt der Term von r ab?AFB II

Sechs Terme aus der Dosenaufgabe. Sortiere danach, wie sie sich verhalten, wenn der Radius größer wird — das Volumen bleibt dabei immer 330 cm³.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke die Ziffer des Korbs.

1wächst mit \(r\)

2fällt mit \(r\)

3bleibt gleich

Genau dieser Gegensatz erzeugt das Minimum: Deckel und Boden werden teurer, der Mantel billiger. Das Volumen \(\pi r^{2}h\) bleibt dagegen fest — das ist ja die Nebenbedingung.

A18Welche Variable wird ersetzt?AFB III

Ein neuer Behälter: eine oben offene zylindrische Dose mit 1 Liter Inhalt. Beantworte die Fragen des Baums nacheinander, bis er ein Ergebnis liefert.

Fall: \(O=\pi r^{2}+2\pi r h\) mit \(\pi r^{2}h=1000\). Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein.

In \(\pi r^{2}h=1000\) steht \(h\) ohne Potenz — also nach \(h\) umstellen. Für die offene Dose ergibt sich \(O(r)=\pi r^{2}+\dfrac{2000}{r}\); hier gilt am Ende \(h=r\) statt \(h=2r\).

A19Der AntwortsatzAFB II

Setze aus den Bausteinen den vollständigen Antwortsatz zur 330-ml-Dose zusammen. Zwei Bausteine gehören nicht dazu.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Die beiden Ablenker verwechseln Größen und Einheiten: 264 ist eine Fläche in cm², 3,74 eine Länge in cm. Genau darauf achten Korrekturen.

A20Den optimalen Radius einstellenAFB III

Eine Familienflasche soll \(1500\;\text{cm}^{3}\) fassen. Berechne den sparsamsten Radius und stelle ihn auf dem Regler ein.

Rechne zuerst auf dem Papier, dann stelle den Regler auf deinen Wert. Pfeiltasten ändern den Wert in kleinen Schritten.

25.59

Aus \(4\pi r^{3}=2\cdot 1500\) folgt \(r=\sqrt[3]{\dfrac{750}{\pi}}=\sqrt[3]{238{,}7}\approx 6{,}2\;\text{cm}\). Die Flasche wäre dann 12,4 cm hoch — deutlich gedrungener als jede echte Flasche.

Übungen: Die perfekte Cola-Dose

Übungsaufgaben